فيديو الدرس: مجاميع ريمان الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف يمكن تقدير قيمة التكاملات المحددة باستخدام المستطيلات. وهذه عملية تسمى إيجاد مجاميع ريمان. سنكتشف كيفية تقسيم المساحة بين المنحنى والمحور ‪𝑥‬‏ إلى مستطيلات عند نقاط مختلفة. وسنعرف مدى دقة هذه القيم التقريبية بالنظر إلى عدد من الأمثلة بدرجات متفاوتة من الصعوبة.

لنفترض أننا نريد إيجاد المساحة بين المنحنى ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع، والمحور ‪𝑥‬‏، والخطين الرأسيين ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا و‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة. نعرف أنه يمكننا إيجاد القيمة الفعلية للمساحة باستخدام التكامل المحدد. نحسب قيمة تكامل ‪𝑥‬‏ تربيع بين واحد وثلاثة بالنسبة لـ ‪𝑥‬‏. تكامل ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي ‪𝑥‬‏ تكعيب على ثلاثة. وبإيجاد قيمة ذلك بين واحد وثلاثة، نحصل على ثلاثة تكعيب على ثلاثة ناقص واحد تكعيب على ثلاثة، وهو ما يساوي 26 على ثلاثة أو 8.67 وحدات مربعة تقريبًا. المشكلة هي أن إيجاد تكامل الدالة ليس دائمًا بهذه البساطة. وربما يكون علينا فقط إيجاد القيمة التقريبية للمساحة بين المنحنى والمحور ‪𝑥‬‏.

وللقيام بذلك، لدينا عدة خيارات. وفي هذا الفيديو، سنستخدم ما يسمى بمجاميع ريمان. في هذه الحالة، سنقسم المساحة أسفل المنحنى إلى مستطيلات ثم نوجد مساحة كل مستطيل. هناك ثلاثة طرق لفعل ذلك. يمكننا إيجاد ارتفاع المستطيلات باستخدام قيمة الدالة عند نقطة الطرف الأيسر لكل مستطيل، أو عند نقطة الطرف الأيمن لكل مستطيل، أو عند نقطة المنتصف لكل مستطيل. وفي بعض الأحيان، قد نختار استخدام فترات جزئية غير متساوية، إلا أن هذا نادرًا ما يحدث. هيا نرجع إلى المثال.

سنتخيل أننا نريد تقسيم المساحة إلى أربع فترات جزئية، أربعة مستطيلات متساوية. لإيجاد عرض كل مستطيل، علينا إيجاد الفرق بين طرفي المساحة. ونقسم ذلك إلى ‪𝑛‬‏ من الأجزاء، حيث ‪𝑛‬‏ يمثل عدد الفترات الجزئية. وهذا يساوي ثلاثة ناقص واحد الكل على أربعة، وهو ما يساوي بالتأكيد نصفًا. بذلك يكون طول كل فترة جزئية 0.5 وحدات. كقاعدة، نقول: إن عرض كل مستطيل، ‪𝛥𝑥‬‏، يساوي ‪𝑏‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ على ‪𝑛‬‏. حيث ‪𝑏‬‏ و‪𝑎‬‏ طرفا الفترة، و‪𝑛‬‏ عدد الفترات الجزئية. لنبدأ بتقدير قيمة المساحة باستخدام نقطة الطرف الأيمن لكل فترة جزئية. بعبارة أخرى، سنوجد ارتفاع كل مستطيل عن طريق معرفة قيمة الدالة عند نقطة الطرف الأيمن لكل فترة جزئية.

نبدأ من بداية الفترة، ونضيف 0.5 إلى واحد. نجد أن ارتفاع هذا المستطيل يساوي قيمة الدالة عند ‪𝑥‬‏ يساوي 1.5. إنها قيمة ‪𝑓‬‏لـ 1.5، وهي بالطبع 1.5 تربيع، ما يساوي 2.25. وبما أنه يمكن إيجاد مساحة المستطيل عن طريق ضرب طول قاعدته في ارتفاعه، سنوجد مساحة هذا المستطيل بضرب 0.5 في 2.25. وهذا يعطينا 1.125 وحدة مربعة. بعد ذلك، سنضيف 0.5 آخر إلى 1.5 لنحصل على اثنين. ارتفاع هذا المستطيل يساوي قيمة الدالة عند ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين. إنها قيمة ‪𝑓‬‏ لاثنين، وهي اثنان تربيع، أي ما يساوي أربعة بالتأكيد. هذه المرة، مساحة المستطيل تساوي أربعة في 0.5، ما يساوي وحدتين مربعتين. ثم نضيف 0.5 آخر إلى اثنين لنحصل على 2.5. وعندها سنجد أن ارتفاع هذا المستطيل يساوي قيمة الدالة ‪𝑓‬‏لـ 2.5. وقيمة ‪𝑓‬‏لـ 2.5 تساوي 2.5 تربيع، ما يساوي 6.25. إذن، مساحة المستطيل الثالث تساوي 6.25 في 0.5، ما يساوي 3.125 وحدات مربعة.

