فيديو الدرس: تمثيل القيم الصغيرة للكميات الفيزيائية الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، موضوعنا هو تمثيل القيم الصغيرة للكميات الفيزيائية. وسنستعرض على وجه التحديد طرقًا عددية لفعل ذلك. وفي أثناء ذلك، سنتعرف على مجموعة من بادئات الوحدات، وكذلك على كيفية تحويل القيم الصغيرة المكتوبة بالصيغة العلمية إلى الصورة العشرية، ثم التحويل في الاتجاه المعاكس أيضًا، أي من الصورة العشرية إلى الصيغة العلمية.

للبدء، أول ما يمكننا ملاحظته هو أنه من المألوف استخدام القيم الصغيرة في الفيزياء. فمثلًا، شحنة الإلكترون الواحد تساوي تقريبًا سالب 1.6 في 10 أس سالب 19 كولوم. ينطبق ذلك أيضًا على قيمة أخرى، وهي ثابت الجذب العام. فهو يساوي تقريبًا 6.7 في 10 أس سالب 11 متر مكعب لكل كيلوجرام في الثانية تربيع. إلى جانب مثل هذه القيم، قد نجري عملية حسابية باستخدام، مثلًا، كتلة البروتون أو متوسط الزمن الذي يستغرقه الإلكترون في الانتقال تلقائيًّا إلى مستوى طاقة أقل. ولعلنا نريد فقط قياس كتلة بعض حبيبات الرمل.

ومن ثم، نلاحظ أن الفيزياء تتضمن عادة قيمًا صغيرة للكميات الفيزيائية. ولتحري الدقة والبساطة في الحسابات، نفضل إيجاد طرق مناسبة لتمثيل هذه الأعداد الصغيرة. باستخدام هاتين القيمتين، شحنة الإلكترون وثابت الجذب العام، نكون قد قطعنا خطوة في الاتجاه الصحيح بكتابة هاتين القيمتين بالصيغة العلمية. فمن الأسهل كتابة الأعداد وفهمها بهذا الشكل مقارنة بالتعبير عنها في صورة قد تكون مألوفة أكثر، وهي الصورة العشرية.

إذن، من الجيد استخدام الصيغة العلمية مع القيم الفيزيائية الصغيرة. لكن بإمكاننا تحسين ذلك أكثر. لكي نرى كيف يمكننا فعل ذلك، لننظر سريعًا إلى الجزء المرئي من الطيف الكهرومغناطيسي، وهو ما يعني أن هذه هي الترددات المحددة للضوء التي ترصدها أعيننا. عندما نفكر في أي من طرفي الطيف المرئي، الضوء الأحمر هنا والضوء البنفسجي هنا، يمكننا كتابة الطولين الموجيين التقريبيين لهذين اللونين بالصيغة العلمية. فالضوء الأحمر له طول موجي يساوي سبعة في 10 أس سالب سبعة متر تقريبًا، بينما الطول الموجي للإشعاع البنفسجي يساوي أربعة في 10 أس سالب سبعة متر تقريبًا.

لكن حتى مع تسمية هذين الطولين الموجيين بهذه الطريقة، يمكننا ملاحظة أنهما طويلان بعض الشيء. فإذا كنا نجري تجربة مثلًا ونجمع فيها الكثير من نقاط البيانات حول الطول الموجي للإشعاع المرئي، فقد نجد أنفسنا نجري الكثير من العمل الإضافي للتعبير عن الأعداد بهذه الطريقة. لذا للمساعدة في تبسيط مثل هذه الحالات التي نتعامل فيها مع قيم صغيرة نسبيًّا، طور نظام يسمى بادئات الوحدات. نلاحظ من هذا الاسم أن بادئة الوحدة ستتضمن وحدة من نوع ما. في حالة إشعاع الضوء المرئي، من المرجح أن تكون هذه الوحدة هي المتر، وتسبق هذه الوحدة بما يسمى البادئة.

لقد سبق أن رأينا بادئات الوحدات، حتى وإن لم ندرك ماهيتها عند رؤيتها. على سبيل المثال، لنفترض أننا نقيس 7.5 ملليجرامات من مادة ما. في هذه الكمية، لدينا وحدة، وهي الجرام، ولها بادئة. هذه البادئة هي المللي، ونرى أننا نرمز لها بحرف ‪𝑚‬‏. ويشير الملليجرام الواحد إلى 10 أس سالب ثلاثة، أو إلى جزء واحد من الألف من الجرام. البادئة التالية الأصغر والأكثر استخدامًا هي بادئة الميكرو. وهي تمثل بالحرف اليوناني ‪𝜇‬‏، وتساوي جزءًا واحدًا من المليون أو 10 أس سالب ستة من أي وحدة قياس نقصدها.

