تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: دوال خاصة: الدالة المتعددة التعريف

نهال عصمت

يتناول الفيديو مفهوم الدالة المتعددة التعريف، وطريقة كتابتها، وتمثيلها بيانيًّا، ويوضِّح ذلك بالأمثلة.

١٤:٢٠

‏نسخة الفيديو النصية

دوال خاصة.

هنتكلّم عن الدالة المتعددة التعريف، وإزَّاي نقدر نمثّلها بيانيًّا، وطريقة كتابة الدالة المتعددة التعريف.

الدالة المتعددة التعريف، هي الدالة التي تُكتب باستخدام عبارتين أو أكثر. وهي كمان دالة ليست خطية؛ لأن كل فترة من مجال الدالة معرَّف بعبارة مختلفة. وعند تمثيل الدالة المتعددة التعريف بيانيًّا، توضع دائرة مظلَّلة عند الطرف؛ لتشير إلى أن النقطة تنتمي إلى التمثيل البياني. لكن توضع دائرة غير مظلَّلة عند الطرف؛ لتشير أن النقطة لا تنتمي إلى التمثيل البياني.

يبقى في حالة التمثيل البياني للدالة المتعدد التعريف. لو لقينا إن فيه دائرة مظللة عند الطرف. ده معناه إن النقطة دي تنتمي إلى التمثيل البياني. لكن لو لقينا إن الدايرة اللي موجودة عند الطرف غير مظلَّلة. ده معناه إن النقطة لا تنتمي إلى التمثيل البياني.

هنبدأ نجيب صفحة جديدة، ونشوف مثال يوضّح أكتر تمثيل الدالة المتعددة التعريف.

المثال هو: مثِّلِ الدالة د س تساوي س ناقص اتنين؛ حيث س أصغر من سالب واحد. وَ د س بتساوي س زائد تلاتة؛ لما س تبقى أكبر من أو تساوي سالب واحد، بيانيًّا.

عشان نقدر نمثّل الدالة المتعددة التعريف. هنبدأ ناخد كل دالة، ونبدأ نمثّلها لوحدها بيانيًّا. أول حاجة في حالة د س تساوي س ناقص اتنين؛ حيث س أصغر من سالب واحد. هنبدأ نحسب قيمة د س، لما تكون س بتساوي سالب واحد، ولما تبقى قيمة س أصغر من سالب واحد.

أول حاجة هنبدأ نعوّض عن قيمة س بسالب واحد. هيبقى عندنا د س تساوي س ناقص اتنين. يبقى د سالب واحد هتساوي سالب واحد ناقص اتنين. وبالتالي د سالب واحد هتساوي سالب تلاتة. يبقى كده قدرنا نحسب قيمة د س لما س تساوي سالب واحد.

طب في حالة إن س تبقى أصغر من سالب واحد. يعني مثلًا هنعوّض عن س بسالب اتنين. هيبقى عندنا د س تساوي س ناقص اتنين. يبقى د سالب اتنين هتساوي سالب اتنين ناقص اتنين. وبالتالي د سالب اتنين هتساوي سالب أربعة. يبقى كده قدرنا نحسب كمان قيمة د س لما س تساوي سالب اتنين.

يبقى كده بقى عندنا نقطتين. النقطة الأولى هي سالب واحد وسالب تلاتة. والنقطة التانية هي سالب اتنين وسالب أربعة. بعد ما حدّدنا النقطتين، هنبدأ نرسم المستوى الإحداثي بالشكل ده. بعد كده هنبدأ نحدّد النقطتين سالب واحد وسالب تلاتة، وسالب اتنين وسالب أربعة، على المستوى الإحداثي. النقطة الأولى سالب واحد وسالب تلاتة. هنبدأ نحددها على المستوى الإحداثي، بس لازم نحط دايرة غير مظلَّلة له عند سالب واحد وسالب تلاتة؛ لأن سالب واحد لا تحقق المتباينة. يبقى هنيجي عند النقطة سالب واحد وسالب تلاتة، وهنحط دايرة غير مظلَّلة.