وأخيرًا، إذا أضفنا 0.5 آخر، فسنصل إلى ثلاثة. وهذه هي نهاية الفترة. إنه المستطيل الرابع كما هو مطلوب. هذه المرة، ارتفاع المستطيل يساوي قيمة ‪𝑓‬‏ لثلاثة. إنها ثلاثة تربيع، أي تسعة. وعليه فإن مساحة المستطيل الأخير تساوي تسعة في 0.5، ما يساوي 4.5 وحدات مربعة. لإيجاد قيمة تقديرية للمساحة الكلية أسفل المنحنى، وبالتالي قيمة تقديرية للتكامل المحدد بين واحد وثلاثة لـ ‪𝑥‬‏ تربيع، علينا جمع تلك القيم معًا. القيمة التقديرية لهذا التكامل تساوي 1.125 زائد اثنين زائد 3.125 زائد 4.5، ما يساوي 10.75 وحدات مربعة.

تذكر أن الإجابة التي حصلنا عليها عندما أوجدنا القيمة الفعلية للتكامل كانت 8.67. وإذا أمعنا النظر، فسنلاحظ أن المستطيلات تغطي مساحة أكبر قليلًا من المساحة المطلوبة. إذن، كان من المتوقع أن نحصل على قيمة تقديرية أكبر من الفعلية. ويمكننا بالطبع أن نحصل على قيمة تقريبية أدق، عن طريق تقسيم المساحة إلى مستطيلات أكثر بفترات جزئية أصغر. وفي الحقيقة، عند اقتراب عدد الفترات الجزئية ‪𝑛‬‏ من ما لا نهاية، فإن مجموع ريمان يقترب من القيمة الفعلية للتكامل المحدد للدالة بين طرفي الفترة. مع ذلك، ينبغي أن نتذكر أنه إذا كان للدالة قيم موجبة وسالبة كما نرى هنا. فإن مجموع ريمان يساوي مجموع مساحات المستطيلات الواقعة فوق المحور ‪𝑥‬‏، بالإضافة إلى سوالب قيم مساحات المستطيلات الواقعة أسفل المحور ‪𝑥‬‏. في هذه الحالة، فإنه يساوي مساحة المستطيلات الوردية ناقص مساحة المستطيلات الصفراء. والآن سنرى مثالًا فعليًّا لهذه العملية، وسنستخدم هذه المرة نقاط الطرف الأيسر.

إذا كانت الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ تساوي أربعة ‪cos 𝑥‬‏، و‪𝑥‬‏ أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من أو يساوي ‪𝜋‬‏ على أربعة، فأوجد قيمة مجموع ريمان للدالة ‪𝑓‬‏ لأقرب ست منازل عشرية باستخدام ست فترات جزئية، مع مراعاة أن نقاط العينة هي نقاط النهاية اليسرى.

تذكر أنه يمكننا إيجاد قيمة تقريبية للتكامل المحدد لدالة بين طرفي الفترة ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ عن طريق تقسيم المساحة الموجودة بين المنحنى والمحور ‪𝑥‬‏ إلى ‪𝑛‬‏ من الفترات الجزئية. حيث عرض كل مستطيل، ‪𝛥𝑥‬‏، يساوي الفرق بين طرفي الفترة مقسومًا على ‪𝑛‬‏، وهو عدد الفترات الجزئية. في هذا السؤال، نريد تقسيم المساحة إلى ست فترات جزئية؛ لذا سنعوض عن ‪𝑛‬‏ بستة. وسنعوض عن ‪𝑎‬‏ بصفر، وعن ‪𝑏‬‏ بـ ‪𝜋‬‏ على أربعة. إذن ‪𝛥𝑥‬‏، عرض كل مستطيل، يساوي ‪𝜋‬‏ على أربعة ناقص صفر على ستة، يساوي ‪𝜋‬‏ على 24. والآن، لنرسم المنحنى ‪𝑦‬‏ يساوي أربعة ‪cos 𝑥‬‏ في الفترة بين ‪𝑥‬‏ يساوي صفر و‪𝜋‬‏ على أربعة راديان، ثم نقسمها إلى هذه الفترات الجزئية الست.