لكن ما زالت لدينا بادئة أصغر، وهي النانو التي يمثلها الحرف ‪𝑛‬‏. وتساوي هذه البادئة جزءًا واحدًا من المليار أو 10 أس سالب تسعة من الوحدة التي نتعامل معها. وبالمناسبة، هذه البادئة هي التي نستخدمها عادة لتمثيل هذه الأطوال الموجية للضوء في الطيف المرئي. فمثلًا، بدلًا من كتابة أو قول سبعة في 10 أس سالب سبعة متر، يمكننا أن نقول‪:‬‏700 نانومتر. وكذلك الحال بالنسبة لأربعة في 10 أس سالب سبعة متر؛ إذ نقول ونكتب 400 نانومتر بدلًا من ذلك. يمكننا أن نلاحظ أن هذه طريقة أسهل للتعبير عن هذين العددين، وكذلك للمقارنة بينهما.

بالاستمرار إلى أسفل قائمة البادئات، نجد لدينا البادئة بيكو، التي تمثل بالحرف ‪𝑝‬‏ وتساوي 10 أس سالب 12 أو جزءًا واحدًا من التريليون من الوحدة التي نستخدمها. وتستخدم هذه البادئة عادة عند دراسة النبضات القصيرة للغاية من أشعة الليزر. فيمكننا القول، على سبيل المثال، إن نبضة معينة من الليزر استمرت 75 بيكوثانية.

لكن ما تزال هناك بادئة أصغر، وهي الفيمتو. وفيمتو وحدة ما، سواء كانت فيمتوثانية أو فيمتومترًا، تساوي جزءًا واحدًا من الكوادريليون من الوحدة، أي 10 أس سالب 15 من الوحدة التي نستخدمها. ومن أمثلة الاستخدام العملي لهذه البادئة وصف حجم الجسيمات تحت الذرية. على سبيل المثال، الفيمتومتر الواحد يساوي تقريبًا قطر البروتون. هيا إذن نفكر كيف يمكن أن تنطبق فكرة بادئات الوحدات على هاتين القيمتين اللتين كتبناهما هنا.

بدلًا من التعبير عن شحنة الإلكترون في صورة سالب 1.6 في 10 أس سالب 19 كولوم، يمكننا كتابتها في صورة سالب 0.00016 فيمتوكولوم. وماذا عن ثابت الجذب العام ‪𝐺‬‏؟ يمكننا كتابة هذه القيمة في صورة 67 بيكومترًا مكعبًا لكل كيلوجرام في الثانية تربيع. لكن في هذه الحالة يحجب تعقيد هذه الوحدة الفائدة من استخدام بادئة الوحدة بشكل جزئي، ولكن ليس تمامًا. في كلتا هاتين الحالتين، أي ‪𝐺‬‏ وشحنة الإلكترون، نلاحظ أن استخدام بادئات الوحدة يتيح لنا كتابة هاتين القيمتين بطرق أكثر وضوحًا وبساطة مقارنة بكتابتها بالصيغة العلمية أو حتى في الصورة العشرية الكاملة.

قبل أن ننتقل إلى مثال تدريبي، دعونا نتناول كيف يمكننا التحويل بين هذين التمثيلين المختلفين للقيم؛ أي كتابة عدد بالصيغة العلمية أو في صورة عدد عشري. إذا كانت لدينا قيمة فيزيائية، فسنرغب في التمكن من التحويل بين هذين التمثيلين جيئة وذهابًا. إذن، دعونا نفرغ بعض المساحة على الشاشة، ونفكر في كيفية فعل ذلك.

عندما نفكر في أي قيمة صغيرة، نجد أنه عندما نكتب هذه القيمة بالصيغة العلمية، فإنها ستتضمن عددًا ما. يمكننا أن نسميه ‪𝑎‬‏؛ حيث ‪𝑎‬‏ أقل من 10 وأكبر من أو يساوي واحدًا. ونضرب هذا العدد في 10 أس عدد صحيح سالب؛ فهنا ‪𝑛‬‏ هو عدد صحيح. بعد معرفة هذه الطريقة لكتابة العدد، نرغب في معرفة كيفية كتابته في صورة عشرية بدلًا من ذلك. لفعل ذلك، يمكننا البدء بالقيمة ‪𝑎‬‏. قد يكون ‪𝑎‬‏ عددًا صحيحًا مثل ثلاثة أو سبعة، أو قد يكون مكتوبًا في صورة عدد ذي منازل عشرية مثل 1.275.

