فيديو السؤال: تحديد اتجاه حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

لدينا المتجهان ‪𝐀‬‏ يساوي ستة ‪𝐢‬‏ زائد سبعة ‪𝐣‬‏، و‪𝐁‬‏ يساوي 12𝐢 زائد أربعة ‪𝐣‬‏. هل حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏ يشير إلى الاتجاه الموجب للمحور ‪𝑧‬‏ أم إلى الاتجاه السالب للمحور ‪𝑧‬‏؟

هذا سؤال عن الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏. المطلوب منا معرفة إذا ما كان حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏ يشير إلى الاتجاه الموجب للمحور ‪𝑧‬‏ أم إلى الاتجاه السالب للمحور ‪𝑧‬‏. إذا نظرنا إلى هذين المتجهين المعطيين، فسنجد أن كلًّا منهما له مركبة ‪𝐢‬‏ ومركبة ‪𝐣‬‏. تذكر أن ‪𝐢‬‏ هو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑥‬‏، وأن ‪𝐣‬‏ هو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑦‬‏. هذا يعني أن كلا المتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ يقع في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. يمكننا رسم هذين المتجهين كما يلي. المتجه ‪𝐀‬‏ له ست وحدات في الاتجاه ‪𝑥‬‏ وسبع وحدات في الاتجاه ‪𝑦‬‏، وهو ما يعطينا متجهًا مثل هذا. المتجه ‪𝐁‬‏ له 12 وحدة في الاتجاه ‪𝑥‬‏ وأربعة في الاتجاه ‪𝑦‬‏؛ لذا يبدو هكذا.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا إيجاد قيمة حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏. لذا دعونا نتذكر تعريف الضرب الاتجاهي. لنتناول متجهين عامين يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. لتمييزهما عن المتجهين المعطيين في السؤال، سنسمي هذين المتجهين ‪𝐚‬‏ و‪𝐛‬‏ بالأحرف الصغيرة. يمكننا كتابة المتجهين على الصورة الإحداثية؛ حيث ‪𝐚‬‏ يساوي ‪𝑎𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝐢‬‏ زائد ‪𝑎𝑦‬‏ مضروبًا في ‪𝐣‬‏، وبالمثل بالنسبة إلى ‪𝐛‬‏. بعد ذلك، يعرف حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐚‬‏ في ‪𝐛‬‏ بأنه ‪𝑎𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑏𝑦‬‏ ناقص ‪𝑎𝑦‬‏ مضروبًا في ‪𝑥𝑏‬‏ الكل مضروبًا في ‪𝐤‬‏، وهو متجه وحدة في الاتجاه الموجب للمحور ‪𝑧‬‏. ومن ثم ينتج عن حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐚‬‏ في ‪𝐛‬‏ متجه بهذا المقدار وله اتجاه عمودي على اتجاه كل من ‪𝐚‬‏ و‪𝐛‬‏.

مطلوب في السؤال تحديد إذا ما كان ناتج الضرب الاتجاهي يقع على طول الجزء الموجب للمحور ‪𝑧‬‏ أم الجزء السالب للمحور ‪𝑧‬‏. بالنظر إلى التعبير العام للضرب الاتجاهي، نجد أن هذا يكافئ السؤال عن إذا ما كانت قيمة هذا الجزء موجبة أم سالبة. إذا كان هذا الحد موجبًا، فسيكون لدينا عدد موجب مضروب في متجه الوحدة ‪𝐤‬‏ في الاتجاه الموجب للمحور ‪𝑧‬‏. إذن، سيشير المتجه الناتج من حساب حاصل الضرب الاتجاهي إلى الاتجاه الموجب للمحور ‪𝑧‬‏. وإذا كان هذا الحد سالبًا، فسيكون لدينا عدد سالب مضروب في متجه الوحدة في الجزء الموجب للاتجاه ‪𝑧‬‏. وهذا سيعطينا متجهًا يشير إلى الاتجاه السالب للمحور ‪𝑧‬‏. لذا دعونا نحسب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين المعطيين في السؤال ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ بالأحرف الكبيرة.

الحد الأول هو المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏، التي تساوي ستة، مضروبًا في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏، التي تساوي أربعة. ثم نطرح حدًّا آخر من هذا الحد. الحد الثاني هو المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏، التي تساوي سبعة، مضروبة في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏، التي تساوي 12. بعد ذلك، يضرب هذا التعبير بالكامل في ‪𝐤‬‏؛ متجه الوحدة في الاتجاه الموجب للمحور ‪𝑧‬‏. إذا أجرينا عمليات الضرب، فسنجد أن الحد الأول بين القوسين يساوي 24، والحد الثاني هو 84. بطرح 84 من 24، نحصل على سالب 60. ومن ثم، يصبح لدينا عدد سالب مضروب في متجه الوحدة في الاتجاه الموجب للمحور ‪𝑧‬‏. ومثلما قلنا من قبل، هذا العدد السالب يعني أن المتجه الناتج يشير إلى الاتجاه السالب للمحور ‪𝑧‬‏.

إذن، الإجابة على السؤال هي أنه عند حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏، فإن المتجه الناتج يشير إلى الاتجاه السالب للمحور ‪𝑧‬‏.