يطلب منا هذا السؤال أن نستخدم نقاط الطرف الأيسر. إذن، ارتفاع كل مستطيل سيساوي قيمة الدالة عند نقطة الطرف الأيسر لكل فترة جزئية. الرسم مفيد جدًا هنا لأنه يرينا أن كل المستطيلات تقع فوق المحور ‪𝑥‬‏. إذن علينا فقط أن نوجد القيم الموجبة لمساحات المستطيلات. هيا نحسب مساحة المستطيل الأول. نقطة طرفه الأيسر عند ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا. إذن سنوجد ارتفاع المستطيل عن طريق إيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ لصفر. ‏‪𝑓‬‏ لصفر يساوي أربعة في ‪cos‬‏ صفر، ما يساوي أربعة. وعليه، فإن مساحة هذا المستطيل الأول تساوي ‪𝜋‬‏ على 24، بما أن هذا هو عرض كل مستطيل، في أربعة. إنها ‪𝜋‬‏ على ستة وحدات مربعة.

وعلينا الآن إيجاد نقطة الطرف التالية. ونصل إليها عن طريق إضافة ‪𝜋‬‏ على 24 إلى صفر؛ ما يساوي ‪𝜋‬‏ على 24. وبذلك يمكننا أن نوجد ارتفاع هذا المستطيل عن طريق إيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝜋‬‏ على 24. إنها تساوي أربعة ‪cos 𝜋‬‏ على 24، أي حوالي 3.965779 وهكذا مع توالي الأرقام. مساحة المستطيل الثاني تساوي العرض في الارتفاع أو طول القاعدة في الارتفاع. إنها تساوي ‪𝜋‬‏ على 24 في 3.965 وهكذا مع توالي الأرقام، ما يساوي حوالي 0.51911931 وهكذا مع توالي الأرقام. يطلب منا السؤال أن نقرب إجابتنا لأقرب ست منازل عشرية، لهذا كتبت الأعداد بهذا الشكل. وسنوجد نقطة الطرف التالية عن طريق إضافة ‪𝜋‬‏ على 24 آخر إلى ‪𝜋‬‏ على 24 لنحصل على ‪𝜋‬‏ على 12. من ثم فارتفاع المستطيل الثالث يساوي قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝜋‬‏ على 12، ما يساوي أربعة ‪cos 𝜋‬‏ على 12، وهو ما يعطينا جذر ستة زائد جذر اثنين. وبذلك تكون مساحة المستطيل الثالث ‪𝜋‬‏ على 24 مضروبًا في هذه القيمة، ما يعطينا حوالي 0.505 وحدة مربعة، وهكذا مع توالي الأرقام.

ونكرر هذه العملية بتكرار إضافة ‪𝜋‬‏ على 24 لإيجاد نقطة الطرف التالية. وعندما نفعل ذلك، نجد أن نقاط الطرف الأيسر للمستطيلات المتبقية هي ‪𝜋‬‏ على ثمانية، و‪𝜋‬‏ على ستة، و‪𝑥‬‏ يساوي خمسة ‪𝜋‬‏ على 24. ويمكن حساب ارتفاعاتها بإيجاد قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝜋‬‏ على ثمانية، و‪𝑓‬‏ لـ ‪𝜋‬‏ على ستة، و‪𝑓‬‏ لخمسة ‪𝜋‬‏ على 24 على الترتيب. وعندما نضرب كلًّا من هذه القيم في العرض، ‪𝜋‬‏ على 24، سنجد أن مساحة المستطيل الرابع تساوي 0.4837 تقريبًا. ومساحة المستطيل الخامس تساوي 0.4534 تقريبًا. ومساحة المستطيل السادس تساوي 0.4153 تقريبًا. تذكر أن مجموع ريمان يساوي المساحة الكلية لهذه المستطيلات الستة. إنها 2.901 وهكذا مع توالي الأرقام. وهذا يساوي 2.901067 لأقرب ست منازل عشرية.

