فيديو السؤال: تحديد الأحداث المستقلة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

افترض أن ﺃ وﺏ حدثان في فضاء عينة. إذا كان احتمال ﺃ يساوي ٠٫٤٥، واحتمال ﺏ يساوي ٠٫٦، واحتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ٠٫٧٨، فهل ﺃ وﺏ حدثان مستقلان؟

حسنًا، أول شيء علينا فعله هو التفكير في المقصود بحدثين مستقلين. الحدثان المستقلان هما حدثان لا يؤثر ناتج أي حدث منهما على ناتج الحدث الآخر. ويمكننا أيضًا القول إن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ، أي احتمال ﺃ وﺏ، يساوي احتمال ﺃ مضروبًا في احتمال ﺏ. ولا يتحقق هذا إلا إذا كان الحدثان مستقلين بالفعل.

إذا نظرنا إلى معطيات السؤال، فسنجد أنه لدينا احتمال ﺃ. ولدينا أيضًا احتمال ﺏ. لكن ليس لدينا احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. ولدينا احتمال ﺃ اتحاد ﺏ. فماذا سنفعل إذن؟

حسنًا، يمكننا استخدام إحدى قواعد الاحتمال لمساعدتنا في إيجاد احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. وهي القاعدة التي تنص على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. ويمكننا التفكير في سبب ذلك باستخدام شكل فن، حيث يكون لدينا الحدثان ﺃ وﺏ.

بما أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يعني احتمال ﺃ أو ﺏ، فإن هذا تمثله المنطقة المظللة بالكامل هنا. ويمكننا التفكير في ذلك أيضًا على أنه يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ. ولكن حينئذ سيكون لدينا هذا التداخل الموجود في المنتصف. ولذلك، سيكون علينا طرح هذا الجزء، وهو يمثل ﺃ تقاطع ﺏ، كما نلاحظ.

رائع، فهمنا الآن ما يجب علينا فعله. دعونا نتابع ونوجد احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. بالتعويض بالقيم لدينا، نحصل على ٠٫٧٨ يساوي ٠٫٤٥ زائد ٠٫٦ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ، وهو ما يعطينا ٠٫٧٨ يساوي ١٫٠٥ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. إذن، احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ١٫٠٥ ناقص ٠٫٧٨، وهو ما يعطينا احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ٠٫٢٧.

والآن نريد تحديد إذا ما كان الحدثان مستقلين أو لا. ولفعل ذلك، علينا معرفة إذا ما كان احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي احتمال ﺃ في احتمال ﺏ أو لا. لدينا احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ٠٫٤٥ مضروبًا في ٠٫٦، وهو ما يساوي ٠٫٢٧. ومن ثم، يمكننا القول إن القيمتين متساويتان. وهكذا، نستنتج أن الحدثين ﺃ وﺏ حدثان مستقلان.