تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: تمثيل الدوال الكسرية باستخدام متسلسلات القوى الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية استخدام صيغة المجموع اللانهائي للمتسلسلة الهندسية لإيجاد تمثيل متسلسلات القوى لبعض الدوال النسبية.

٢٤:٣٩

‏نسخة الفيديو النصية

تمثيل الدوال النسبية باستخدام متسلسلات القوى

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيفية تحويل الدوال النسبية إلى متسلسلات قوى باستخدام ما نعرفه عن المتسلسلة الهندسية اللانهائية. سوف نناقش كلًّا من نصف قطر التقارب وفترة التقارب لهذه المتسلسلة. وأخيرًا، سوف نتناول بعض الأمثلة حول تحويل متسلسلة القوى إلى دالة نسبية.

سنبدأ بتذكر بعض الحقائق التي نعرفها عن المتسلسلة الهندسية اللانهائية. أولًا، بالنسبة لمتسلسلة هندسية لا نهائية الحد الأول فيها ‪𝑎‬‏ والنسبة المشتركة بين حدين متتاليين ‪𝑟‬‏، يكون المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑟‬‏، إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ أقل من واحد. كما نتذكر أن المتسلسلة الهندسية اللانهائية نفسها، التي هي عبارة عن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏، تكون متباعدة إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة أكبر من واحد.

الآن، تخيل أن النسبة المشتركة بين حدين متتاليين هي في واقع الأمر دالة ما في المتغير ‪𝑥‬‏، بدلًا من أن تكون ممثلة بالقيمة ‪𝑟‬‏. لنطلق عليها ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. وبذلك، يكون لدينا تعبير على هذا النحو: ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص دالة ما في المتغير ‪𝑥‬‏. ومن ثم، يمكننا استخدام الحقائق التي نعرفها عن المتسلسلة الهندسية لكتابة ذلك على صورة متسلسلة قوى، مع افتراض أن القيمة المطلقة للنسبة المشتركة بين حدين متتاليين أصغر من واحد. ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ على صورة المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ حيث إن القيمة المطلقة للنسبة المشتركة بين حدين متتاليين، التي هي في هذه الحالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، أقل من واحد.

وباستخدام الحقيقة الثانية على وجه الخصوص، نجد أنه إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة بين حدين متتاليين أكبر من واحد، فإن هذه المتسلسلة تكون متباعدة. ولذا، عندما تكون النسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ عبارة عن دالة ما في ‪𝑥‬‏، فإننا نعلم أن متسلسلة القوى تكون متباعدة عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أكبر من واحد. وتحديدًا، نلاحظ أننا لا نعلم ما يحدث عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ مساوية لواحد. لذا، إذا طلب منا إيجاد فترة التقارب، فسيتعين علينا التحقق من كل من هذه الحالات على حدة.

وبذلك، نكون قد تناولنا كيفية كتابة الدالة النسبية ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ على صورة متسلسلة قوى وتناولنا كذلك نصف قطر التقارب. لكن، هذا يطرح لدينا سؤالًا وهو: «ماذا عن دالة نسبية عامة، لتكن كثيرة الحدود ‪𝑝‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ مقسومة على كثيرة الحدود ‪𝑞‬‏ لـ ‪𝑥‬‏؟» كيف يمكننا كتابتها على صورة متسلسلة قوى؟ بما أننا عرفنا بالفعل كيفية كتابة الدوال النسبية التي على الصورة ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ على صورة متسلسلة قوى، يمكننا محاولة كتابة هذه الدالة النسبية على صورة مجموع عدة كسور تكون على هذه الصورة.

