فيديو السؤال: إيجاد مشتقة دالة تكعيبية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مشتقة الدالة د ﻥ تساوي اثنين ﻥ تكعيب زائد ثمانية ﻥ ناقص واحد مستخدمًا تعريف المشتقة.

يطلب منا هذا السؤال إيجاد مشتقة الدالة د ﻥ. ومطلوب منا فعل ذلك باستخدام تعريف المشتقة. لنبدأ إذن بتذكر تعريف المشتقة. بالنسبة للدالة رﺱ والنقطة ﺱ صفر، تكون مشتقة رﺱ عند ﺱ صفر معرفة بما يلي. ‏ر شرطة ﺱ صفر تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ر عند ﺱ صفر زائد ﻫ ناقص ر عند ﺱ صفر الكل مقسومًا على ﻫ إذا كانت هذه النهاية موجودة.

هذا التعريف يعطينا مشتقة الدالة عند نقطة واحدة. يمكننا بعد ذلك استخدام ذلك لإيجاد مشتقة الدالة بأكملها. لنبدأ بإيجاد مشتقة الدالة د ﻥ عند ﻥ صفر. من تعريف المشتقة، لدينا د شرطة ﻥ صفر تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ د عند ﻥ صفر زائد ﻫ ناقص د عند ﻥ صفر الكل مقسومًا على ﻫ.

بعد ذلك، يمكننا استخدام تعريف الدالة د ﻥ لإعادة كتابة النهاية على الصورة التالية. سنبدأ الآن في تبسيط النهاية. أولًا، سنوزع التكعيب على أول قوسين. فنحصل على اثنين ﻥ صفر تكعيب زائد ستة ﻥ صفر تربيع ﻫ زائد ستة ﻥ صفر ﻫ تربيع زائد اثنين ﻫ تكعيب.

بعد ذلك، نضرب الزوج الثاني من الأقواس. فنحصل على ثمانية ﻥ صفر زائد ثمانية ﻫ. وأخيرًا، نطرح واحدًا ونضرب المجموعة الأخيرة من الأقواس في سالب واحد. ونقسم الكل على ﻫ. وهذا يعطينا التعبير التالي.

يمكننا تبسيط هذا التعبير قليلًا عن طريق حذف بعض الحدود. نرى أن لدينا زائد ثمانية ﻥ صفر، وسالب ثمانية ﻥ صفر. سنطرح أيضًا واحدًا ونضيف واحدًا. وأخيرًا، لدينا اثنان ﻥ صفر تكعيب ناقص اثنين ﻥ صفر تكعيب. إذن، بحذف هذين الحدين، تصبح النهاية هي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لستة ﻥ صفر تربيع ﻫ زائد ستة ﻥ صفر ﻫ تربيع زائد اثنين ﻫ تكعيب زائد ثمانية ﻫ الكل مقسومًا على ﻫ.

والآن يمكننا ملاحظة أن كل حد في البسط يشترك في العامل ﻫ. وبما أن قيمة النهاية هي عندما يقترب ﻫ من الصفر، فإن ﻫ لا يساوي صفرًا. إذن، يمكننا حذف هذا العامل المشترك ﻫ. وهذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لستة ﻥ صفر تربيع زائد ستة ﻥ صفر ﻫ زائد اثنين ﻫ تربيع زائد ثمانية. وتذكر أن ﻥ صفر هو مجرد ثابت. إذن، فهذه كثيرة حدود. ويمكننا إيجاد قيمة ذلك بالتعويض المباشر.

بالتعويض بـ ﻫ يساوي صفرًا، نحصل على ستة ﻥ صفر تربيع زائد ستة ﻥ صفر في صفر زائد اثنين في صفر تربيع زائد ثمانية. وبالطبع، يمكننا تبسيط هذا لنحصل على ستة ﻥ صفر تربيع زائد ثمانية. لكن تذكر أن هذه مشتقة الدالة فقط عند النقطة ﻥ صفر. ويمكننا أن نلاحظ في العمليات الحسابية للمشتقة أننا لم نستخدم أيًّا من خصائص الثابت ﻥ صفر عند أي نقطة. كان يمكن لقيمة ﻥ صفر أن تكون أي عدد حقيقي، وتكون الخطوات هي نفسها بالضبط. وكنا سنحصل أيضًا على ستة ﻥ صفر تربيع زائد ثمانية.

بعبارة أخرى، أوضحنا أنه لأي قيمة حقيقية لـ ﻥ، مشتقة د شرطة ﻥ تساوي ستة ﻥ تربيع زائد ثمانية. إذن، باستخدام تعريف المشتقة، أوضحنا أن الدالة د ﻥ تساوي اثنين ﻥ تكعيب زائد ثمانية ﻥ ناقص واحد لها المشتقة د شرطة ﻥ تساوي ستة ﻥ تربيع زائد ثمانية.