في المثال التالي، سنرى كيفية إيجاد قيمة مجموع ريمان باستخدام نقاط المنتصف.

إذا كانت الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص أربعة، و‪𝑥‬‏ أكبر من أو يساوي سالب أربعة وأقل من أو يساوي اثنين؛ فاحسب قيمة مجموع ريمان للدالة ‪𝑓‬‏ باستخدام ست فترات جزئية، باعتبار نقاط المنتصف نقاطًا للعينة.

تذكر أنه يمكننا إيجاد قيمة تقريبية للتكامل المحدد لدالة ما، بين طرفي الفترة ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ عن طريق تقسيم المساحة الموجودة بين المنحنى والمحور ‪𝑥‬‏ إلى ‪𝑛‬‏ من الفترات الجزئية. عرض كل مستطيل هو ‪𝛥𝑥‬‏، ويمكن إيجاده عن طريق طرح ‪𝑎‬‏ من ‪𝑏‬‏ وقسمة هذه القيمة على ‪𝑛‬‏. في هذا المثال، علينا تقسيم المساحة إلى ست فترات جزئية. إذن، ‪𝑛‬‏ يساوي ستة، و‪𝑎‬‏ يساوي سالب أربعة و‪𝑏‬‏ يساوي اثنين. من ثم نوجد عرض كل من الفترات الجزئية بحساب اثنين ناقص سالب أربعة على ستة، وهو ما يساوي واحدًا. بعد ذلك، سنرسم المنحنى ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص أربعة بين طرفي الفترة سالب أربعة واثنين. وسنقسم هذه المساحة إلى ست فترات جزئية.

السؤال يطلب منا أن نستخدم نقاط المنتصف. إذن ارتفاع كل مستطيل سيساوي قيمة الدالة عند نقطة منتصف كل فترة جزئية. ستبدو المستطيلات بهذا الشكل. والآن، يمكننا حساب قيمة ‪𝑥‬‏ عند طرف كل مستطيل عن طريق تكرار إضافة واحد إلى سالب أربعة. وهذا سيعطينا جميع هذه القيم. يمكننا حينئذ أن نرى أن نقاط المنتصف ستكون سالب 3.5، و‪𝑥‬‏ يساوي سالب 2.5، وسالب 1.5، وهكذا.

والآن، علينا توخي الحذر هنا. نرى أن بعض المستطيلات يقع أسفل المحور ‪𝑥‬‏. وهذا يعني أن علينا إيجاد القيمة السالبة لمساحاتها. بعبارة أخرى، سنطرح المساحة الكلية للمستطيلات التي تقع أسفل المحور ‪𝑥‬‏ من المساحة الكلية للمستطيلات التي تقع أعلى المحور ‪𝑥‬‏. لنبدأ بإيجاد قيم الدالة عند كل نقطة منتصف. وهذا سيعطينا ارتفاعات المستطيلات. إنها تساوي قيم ‪𝑓‬‏ لسالب 3.5، و‪𝑓‬‏ لسالب 2.5، و‪𝑓‬‏ لسالب 1.5، وهكذا. وبالطبع الدالة تساوي ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص أربعة. وعندما نعوض بكل من هذه القيم في تلك الدالة، نحصل على 8.25، و2.25، وسالب 1.75، وسالب 3.75، وسالب 3.75 مرة أخرى، وسالب 1.75 مرة أخرى. من ثم نحصل على مساحة المستطيل الأول، وتساوي 8.25 في واحد.

ومساحة المستطيل الثاني تساوي 2.25 في واحد. ومساحة المستطيل الثالث تساوي 1.75 في واحد، وليس سالب 1.75. إذ إننا الآن نتعامل مع مساحات فقط. ومساحة المستطيل الرابع تساوي 3.75 في واحد. وحاصل ضرب قاعدة المستطيل الخامس في ارتفاعه يساوي 3.75 في واحد أيضًا. ومساحة المستطيل الأخير، تساوي 1.75 في واحد. وعليه، فإن قيمة مجموع ريمان تساوي 8.25 زائد 2.25 ناقص مجموع 1.75، و3.75، و3.75، و1.75 مرة أخرى. وهذا يعطينا قيمة تقريبية للتكامل المحدد بين طرفي الفترة سالب أربعة واثنين لـ ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص أربعة. إنها سالب 0.5. وبالطبع ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص أربعة دالة يسهل إلى حد ما إيجاد قيمة تكاملها. يمكننا التحقق من إجابتنا عن طريق إيجاد قيمة هذا التكامل.