توجد طرق عديدة ومختلفة لفعل ذلك. وإحدى هذه الطرق هي المعالجة الجبرية. ومن بين طرق المعالجة الجبرية أن نعيد كتابة الكسر واحد مقسومًا على واحد زائد ‪𝑥‬‏ على الصورة: واحد مقسومًا على واحد ناقص سالب ‪𝑥‬‏. نلاحظ الآن أن الكسر أصبح على الصورة ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، حيث ‪𝑎‬‏ يساوي واحدًا و‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ‪𝑥‬‏. ومن الطرق الأخرى التي يمكننا استخدامها لإعادة كتابة الدالة النسبية قسمة كثيرتي الحدود. على سبيل المثال، باستخدام قسمة كثيرتي الحدود، نجد أن اثنين ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثلاثة الكل مقسوم على ‪𝑥‬‏ تربيع زائد واحد يساوي اثنين زائد واحد مقسومًا على واحد زائد ‪𝑥‬‏ تربيع. ويمكننا كتابة ذلك على صورة متسلسلة قوى باستخدام نفس الحيلة التي استخدمناها من قبل: واحد زائد ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي واحدًا ناقص سالب ‪𝑥‬‏ تربيع.

آخر طريقة سنتناولها لإعادة كتابة هذه الدالة النسبية هي الكسور الجزئية. على سبيل المثال، يمكننا إعادة كتابة ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة الكل مقسوم على ‪𝑥‬‏ زائد واحد مضروبًا في ‪𝑥‬‏ ناقص واحد على الصورة اثنان مقسومًا على ‪𝑥‬‏ ناقص واحد ناقص واحد مقسومًا على ‪𝑥‬‏ زائد واحد باستخدام الكسور الجزئية. بعد ذلك، يمكننا استخدام المعالجة الجبرية على الدوال النسبية الناتجة لكتابتها على الصورة ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. في الدالة النسبية الأولى، إذا ضربنا البسط والمقام في سالب واحد، فسنحصل على سالب اثنين مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑥‬‏. ويمكننا إعادة كتابة المقام في الكسر الثاني على الصورة واحد ناقص سالب ‪𝑥‬‏.

والآن، يمكننا تناول بعض الأمثلة.

إذا كانت الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي واحدًا مقسومًا على اثنين زائد ‪𝑥‬‏، فأوجد متسلسلة القوى لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. وحدد فترة تقاربها.

لدينا في المسألة دالة نسبية ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. ومطلوب منا إيجاد متسلسلة القوى للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ ثم إيجاد فترة التقارب لمتسلسلة القوى هذه. نتذكر هنا حقيقة ما حول المتسلسلة الهندسية. وهي أن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑟‬‏، إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ أصغر من واحد. كما نتذكر أن متسلسلة القوى هذه تكون متباعدة عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑟‬‏ أكبر من واحد. إذا تمكنا من إعادة كتابة الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ على الصورة ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑟‬‏، فيمكننا عندئذ استخدام هذه الحقيقة المتعلقة بالمتسلسلة الهندسية لإعادة كتابة هذه الدالة على صورة متسلسلة قوى.

نريد أن يكون مقام الكسر على الصورة واحد ناقص النسبة المشتركة ‪𝑟‬‏. لكن، في حالة الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، لدينا اثنان في المقام. وبما أننا نريد أن يكون المقام واحدًا ناقص النسبة المشتركة ‪𝑟‬‏، فسنأخذ اثنين كعامل مشترك في المقام. نعلم أن اثنين مضروبًا في واحد يساوي اثنين وأن اثنين في ‪𝑥‬‏ مقسومًا على اثنين يساوي ‪𝑥‬‏. يمكننا إذن كتابة الثابت الذي يساوي نصفًا خارج الكسر. وهذا يعطينا نصفًا مضروبًا في واحد مقسومًا على واحد زائد ‪𝑥‬‏ على اثنين. هذه هي الصورة التي نريدها تقريبًا. لدينا الثابت واحد في البسط. لكن، بدلًا من واحد ناقص ‪𝑟‬‏ في المقام، لدينا واحد زائد ‪𝑥‬‏ على اثنين.

يمكننا القيام بذلك باستخدام القليل من المعالجة الجبرية. فبدلًا من إضافة ‪𝑥‬‏ على اثنين، يمكننا طرح سالب ‪𝑥‬‏ على اثنين. إذا جعلنا بسط الدالة يساوي ‪𝑎‬‏ والمقام يساوي واحدًا ناقص ‪𝑟‬‏، فإن هذا يجعل ‪𝑟‬‏ مساويًا لسالب ‪𝑥‬‏ على اثنين. وبهذا، نكون وضحنا أن الكسر لدينا على صورة المجموع اللانهائي للمتسلسلة الهندسية حيث الحد الأول ‪𝑎‬‏ يساوي واحدًا والنسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ تساوي سالب ‪𝑥‬‏ على اثنين.