في كلتا الحالتين، نريد تحديد الموضع الذي تقع فيه العلامة العشرية في العدد ‪𝑎‬‏. فهي إما أن تقع في مكان واضح، أو إذا كان ‪𝑎‬‏ عددًا صحيحًا كما ذكرنا، مثل سبعة، فإن العلامة العشرية ستقع ضمنيًّا بعد هذا الرقم. إذن أيًّا كان موضع العلامة العشرية في هذه القيمة ‪𝑎‬‏، نحدد هذا الموضع ونكتبها فيه. وتتضمن خطوتنا التالية تحريك هذه العلامة العشرية لعدد معين من الخانات نحو اليسار. السبب في ذلك هو أننا في الصيغة العلمية نضرب العدد ‪𝑎‬‏ في 10 أس عدد صحيح سالب. وتتحرك العلامة العشرية إلى اليسار وليس إلى اليمين لأن العدد 10 مرفوع لقوة أسية سالبة.

من أجل التوضيح فقط، دعونا نختر قيمة معينة لـ ‪𝑛‬‏. لنفترض أن ‪𝑛‬‏ يساوي خمسة. هذا معناه أننا سنحرك العلامة العشرية هنا بمقدار خانة واحدة، خانتين، ثلاث، أربع، خمس خانات نحو اليسار. وفيما يتعلق بالخانات الخالية حاليًّا، يمكننا ملؤها بالأصفار مثلًا. وكخطوة أخيرة، نضع صفرًا قبل العلامة العشرية. يصبح لدينا بذلك هذه القيمة الصغيرة، التي كانت مكتوبة في الأصل بالصيغة العلمية وكان ‪𝑛‬‏ فيها يساوي خمسة، معبرًا عنها بالصورة العشرية المكافئة. وإذا فكرنا في الحالة التي يكون فيها ‪𝑛‬‏ أي عدد صحيح موجب، فسنجد أنه يمكننا كتابة ذلك بالصورة العشرية بهذه الطريقة. ويمكننا القول إنه بين العلامة العشرية والقيمة ‪𝑎‬‏، يوجد عدد أصفار يساوي ‪𝑛‬‏ ناقص واحد.

إن رؤية كيفية التحويل من الصيغة العلمية إلى الصورة العشرية تعطينا فكرة عن كيفية إجراء التحويل في الاتجاه المعاكس. فإذا كانت لدينا قيمة صغيرة مكتوبة بالصورة العشرية هكذا، يمكننا عد الأصفار التي نراها بين العلامة العشرية وأول رقم غير صفري، ثم نضيف واحدًا إلى هذا العدد، فيكون ذلك الأس ‪𝑛‬‏ الذي نستخدمه عند كتابة هذه القيمة بالصيغة العلمية. نأخذ، بعد ذلك، العدد غير الصفري وهو العدد ‪𝑎‬‏؛ حيث ‪𝑎‬‏ أكبر من أو يساوي واحدًا وأقل من 10. ونضع ذلك أمام العامل 10 أس سالب ‪𝑛‬‏. وأفضل طريقة لتعلم ذلك كله هي التدريب. لذلك، لنتناول مثالًا تدريبيًّا.

وصلت رصاصة إلى السكون خلال زمن مقداره خمسة في 10 أس سالب أربعة ثانية. ما الزمن الذي استغرقته الرصاصة في الوصول إلى السكون، معبرًا عنه في الصورة العشرية؟

حسنًا، لدينا هنا هذه القيمة بالثواني معبر عنها بالصيغة العلمية. ونحن نعلم ذلك لأن هذا العدد يبدأ بقيمة أكبر من أو تساوي واحدًا وأقل من 10. وهذا العدد مضروب في 10 أس عدد صحيح، وهو سالب أربعة. والمطلوب في المسألة هو كتابة هذا الزمن معبرًا عنه بالصورة العشرية، وليس بالصيغة العلمية.

بوجه عام، للتحويل بين هاتين الطريقتين لكتابة عدد، يمكننا القول إنه إذا كانت لدينا قيمة معبر عنها بالصيغة العلمية، أي ‪𝑎‬‏ في 10 أس سالب ‪𝑛‬‏؛ حيث ‪𝑎‬‏ أكبر من أو يساوي واحدًا وأقل من 10، و‪𝑛‬‏ يمثل عددًا صحيحًا موجبًا، فيمكننا كتابته في صورة صفر تليه علامة عشرية يليها عدد من الأصفار يساوي ‪𝑛‬‏ ناقص واحد. وفي نهاية هذا كله تأتي القيمة ‪𝑎‬‏.

