فيديو السؤال: إيجاد مفكوك (ﺃ + ﺏ)^(ﻥ) + (ﺃ − ﺏ)^(ﻥ) الرياضيات

أوجد قيمة (الجذر التربيعي لـ (٣) + ١)^٣ + (الجذر التربيعي لـ (٣) − ١)^٣ باستخدام نظرية مفكوك ذات الحدين.

٠٥:٠١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة الجذر التربيعي لثلاثة زائد واحد تكعيب زائد الجذر التربيعي لثلاثة ناقص واحد تكعيب باستخدام نظرية مفكوك ذات الحدين.

سنبدأ بتذكر هذه النظرية. للقيم الصحيحة الموجبة لـ ﻥ، تنص نظرية ذات الحدين على أن ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ يساوي المجموع من ﻙ يساوي صفرًا إلى ﻥ لـ ﻥ توافيق ﻙ في ﺃ أس ﻥ ناقص ﻙ في ﺏ أس ﻙ. والآن، قد يكون من الصعب التعامل مع ذلك. لذا، بدلًا من ذلك، يمكننا التفكير فيه على صورة مفكوك. وهو ﺃ أس ﻥ زائد ﻥ توافيق واحد ﺃ أس ﻥ ناقص واحد ﺏ زائد ﻥ توافيق اثنين ﺃ أس ﻥ ناقص اثنين ﺏ تربيع حتى نصل إلى ﺏ أس ﻥ. لاحظ كيف أن أس ﺃ أو قوة ﺃ تقل بمقدار واحد في كل مرة، بينما قوة ﺏ تزيد بمقدار واحد في كل مرة.

دعونا نبدأ إذن بالجذر التربيعي لثلاثة زائد واحد تكعيب. سنعرف ﺃ على أنه جذر ثلاثة، ونساوي ﺏ بواحد. ونحن نرفع ذلك إلى القوة ثلاثة، إذن، ﻥ يساوي ثلاثة. الحد الأول هو ﺃ أس ﻥ. إذن، هذا يساوي الجذر التربيعي لثلاثة تكعيب. والحد الثاني هو ﻥ توافيق واحد. وهذا يساوي ثلاثة توافيق واحد في الجذر التربيعي لثلاثة تربيع في واحد. إننا نقلل قوة الجذر التربيعي لثلاثة بمقدار واحد، ونزيد قوة الواحد بمقدار واحد. إذن، الحد الثالث هو ثلاثة توافيق اثنين جذر ثلاثة في واحد تربيع. بعد ذلك، يكون الحد الأخير واحدًا تكعيب.

سنحسب الآن قيمة كل جزء من هذا المفكوك. هيا نكتب الجذر التربيعي لثلاثة تكعيب على صورة الجذر التربيعي لثلاثة تربيع في الجذر التربيعي لثلاثة. والآن، الجذر التربيعي لثلاثة تربيع يساوي ببساطة ثلاثة. إذن، الحد الأول هو ثلاثة جذر ثلاثة. الجذر التربيعي لثلاثة تربيع في واحد يساوي ثلاثة، إذن، يصبح الحد الثاني ثلاثة توافيق واحد في ثلاثة. لكن ما قيمة ثلاثة توافيق واحد؟ لعلنا نتذكر أن ﻥ توافيق ﺭ يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. هذا يعني أن ثلاثة توافيق واحد يساوي مضروب ثلاثة على مضروب واحد في مضروب ثلاثة ناقص واحد، أو مضروب ثلاثة على مضروب واحد في مضروب اثنين.

لكننا، نعلم أن مضروب ثلاثة يساوي ثلاثة في اثنين في واحد، ومضروب اثنين يساوي اثنين في واحد. لذا، نلاحظ أنه يمكننا قسمة كل من البسط والمقام على مضروب اثنين، وبذلك، ثلاثة توافيق واحد يساوي ثلاثة مقسومًا على واحد، وهو ما يساوي ثلاثة. إذن، يبسط الحد الثاني إلى ثلاثة في ثلاثة، وهو ما يساوي تسعة. في الواقع، ثلاثة توافيق اثنين يساوي ثلاثة أيضًا. إذن، الحد الثالث يساوي ثلاثة جذر ثلاثة. والحد الرابع يساوي واحدًا تكعيب، وهو ما يساوي واحدًا. نرى أنه يمكن تبسيط ذلك بسهولة إلى ستة جذر ثلاثة زائد ١٠.

سنكرر الآن هذه العملية مع الجذر التربيعي لثلاثة ناقص واحد. لاحظ أن هذا يطابق تقريبًا المفكوك السابق، لكن هذه المرة ﺏ يساوي سالب واحد. لذا، عند فك المقدار، نحصل على جذر ثلاثة تكعيب زائد ثلاثة توافيق واحد جذر ثلاثة تربيع في سالب واحد زائد ثلاثة توافيق اثنين جذر ثلاثة في سالب واحد تربيع زائد سالب واحد تكعيب. يصبح ذلك ثلاثة جذر ثلاثة ناقص تسعة زائد ثلاثة جذر ثلاثة ناقص واحد. ويمكن تبسيط ذلك إلى ستة جذر ثلاثة ناقص ١٠.

يطلب منا السؤال إيجاد قيمة مجموع هذين المفكوكين. إذن، هذا يساوي ستة جذر ثلاثة زائد ١٠ زائد ستة جذر ثلاثة ناقص ١٠. والآن، يتضح لنا أن زائد ١٠ ناقص ١٠ يساوي صفرًا. وبذلك، نحصل على ستة جذر ثلاثة زائد ستة جذر ثلاثة، وهو ما يساوي ١٢ جذر ثلاثة. وبذلك نكون قد انتهينا. وعليه، فإن الجذر التربيعي لثلاثة زائد واحد تكعيب زائد الجذر التربيعي لثلاثة ناقص واحد تكعيب يساوي ١٢ جذر ثلاثة.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.