ولذا، باستخدام الحقيقة المتعلقة بالمتسلسلة الهندسية، يمكننا كتابة ذلك على الصورة نصف مضروبًا في المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لواحد مضروبًا في سالب ‪𝑥‬‏ على اثنين أس ‪𝑛‬‏. وتحديدًا، نعلم أن هذا يكون صحيحًا تمامًا إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ أقل من واحد. كما نعلم أن المتسلسلة تكون متباعدة عندما تكون القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ أكبر من واحد. وفي هذه الحالة، نعلم أن ‪𝑟‬‏ يساوي سالب ‪𝑥‬‏ مقسومًا على اثنين. ولذا، فإن متسلسلة القوى هذه تكون حتمًا متقاربة عندما تكون القيمة المطلقة لسالب ‪𝑥‬‏ مقسومًا على اثنين أقل من واحد.

يمكننا تبسيط متسلسلة القوى قليلًا من خلال ملاحظة أن سالب ‪𝑥‬‏ على اثنين يساوي نصفًا مضروبًا في سالب ‪𝑥‬‏. يمكننا بعد ذلك توزيع الأس على القوسين. وبذلك، نحصل على نصف مضروبًا في المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لنصف أس ‪𝑛‬‏ مضروبًا في سالب ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏. في النهاية، يمكننا إدخال العامل نصف إلى داخل المجموع. إذن، نصف مضروبًا في نصف أس ‪𝑛‬‏ يساوي نصفًا أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد. ومن ثم، فإن تمثيل متسلسلة القوى للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لنصف أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد مضروبًا في سالب ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏.

مطلوب منا في الجزء الثاني من المسألة تحديد فترة التقارب لمتسلسلة القوى هذه. نتذكر أن فترة التقارب هي جميع قيم ‪𝑥‬‏ التي تكون عندها المتسلسلة متقاربة. سبق أن وضحنا أن المتسلسلة تكون حتمًا متقاربة عندما تكون القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ أصغر من واحد. وتكون متباعدة عندما تكون القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ أكبر من واحد. في هذه المسألة، النسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ تساوي سالب ‪𝑥‬‏ على اثنين. ولذا، فإن متسلسلة القوى تكون متقاربة عندما تكون القيمة المطلقة لسالب ‪𝑥‬‏ مقسومًا على اثنين أقل من واحد. القيمة المطلقة لسالب ‪𝑥‬‏ على اثنين تساوي القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ على اثنين.

بعد ذلك، حل القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ على اثنين أصغر من واحد هو نفسه حل سالب واحد أصغر من ‪𝑥‬‏ على اثنين أصغر من واحد. يمكننا ضرب هذه المتباينة في اثنين. هذا يعطينا أن سالب اثنين أصغر من ‪𝑥‬‏ أصغر من اثنين. هذا هو نصف قطر التقارب. إذن، متسلسلة القوى تكون متقاربة لجميع قيم ‪𝑥‬‏ التي تقع بين سالب اثنين واثنين. ونعلم أن المتسلسلة ستكون متباعدة عندما يكون ‪𝑥‬‏ أكبر من اثنين أو أصغر من سالب اثنين. لكننا لا نعلم ما سيحدث عندما ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين، أو عندما ‪𝑥‬‏ يساوي سالب اثنين.

لمعرفة ما يحدث عند قيمتي نصف قطر التقارب عند طرفي الفترة، دعونا نعوض بالقيمة ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين و‪𝑥‬‏ يساوي سالب اثنين في متسلسلة القوى. عند التعويض عن ‪𝑥‬‏ باثنين، فإننا نحصل على المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لنصف أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد مضروبًا في سالب اثنين أس ‪𝑛‬‏. يوجد العديد من الطرق المختلفة لحساب مجموع هذه المتسلسلة. على سبيل المثال، كان بإمكاننا استخدام اختبار الحد ذي الرتبة ‪𝑛‬‏ للتباعد. لكننا سنفحص مفكوك المتسلسلة حدًّا بحد.