يمكننا تطبيق طريقة التحويل هذه على قيمة الزمن الذي استغرقته الرصاصة للوصول إلى السكون. في هذه القيمة للفترة الزمنية في الصيغة العلمية، يقابل الرقم خمسة قيمة ‪𝑎‬‏ هنا. إذن، سنكتب ذلك. وفي الأس، يمكننا أن نلاحظ أن أربعة تقابل ‪𝑛‬‏ في التعبير العام. تنص هذه القاعدة العامة على أن لدينا عددًا من الأصفار يساوي ‪𝑛‬‏ ناقص واحد على يسار القيمة ‪𝑎‬‏. وعندما يساوي ‪𝑛‬‏ أربعة، فإن ‪𝑛‬‏ ناقص واحد يساوي ثلاثة. لذا نضع صفرًا، صفرين، ثلاثة أصفار على يسار الرقم خمسة. ثم على يسار ذلك تأتي العلامة العشرية والصفر الأخير.

ما فعلناه هنا هو أننا اتبعنا القاعدة العامة لتحويل عدد من الصيغة العلمية إلى الصورة العشرية. وآخر شيء سنفعله هو تضمين وحدة الثواني في هذا العدد. وبذلك نكون قد كتبنا الزمن الذي استغرقته هذه الرصاصة حتى وصلت إلى السكون في الصورة العشرية. وهو يساوي 0.0005 ثانية.

لنلق نظرة الآن على مثال تدريبي آخر.

أي من الآتي يساوي نانو وات واحدًا عند ضربه في وات واحد؟ (أ) 10 أس تسعة، (ب) 10 أس سالب ستة، (ج) 10 أس سالب ثمانية، (د) 10 أس سالب تسعة، (هـ) 10 أس ستة.

المطلوب منا في هذا السؤال هو معرفة أي عدد من بين هذه الأعداد الخمسة يساوي نانو وات واحدًا إذا ضربناه في وات واحد. إذن ما نقوله في الأساس هنا هو: «ما العدد، ولنرمز له بحرف ‪𝑁‬‏، الذي يمكن أن نضربه في وات واحد لنحصل على نانو وات واحد؟» للإجابة عن هذا السؤال، أي لإيجاد قيمة ‪𝑁‬‏، علينا أن نعرف العلاقة بين النانو وات والوات. يشير هذا الرمز هنا، الحرف ‪𝑛‬‏ الصغير، إلى بادئة النانو. ويمكننا أن نتذكر أن بادئة النانو هذه تناظر جزءًا واحدًا من المليار من أي وحدة تأتي بعدها. إذن، في هذه الحالة، النانو وات الواحد يساوي واحدًا على المليار من الوات.

ولتمثيل واحد على المليار عدديًّا، يمكننا استخدام هذه القيمة هنا، وهي 10 أس سالب تسعة. هذا يعني أنه إذا عوضنا عن هذا العدد، ‪𝑁‬‏، بالعدد 10 أس سالب تسعة، فإن هذا التعويض يجعل هذه المعادلة صحيحة. في هذه الحالة، إذا أخذنا وات واحدًا وضربناه في 10 أس سالب تسعة، فسنحصل على واحد على مليار من الوات، أو نانو وات واحد. وعندما نبحث عن هذه القيمة في خيارات الإجابة، نجدها في الخيار (د). ‏10 أس سالب تسعة مضروبًا في وات واحد يساوي نانو وات واحدًا.

هيا نلخص الآن ما تعلمناه عن تمثيل القيم الصغيرة للكميات الفيزيائية. في هذا الدرس، عرفنا أنه قد وضعت بادئات وحدات للقيم الصغيرة من أجل الوضوح وتيسير المقارنة. وتشمل هذه البادئات المللي الذي يمثل 10 أس سالب ثلاثة من أي وحدة، والميكرو الذي يمثل واحدًا على المليون من أي وحدة، والنانو الذي يمثل واحدًا على المليار من أي وحدة، والبيكو الذي يمثل واحدًا على التريليون من أي وحدة، والفيمتو الذي يساوي 10 أس سالب 15 أو واحدًا على الكوادريليون من أي وحدة.

وأخيرًا، عرفنا أنه يمكن تحويل القيم من الصيغة العلمية إلى الصورة العشرية، والعكس صحيح. يمكننا فعل ذلك عن طريق إدراك أن أي عدد صغير يكتب في صورة ‪𝑎‬‏ في 10 أس سالب ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا متبوعًا بعلامة عشرية يليها عدد من الأصفار يساوي ‪𝑛‬‏ ناقص واحد ثم ‪𝑎‬‏. هذا ملخص تمثيل القيم الصغيرة للكميات الفيزيائية.