وعندما نفعل ذلك، سنحصل على ‪𝑥‬‏ تكعيب على ثلاثة ناقص أربعة ‪𝑥‬‏ بين طرفي الفترة سالب أربعة واثنين، وهو ما يعطينا صفرًا. والقيمة التقديرية 0.5 قريبة للغاية من هذه القيمة الفعلية. لذا يمكننا القول: إننا على الأرجح حللنا بطريقة صحيحة. تجدر الإشارة هنا إلى أننا لن نتمكن دائمًا من رسم المنحنى. لذا، بدلًا من ذلك، علينا الانتباه إلى أنه عندما تكون قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أقل من صفر، نطرح مساحة المستطيل الذي له هذا الارتفاع.

والآن بما أننا رأينا ثلاثة أنواع من مجاميع ريمان، هيا نر ما إذا كانت القيمة التقديرية للتكامل التي نحسبها هي الأعلى أم الأدنى.

أمامنا جدول يوضح بعض قيم الدالة التزايدية ‪𝑓‬‏. استخدم مجاميع ريمان لإيجاد أعلى قيمة تقديرية وأدنى قيمة تقديرية للتكامل المحدد بين طرفي الفترة صفر و20 للدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏.

من المهم أن نعرف أن لدينا جدولًا لبعض قيم دالة تزايدية. وهذا يعني أنه في الفترة المغلقة من صفر إلى 20، سيتجه منحنى الدالة لأعلى دائمًا. ربما يبدو بهذا الشكل. والآن، نعرف أنه يمكننا إيجاد قيم تقديرية للتكامل المعطى عن طريق استخدام مجاميع ريمان. لذا، فمهمتنا هي معرفة أي من مجاميع ريمان يتوقع أن يعطينا أدنى قيمة تقديرية، وأي من مجاميع ريمان سيعطينا أعلى قيمة تقديرية. إذا حاولنا إيجاد قيمة مجموع ريمان باستخدام نقاط الطرف الأيسر، فسنحصل على هذا الشكل. معظم المستطيلات مساحتها أصغر قليلًا من المساحة الفعلية. وعندما نستخدم نقاط الطرف الأيمن، سنحصل على مستطيلات مساحتها أكبر بكثير من المساحة الفعلية. والأمر ينطبق أيضًا على استخدام نقاط المنتصف؛ لأننا سنحصل على شيء بين البينين كما لو كنا نستخدم قاعدة شبه المنحرف.

وهذا يعني أن استخدام نقاط الطرف الأيسر سيعطينا أدنى قيمة تقديرية، واستخدام نقاط الطرف الأيمن سيعطينا أعلى قيمة تقديرية. هيا نوجد كلا هاتين القيمتين. نرى أن عرض كل فترة جزئية لدينا يساوي أربعة. لذا يمكننا القول: إن عرض كل مستطيل سيكون أربع وحدات. ومساحة المستطيل الأول ستكون أربعة في القيمة الموجبة للدالة عند نقطة الطرف الأيسر، وهذا يساوي ثلاثة. وستكون مساحة المستطيل الثاني أربعة في أربعة. وستكون مساحة المستطيل الثالث أربعة في تسعة. ثم سيكون لدينا مستطيل مساحته أربعة في 18 ومستطيل آخر مساحته أربعة في 30.

