فيديو السؤال: إيجاد نهاية دالة كسرية عند نقطة الرياضيات

أوجد نها_(ﺱ → ٢) (ﺱ^٢ − ٢ﺱ)‏/‏(٢ﺱ^٢ − ٦ﺱ + ٤).

٠٣:٥٢

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ على اثنين ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد أربعة.

حسنًا، مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد النهاية لدالة كسرية عندما يقترب ﺱ من اثنين. إننا نعلم أن الدالة الكسرية هي خارج قسمة دالتين كثيرتي حدود. ونعلم أنه يمكننا إيجاد قيمة النهاية لأي دالة كثيرة حدود باستخدام التعويض المباشر. في الواقع، يمكننا محاولة حساب قيمة خارج قسمة كثيرتي حدود باستخدام التعويض المباشر. بالتعويض بـ ﺱ يساوي اثنين، نحصل على: اثنان تربيع ناقص اثنين في اثنين على اثنين في اثنين تربيع ناقص ستة في اثنين زائد أربعة. وإذا حسبنا قيمة هذا المقدار، فسنحصل على الصيغة غير المعينة: صفر على صفر. إذن، حصلنا من خلال التعويض المباشر على صيغة غير معينة. هذا يعني أن علينا استخدام طريقة مختلفة لإيجاد قيمة هذه النهاية.

عندما عوضنا بـ ﺱ يساوي اثنين في كثيرة الحدود في البسط، حصلنا على صفر. وعندما عوضنا بـ ﺱ يساوي اثنين في كثيرة الحدود في المقام، حصلنا على صفر أيضًا. وإذا حصلنا على صفر بالتعويض بـ ﺱ يساوي اثنين في كثيرتي الحدود لدينا، فإننا نجد أن ﺱ ناقص اثنين يجب أن يكون عاملًا مشتركًا بين كثيرتي الحدود هاتين، وذلك وفقًا لنظرية العوامل. هيا نستخدم ذلك لتحليل البسط والمقام. إننا نعلم أن البسط يحتوي على العامل ﺱ ناقص اثنين وفقًا لنظرية العوامل. نلاحظ أيضًا أن الحدين لدينا بينهما عامل مشترك؛ وهو ﺱ. إذن، إما بقسمة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ على ﺱ ناقص اثنين، أو بإخراج العامل المشترك ﺱ من البسط، نجد أن البسط يساوي ﺱ ناقص اثنين في ﺱ.

والآن، علينا فعل الشيء نفسه مع المقام. مرة أخرى، وفقًا لنظرية العوامل، نعلم أنه يحتوي على العامل ﺱ ناقص اثنين. نلاحظ أيضًا أن العامل المشترك بين الحدود الثلاثة كلها هو اثنان. بإخراج العامل اثنين من المقام، نحصل على: اثنان في ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد اثنين. ونعلم أن هذا يعطينا العامل ﺱ ناقص اثنين. ثم بمجرد النظر أو باستخدام القسمة الجبرية، نلاحظ أن العامل الآخر هو ﺱ ناقص واحد. إذن، نجد أن النهاية المعطاة في السؤال تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ ناقص اثنين في ﺱ على اثنين في ﺱ ناقص اثنين في ﺱ ناقص واحد.

ونلاحظ هنا أن البسط والمقام بينهما عامل مشترك؛ وهو ﺱ ناقص اثنين. ونحن نحسب النهاية عندما يقترب ﺱ أكثر فأكثر من اثنين. هذا يعني أن ﺱ لا يساوي اثنين، لذا يمكننا حذف العامل المشترك ﺱ ناقص اثنين. إذن، نجد أن النهاية المعطاة في السؤال تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ على اثنين في ﺱ ناقص واحد. مرة أخرى، هذه هي نهاية خارج قسمة كثيرتي حدود؛ لذا يمكننا محاولة إيجاد قيمة ذلك بالتعويض المباشر. بالتعويض بـ ﺱ يساوي اثنين، نحصل على: اثنان على اثنين في اثنين في ناقص واحد، وهو ما يمكننا حسابه لنحصل على واحد.

إذن، لقد أوضحنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ على اثنين ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد أربعة تساوي واحدًا.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.