بعد كده عندنا النقطة سالب اتنين وسالب أربعة. هنبدأ نحط عندها دايرة مظلَّلة بالشكل ده. بعد كده هنصل بين النقطتين بنصف مستقيم بالشكل ده. وبكده قدرنا نمثّل د س تساوي س ناقص اتنين؛ حيث س أصغر من سالب واحد، بيانيًّا.

بعد كده في حالة لو د س تساوي س زائد تلاتة؛ حيث س أكبر من أو تساوي سالب واحد. عايزين نبدأ نمثّل الدالة بيانيًّا.

في البداية هنفرض إن س تساوي سالب واحد. وإن س قيمتها تبقى أكبر من سالب واحد. هنبدأ في حالة لو س تساوي سالب واحد. هيبقى عندنا د س تساوي س زائد تلاتة. يبقى د سالب واحد هتساوي … سالب واحد زائد تلاتة. وبالتالي د سالب واحد هتساوي اتنين. بعد كده هنفرض إن س قيمتها أكبر من سالب واحد، ولْيكُن س تساوي صفر.

يبقى في حالة لو س تساوي صفر. يبقى د س تساوي س زائد تلاتة. يبقى د صفر هتساوي صفر زائد تلاتة. يبقى د صفر هتساوي تلاتة. يبقى كده بقى عندنا النقطتين سالب واحد واتنين، وصفر وتلاتة. عايزين نبدأ نحدّدهم على المستوى الإحداثي. النقطة الأولى سالب واحد واتنين. هنبدأ نحط دائرة مظلَّلة عند سالب واحد واتنين؛ عشان سالب واحد تحقق المتباينة بالشكل ده. بعد كده عندنا النقطة صفر وتلاتة. هنبدأ نحط عندها دائرة مظلَّلة بالشكل ده. بعد كده هنصل بين الدائرتين بنصف مستقيم بالشكل ده. يبقى كده قدرنا نمثّل الدالة د س تساوي س ناقص اتنين؛ حيث س أصغر من سالب واحد. وَ د س تساوي س زائد تلاتة؛ حيث س أكبر من أو تساوي سالب واحد، بيانيًّا.

لو حبينا حسب المجال والمدى. هنلاقي إن المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية. وهنلاقي إن قيم د س للأزواج المرتّبة في التمثيل البياني للدالة، هو جميع الأعداد الحقيقية بس الأقل من سالب تلاتة، وكل الأعداد الحقيقية اللي أكبر من أو تساوي اتنين. معنى كده إن المدى هيساوي مجموعة كل د س؛ حيث د س أصغر من سالب تلاتة، أو د س أكبر من أو تساوي اتنين. يبقى كده قدرنا نمثّل الدالة المتعددة التعريف بيانيًّا. وقدرنا كمان نحسب المجال. وقدرنا نحسب المدى.

هنبدأ نجيب صفحة جديدة.

هنلاحظ إن الدوال المتعددة التعريف تُمثَّل بيانيًّا بعدة دوال خطية. وفي الحالة دي تُسمَّى بالدالة المتعددة التعريف الخطية. وهنلاحظ كمان إن الدوال المتعددة التعريف ممكن تكون دالة متصلة، وممكن تكون دالة غير متصلة.

يبقى بعد ما اتكلمنا عن الدالة المتعددة التعريف، وعرفنا إزَّاي نقدر نمثّلها بيانيًّا. هنبدأ نتعلم إزَّاي لو عندنا تمثيل بياني للدالة المتعدد التعريف، نبدأ نكتبها على صورة دالة.

هنبدأ نجيب صفحة جديدة، ونشوف مثال.

مطلوب نكتب الدالة المتعددة التعريف الممثلة بيانيًّا في الشكل الآتي.

عشان نكتب الدالة المتعددة التعريف. هنبدأ ناخد كل جزء من التمثيل البياني، ونكتب الدالة التي تمثّله. في البداية هنفرض إن الجزء ده رقم واحد، والجزء ده رقم اتنين، والجزء ده رقم تلاتة.