تذكر أن المستطيل الأول يقع أسفل المحور ‪𝑥‬‏؛ لذا سنطرح مساحته من مجموع مساحات المستطيلات الأربعة الأخرى. وبذلك نحصل على مساحة كلية تساوي 232 وحدة مربعة. والآن، نكرر ذلك باستخدام نقطة الطرف الأيمن. ونرى أن مساحة المستطيل الأول تساوي أربعة في أربعة. ومساحة المستطيل الثاني تساوي أربعة في تسعة. ثم سيكون لدينا مستطيل مساحته أربعة في 18، ومستطيل آخر مساحته أربعة في 30، وآخر مساحته أربعة في 35. هذه المرة، كل من هذه المستطيلات تقع أعلى المحور ‪𝑥‬‏. لذا سنجمع كل هذه القيم معًا لنحصل على 384 وحدة مربعة. بذلك، فإن أدنى وأعلى قيم تقديرية للتكامل المحدد للدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ بين صفر و20 هي 232 و384 على الترتيب. في الحقيقة، يمكننا تعميم النتيجة هنا. يمكننا القول: إنه عندما تكون الدوال تزايدية، نجد التالي. قيمة مجموع ريمان الأيسر ستكون قيمة تقديرية أدنى للمساحة بين المنحنى والمحور ‪𝑥‬‏. بينما قيمة مجموع ريمان الأيمن ستعطينا قيمة تقديرية أعلى. والعكس صحيح بالطبع عندما نتعامل مع دوال تناقصية.

افترض أن ‪𝑇‬‏، و‪𝐿‬‏، و‪𝑅‬‏ قيم تقريبية للتكامل المحدد بين واحد وثلاثة لـ ‪𝑥‬‏ تكعيب زائد واحد بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ باستخدام قاعدة شبه المنحرف، ومجموع ريمان الأيسر، ومجموع ريمان الأيمن على الترتيب، باستخدام 10 فترات جزئية. أي من العلاقات التالية تمثل العلاقة الصحيحة بين القيم التقريبية الثلاث؟ هل هي ‪𝑅‬‏ أقل من ‪𝑇‬‏ التي هي أقل من ‪𝐿‬‏، أم ‪𝐿‬‏ أقل من ‪𝑇‬‏ التي هي أقل من ‪𝑅‬‏، أم ‪𝑅‬‏ أقل من ‪𝐿‬‏ التي هي أقل من ‪𝑇‬‏، أم ‪𝑇‬‏ أقل من ‪𝐿‬‏ التي هي أقل من ‪𝑅‬‏؟

فلننظر للدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ تكعيب زائد واحد. بالنظر إلى شكل المنحنى، نعرف أن هذه دالة تزايدية. ويمكننا التحقق من ذلك عن طريق الاشتقاق لنحصل على المشتقة ثلاثة ‪𝑥‬‏ تربيع التي قيمها أكبر من الصفر لقيم ‪𝑥‬‏ التي لا تساوي صفرًا، ونقطع الشك باليقين. وهذا يساعدنا كثيرًا لأننا نعرف أنه عند التعامل مع دالة تزايدية، فإن قيمة مجموع ريمان الأيسر تعطينا قيمة تقديرية أدنى للمساحة الفعلية. دعونا نسم هذه القيمة ‪𝐴‬‏. ومجموع ريمان الأيمن يعطينا قيمة تقديرية أعلى للمساحة الفعلية. إذن، يمكننا القول، إننا نعرف أن القيمة ‪𝐴‬‏ لا بد أنها أكبر من ‪𝐿‬‏ التي لا بد أنها أقل من ‪𝑅‬‏. وهذا يعني بالطبع أن ‪𝑅‬‏ بدورها أكبر من ‪𝐿‬‏.

لكن أين هي القيمة التقديرية لقاعدة شبه المنحرف هنا؟ إنها لا تعني أكثر من متوسط قيمتي مجموعي ريمان الأيمن والأيسر. لذا فإن هذه القيمة التقريبية لا بد وأنها تقع بينهما. نستنتج أن ‪𝑇‬‏ أكبر من ‪𝐿‬‏ لكنها أقل من ‪𝑅‬‏. إذن، فالعلاقة الثانية هي العلاقة الصحيحة بين القيم التقريبية الثلاث.

في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا إيجاد قيم تقريبية للتكامل المحدد عن طريق تقسيم المساحة الموجودة بين المنحنى والمحور ‪𝑥‬‏ إلى عدد من المستطيلات. كل مستطيل له ارتفاع يساوي قيمة الدالة عند نقطة الطرف الأيمن للفترة الجزئية أو نقطة طرفها الأيسر أو نقطة منتصفها. كما رأينا أنه عند التعامل مع الدوال التزايدية، فإن قيمة مجموع ريمان الأيسر ستعطينا قيمة أقل من قيمة مجموع ريمان الأيمن. والعكس صحيح بالنسبة للدوال التناقصية.