الحد الأول عند ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا يعطينا نصفًا أس صفر زائد واحد؛ أي نصفًا. ثم نضرب ذلك في سالب اثنين أس صفر؛ أي في واحد. يمكننا فعل الشيء نفسه لإيجاد الحد الثاني. عند ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا، نحصل على نصف تربيع مضروبًا في سالب اثنين، وهو ما يساوي سالب نصف. الحد الثالث عند ‪𝑛‬‏ يساوي اثنين يعطينا نصفًا تكعيب مضروبًا في سالب اثنين تربيع، وهو ما يساوي موجب نصف. في الواقع، تتوالى هذه المتسلسلة. فنحن نضيف نصفًا. ثم نطرح نصفًا. ثم نضيف نصفًا ونطرح نصفًا وهكذا دواليك. يمكننا بعد ذلك التفكير فيما ستبدو عليه المجاميع الجزئية.

المجموع الجزئي الأول يساوي نصفًا. والمجموع الجزئي الثاني، وهو مجموع أول حدين في المتسلسلة، يساوي نصفًا ناقص نصف؛ أي صفرًا. والمجموع الجزئي الثالث، وهو مجموع أول ثلاثة حدود في المتسلسلة، يساوي نصفًا. والمجموع الجزئي الرابع، وهو مجموع أول أربعة حدود في المتسلسلة، يساوي صفرًا. ونلاحظ أن هذا النمط سيستمر. في الواقع، هذا يعني أن المجاميع الجزئية لدينا لن تكون متقاربة. فهي تتناوب بين نصف وصفر. ونظرًا لأن متتابعة المجاميع الجزئية غير متقاربة، يمكننا استنتاج أن متسلسلة القوى ليست متقاربة عند ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين. ومن ثم، ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين لا يقع ضمن فترة التقارب.

يمكننا فعل الشيء نفسه عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب اثنين. نعوض عن ‪𝑥‬‏ بسالب اثنين في متسلسلة القوى ثم نحسب مجموع المتسلسلة حدًّا بحد. نلاحظ أن كل حد في المتسلسلة يساوي نصفًا. وعليه، فإن المجموع الجزئي ذا الرتبة ‪𝑛‬‏ لهذه المتسلسلة سيساوي نصفًا زائد نصف زائد نصف ‪𝑛‬‏ من المرات أو ‪𝑛‬‏ مقسومًا على اثنين. ولذا، بما أن المجموع الجزئي ذا الرتبة ‪𝑛‬‏ غير محدود، يمكننا استنتاج أن متسلسلة القوى ليست متقاربة عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب اثنين. وبما أننا وضحنا أن قيمتي نصف قطر التقارب عند طرفي الفترة ليستا ضمن فترة التقارب، يمكننا إذن استنتاج أن فترة التقارب لمتسلسلة القوى للدالة واحد مقسومًا على اثنين زائد ‪𝑥‬‏ هي الفترة المفتوحة من سالب اثنين إلى اثنين.

دعونا الآن نتناول مثالًا، تحتوي فيه الدالة النسبية ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ على كثيرة حدود في البسط.

لدينا الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ مقسومًا على ثلاثة ناقص ‪𝑥‬‏. أوجد تمثيل متسلسلة القوى للدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. أوجد نصف قطر التقارب.

لدينا في المسألة دالة نسبية ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. ومطلوب منا إيجاد تمثيل متسلسلة القوى للدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. ومطلوب منا بعد ذلك إيجاد نصف قطر التقارب لمتسلسلة القوى هذه. للقيام بذلك، يمكننا تذكر حقيقة حول مجموع المتسلسلات الهندسية اللانهائية. وهي أن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑟‬‏، عندما تكون القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ أقل من واحد.