هنبدأ نكتب الدالة الخاصة بالجزء رقم واحد. هنلاحظ إن الجزء رقم واحد يمر بالنقطة سالب اتنين وسالب واحد، والنقطة صفر وتلاتة. يبقى عندنا الجزء يمرّ بالنقطة سالب اتنين وسالب واحد، والنقطة صفر وتلاتة. هنبدأ نحسب الميل. يساوي فرق الصادات على فرق السينات؛ يعني ص اتنين ناقص ص واحد، مقسومة على س اتنين ناقص س واحد. يعني الميل هيساوي تلاتة ناقص سالب واحد، مقسومة على صفر سالب اتنين. وبالتالي الميل هيساوي اتنين. يبقى كده قدرنا نحسب الميل.

بعد كده هنبدأ نكتب صيغة الميل ونقطة، لكتابة الدالة في الجزء رقم واحد. وهي: ص ناقص ص واحد، تساوي م مضروبة في س ناقص س واحد. هيبقى عندنا ص ناقص … هنعوّض بالنقطة صفر وتلاتة. هيبقى عندنا ص واحد بتلاتة. هتساوي م اللي هي الميل باتنين، مضروبة في س ناقص صفر. وبالتالي نقدر نقول إن ص هتساوي اتنين س زائد تلاتة. هنشيل ص ونكتب بدالها د س، هتساوي اتنين س زائد تلاتة. وهنلاحظ إن في الجزء رقم واحد عندنا دايرة غير مظلَّلة عند النقطة واحد وخمسة، وده معناه إن الدالة معرَّفة في الفترة؛ حيث س أصغر من واحد. وبالتالي يبقى عندنا مجموعة كل س حيث س أصغر من واحد.

وبنفس الطريقة هنبدأ نكتب الدالة الخاصة بالجزء رقم اتنين. هنلاقي إن الجزء رقم اتنين يمرّ بالنقطتين واحد وواحد، واتنين وصفر. هنبدأ نحسب الميل، هنلاقي إن الميل هيساوي سالب واحد. بعد كده هنبدأ نكتب المعادلة بنفس الطريقة. هنلاقي إن د س هتساوي سالب س زائد اتنين. وعندنا في الجزء رقم اتنين، هنلاقي إن عندنا دائرتان مظلَّلتان عند النقطتين واحد وواحد، واتنين وصفر. وده معناه إن الدالة معرَّفة على الفترة؛ حيث س أكبر من أو تساوي واحد، وأصغر من أو تساوي اتنين. يبقى عندنا مجموعة كل س؛ حيث س أكبر من أو تساوي واحد، وأصغر من أو تساوي اتنين.

هنطبق نفس الكلام في آخر جزء، وهو الجزء رقم تلاتة. هنلاقي إن الجزء رقم تلاتة هو جزء أفقي؛ يعني ميله هيساوي صفر. وعندنا الجزء رقم تلاتة يمر بالنقطة تلاتة وتلاتة. وبالتالي نقدر نستنتج إن معادلة الجزء التالت هي د س تساوي تلاتة. وهنلاحظ إن عندنا دايرة غير مظلَّلة عند النقطة اتنين وتلاتة. معنى كده إن الدالة معرَّفة على الفترة؛ حيث س أكبر من اتنين. وبالتالي هيبقى عندنا مجموعة كل س؛ حيث س أكبر من اتنين. يبقى كده قدرنا نكتب كل جزء من الدالة. وبالتالي نقدر نقول إن الدالة المتعدِّدة التعريف هي د س هتساوي اتنين س زائد تلاتة؛ حيث س أصغر من واحد. وسالب س زائد اتنين؛ حيث س أكبر من أو تساوي واحد وأصغر من أو تساوي اتنين. وتلاتة؛ حيث س أكبر من اتنين.

يبقى كده اتكلمنا عن الدالة المتعددة التعريف. وعرفنا إزَّاي نمثّلها بيانيًّا. وإزَّاي كمان نقدر نكتبها من خلال التمثيل البياني لها.