ولذا، إذا تمكنا من كتابة الدالة النسبية ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ على الصورة ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑟‬‏، فإنه يمكننا عندئذ استخدام هذه الحقيقة المتعلقة بالمتسلسلة الهندسية لكتابتها على صورة متسلسلة قوى نصف قطر تقاربها نوجده عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑟‬‏ أصغر من واحد. سنبدأ بملاحظة أنه يمكننا كتابة معامل ‪𝑥‬‏ خارج الدالة النسبية كعامل مشترك. وبذلك، نحصل على ‪𝑥‬‏ مضروبًا في واحد على ثلاثة ناقص ‪𝑥‬‏. نريد أن يكون المقام على الصورة واحد ناقص النسبة المشتركة ‪𝑟‬‏. لكن، لدينا ثلاثة ناقص ‪𝑥‬‏ في المقام. لجعل المقام على الصورة واحد ناقص ‪𝑟‬‏، يمكننا أخذ المعامل ثلاثة عاملًا مشتركًا في المقام. هذا يعطينا ثلاثة مضروبًا في واحد ناقص ‪𝑥‬‏ مقسومًا على ثلاثة. يمكننا بعد ذلك تبسيط التعبير من خلال كتابة المعامل ثلاثة الموجود في المقام خارج الدالة النسبية.

إذا جعلنا ‪𝑎‬‏ يساوي واحدًا و‪𝑟‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ مقسومًا على ثلاثة، فيمكننا استخدام المتسلسلة الهندسية اللانهائية لإعادة كتابة التعبير الذي لدينا. باستخدام صيغة المتسلسلة الهندسية اللانهائية، نعلم أن ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ مقسومًا على ثلاثة مضروبًا في المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لواحد مضروبًا في ‪𝑥‬‏ على ثلاثة أس ‪𝑛‬‏، عندما تكون القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ‪𝑥‬‏ مقسومًا على ثلاثة أصغر من واحد. ويمكننا تبسيط هذا أكثر من ذلك.

أولًا، يمكننا حذف الضرب في واحد. بعد ذلك، يمكننا كتابة المعامل ‪𝑥‬‏ مقسومًا على ثلاثة داخل المجموع، ومن ثم نحصل على ‪𝑥‬‏ على ثلاثة مضروبًا في ‪𝑥‬‏ على ثلاثة أس ‪𝑛‬‏. لكن، يمكننا تبسيط ذلك أكثر ليصبح ‪𝑥‬‏ على ثلاثة الكل أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد. هذا يعطينا أن الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ على ثلاثة أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد، إذا كانت القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ على ثلاثة أصغر من واحد.

مطلوب منا بعد ذلك إيجاد نصف قطر التقارب لمتسلسلة القوى هذه. يمكننا تذكر أننا نطلق على ‪𝑟‬‏ نصف قطر التقارب لمتسلسلة القوى إذا كانت متسلسلة القوى متقاربة عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أصغر من ‪𝑟‬‏، ومتباعدة عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أكبر من ‪𝑟‬‏. إذا كانت متسلسلة القوى ليست متقاربة لجميع قيم ‪𝑥‬‏، في هذه الحالة يكون نصف قطر التقارب ‪∞‬‏. يمكننا تذكر أن متسلسلة هندسية، عبارة عن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏، تكون متباعدة عندما تكون القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ أكبر من واحد. في هذه الحالة، النسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ مقسومًا على ثلاثة. إذن، متسلسلة القوى تكون متقاربة عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ على ثلاثة أصغر من واحد ومتباعدة عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ على ثلاثة أكبر من واحد.

مكننا بعد ذلك إعادة ترتيب كل من هذين التعبيرين. عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ على ثلاثة أصغر من واحد فهذا يماثل القول إن القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أصغر من ثلاثة. وإذا كانت القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ على ثلاثة أكبر من واحد، فإن هذا يماثل القول إن القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أكبر من ثلاثة. إذن، متسلسلة القوى تكون متقاربة عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أصغر من ثلاثة ومتباعدة عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أكبر من ثلاثة. وعليه، فإن نصف قطر التقارب ‪𝑅‬‏ يساوي ثلاثة. ومتسلسلة القوى لـ ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تكون متقاربة عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أصغر من ثلاثة.

دعونا الآن نتناول مثالًا على تحويل متسلسلة القوى إلى دالة نسبية.

حول المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لاثنين مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ إلى دالة نسبية.

لدينا في المسألة متسلسلة قوى. ومطلوب منا تحويلها إلى دالة نسبية. ونتذكر أن الدالة النسبية ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي خارج قسمة كثيرتي الحدود ‪𝑝‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ و‪𝑞‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. لتحويل متسلسلة القوى إلى دالة نسبية، نتذكر الحقيقة التالية عن المتسلسلة الهندسية: المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑟‬‏، عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑟‬‏ أصغر من واحد.

نلاحظ أن متسلسلة القوى مكتوبة بالفعل على صورة متسلسلة هندسية، حيث ‪𝑎‬‏ يساوي اثنين و‪𝑟‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏. بالتعويض بـ ‪𝑎‬‏ يساوي اثنين و‪𝑟‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ في صيغة المتسلسلة الهندسية، نجد أن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لاثنين مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ يساوي اثنين مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑥‬‏. ويكون هذا صحيحًا عندما تكون القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ‪𝑥‬‏ أقل من واحد.

سنتناول الآن مثالًا آخر على تحويل متسلسلة القوى إلى دالة نسبية.

حول المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لاثنين مضروبًا في سالب ‪𝑥‬‏ على ثلاثة أس ثلاثة ‪𝑛‬‏ زائد واحد إلى دالة نسبية.

نتذكر من المتسلسلة الهندسية اللانهائية أن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑟‬‏، عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑟‬‏ أصغر من واحد. بما أن المطلوب منا في المسألة هو تحويل ذلك إلى دالة نسبية، نلاحظ أننا إذا تمكنا من إعادة صياغة المتسلسلة بحيث تكون على صورة متسلسلة هندسية، فإنه يمكننا عندئذ استخدام الحقيقة المتعلقة بالمتسلسلة الهندسية لكتابتها على صورة دالة نسبية.

سنبدأ بتبسيط الأس داخل هذا المجموع. يمكننا بعد ذلك كتابة المعامل سالب ‪𝑥‬‏ على ثلاثة خارج هذا المجموع. بدلًا من رفع سالب ‪𝑥‬‏ على ثلاثة لأس ثلاثة ‪𝑛‬‏، يمكننا أولًا تكعيبه ثم رفعه لأس ‪𝑛‬‏. بحساب ناتج التكعيب، نحصل على سالب ‪𝑥‬‏ تكعيب على 27. بعد ذلك، نلاحظ أن هذه متسلسلة هندسية، حيث ‪𝑎‬‏ يساوي اثنين و‪𝑟‬‏ يساوي سالب ‪𝑥‬‏ تكعيب على 27. باستخدام صيغة المتسلسلة الهندسية اللانهائية، نحصل على سالب ‪𝑥‬‏ على ثلاثة مضروبًا في اثنين مقسومًا على واحد ناقص سالب ‪𝑥‬‏ تكعيب على 27، وهو ما يساوي سالب اثنين ‪𝑥‬‏ مقسومًا على ثلاثة زائد ‪𝑥‬‏ تكعيب على تسعة. ويكون هذا صحيحًا عندما تكون القيمة المطلقة للنسبة المشتركة أقل من واحد.

والآن، دعونا نلخص ما تناولناه، يمكننا استخدام صيغة المتسلسلة الهندسية اللانهائية لكتابة الدوال النسبية على صورة متسلسلة وكتابة متسلسلات القوى على صورة دوال نسبية. وسوف يتعين علينا أحيانًا إعادة صياغة الدالة النسبية أو سيكون علينا إعادة صياغة متسلسلة القوى. وتناولنا بالفعل العديد من الطرق لتنفيذ هذا. ويمكننا أيضًا إيجاد نصف قطر التقارب لمتسلسلة القوى باستخدام حقيقة أن المتسلسلة تكون متقاربة عندما تكون القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ أصغر من واحد. وأخيرًا، يمكننا إيجاد فترة التقارب من خلال التحقق من حدود نصف قطر التقارب لطرفي الفترة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.