تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: إيجاد العامل المشترك الأكبر

أحمد مدحت

يوضح الفيديو مفهوم العوامل المشتركة، والعامل المشترك الأكبر (ع.م.أ.)، وكيفية إيجاد العوامل المشتركة، والعامل المشترك الأكبر لعددين أو أكثر، مع أمثلة توضيحية.

١١:٠٨

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن إيجاد العامل المشترك الأكبر.

في الفيديو ده هنعرف إيه هي العوامل المشتركة. وكمان هنعرف إيه هو العامل المشترك الأكبر.

العوامل المشتركة المقصود بيها العوامل اللي بيشترك فيها عددين أو أكتر. وأكبر العوامل المشتركة لعددين أو أكتر، بيكون هو العامل المشترك الأكبر للأعداد دي. واختصاره هو ع م أ. هنبدأ نشوف مثال نوضّح بيه إزَّاي نوجد العوامل المشتركة لعددين.

في المثال اللي عندنا عايزين نوجد العوامل المشتركة للعددين: ستاشر، وأربعة وعشرين.

علشان نوجد العوامل المشتركة لعددين أو أكتر، فإحنا ممكن نعمل قايمة بالعوامل بتاعة العددين دول. وبعد كده نحدّد العوامل المشتركة بينهم. ففي الأول هنكتب أزواج العوامل بتاعة العددين اللي عندنا. فبالنسبة لعوامل العدد ستاشر، هنعمل قايمة ليها. فبالنسبة للعدد ستاشر فهو بيساوي واحد في ستاشر. أو اتنين في تمنية. أو أربعة في أربعة.

بعد كده هنعمل القايمة بتاعة عوامل العدد أربعة وعشرين. فبالنسبة لأربعة وعشرين ممكن تكون عبارة عن واحد في أربعة وعشرين. أو اتنين في اتناشر. أو تلاتة في تمنية. أو أربعة في ستة.

بعد كده هنبدأ نرسم دايرة حوالين العوامل المشتركة بين العددين اللي عندنا. فهنلاقي الواحد موجود كعامل مشترك. وكمان الاتنين. وكمان الأربعة. وكمان التمنية. معنى كده هتبقى العوامل المشتركة للعددين ستاشر وأربعة وعشرين، هي: واحد، واتنين، وأربعة، وتمنية. بكده يبقى إحنا عرفنا إزَّاي نوجد العوامل المشتركة لعددين أو أكتر.

بعد كده هنشوف إزَّاي نوجد العامل المشترك الأكبر لعددين أو أكتر من خلال طريقتين. الطريقة الأولى هنستخدم فيها قايمة منظَّمة للعوامل بتاعة الأعداد اللي عندنا. والطريقة التانية هتكون باستخدام العوامل الأولية.

هنبدأ الأول بمثال نوضّح بيه الطريقة الأولى اللي هنستخدم فيها القايمة المنظَّمة لعوامل الأعداد.

في المثال عايزين نوجد ع م أ واللي هو العامل المشترك الأكبر، للعددين: ستين، وأربعة وخمسين.

أول حاجة هنعمل قايمة بتحتوي على عوامل العددين. فبالنسبة للعدد ستين، فممكن يكون عبارة عن واحد في ستين. أو اتنين في تلاتين. أو تلاتة في عشرين. أو أربعة في خمستاشر. أو خمسة في اتناشر. أو ستة في عشرة. بكده هتبقى عوامل العدد ستين هي: واحد، واتنين، وتلاتة، وأربعة، وخمسة، وستة، وعشرة، واتناشر، وخمستاشر، وعشرين، وتلاتين، وستين.

بعد كده هنشوف العدد أربعة وخمسين. فالعدد أربعة وخمسين ممكن يكون عبارة عن واحد في أربعة وخمسين. أو اتنين في سبعة وعشرين. أو تلاتة في تمنتاشر. أو ستة في تسعة. بكده هتبقى عوامل العدد أربعة وخمسين، هي: واحد، واتنين، وتلاتة، وستة، وتسعة، وتمنتاشر، وسبعة وعشرين، وأربعة وخمسين.

بعد ما أوجدنا عوامل العدد ستين وعوامل العدد أربعة وخمسين. هنبدأ نرسم دايرة حوالين العوامل المشتركة اللي بين العددين. فهنلاقي إن العوامل المشترَكة للعددين ستين وأربعة وخمسين، هي: واحد، واتنين، وتلاتة، وستة. وهنلاقي إن أكبر العوامل المشترَكة هو العدد ستة. معنى كده إن هيبقى العامل المشترك الأكبر، واللي هو ع م أ للعددين: ستين، وأربعة وخمسين؛ هو ستة.

ممكن نستخدم أشكال فِن علشان نوضح العوامل بتاعة العددين اللي عندنا. وأشكال فِن دي عبارة عن طريقة بنستخدم فيها الدواير المتقاطعة؛ علشان نوضّح العناصر المشتركة بين مجموعتين. فهيظهر لنا شكل. الشكل اللي عندنا ده ده شكل من أشكال فِن، هنستخدمه علشان نوضح العوامل بتاعة العددين: ستين، وأربعة وخمسين.

بالنسبة للشكل اللي عندنا فهو عبارة عن دايرتين متقاطعتين. أما المنطقة المظلّلة فهي منطقة التقاطع. ومنطقة التقاطع دي اللي هي المنطقة المظلّلة، هي اللي هنكتب فيها العوامل المشترَكة بين العددين: ستين، وأربعة وخمسين. بعد كده في الدايرة الخاصة بعوامل العدد ستين، هنكتب في المنطقة اللي مش متظلّلة عوامل العدد ستين، ما عدا العوامل المشتركة. أما الدايرة الخاصة بعوامل العدد أربعة وخمسين، فهنكتب في المنطقة اللي مش متظلّلة عوامل العدد أربعة وخمسين، ما عدا العوامل المشتركة. بكده يبقى إحنا قدرنا من خلال أشكال فِن إن إحنا نوضّح عوامل العددين ستين وأربعة وخمسين. وكمان نوضّح العوامل المشتركة اللي بينهم، واللي هتكون موجودة في منطقة التقاطع.

بعد كده هنشوف إزَّاي نوجد العامل المشترك الأكبر باستخدام العوامل الأولية. بالنسبة للعدد الأولي فهو عبارة عن عدد صحيح ليه عاملين بس، همّ واحد والعدد نفسه. أما التحليل للعوامل الأولية فمعناه كتابة العدد غير الأولي في صورة حاصل ضرب أعداد أولية. زي مثلًا اتناشر تساوي اتنين في اتنين في تلاتة. كده العدد اتناشر متحلّل لعوامله الأولية. بعد كده هنشوف مثال نوضّح بيه إزَّاي نوجد العامل المشترك الأكبر باستخدام العوامل الأولية.

في المثال عايزين نوجد ع م أ، واللي هو العامل المشترك الأكبر، للعددين: تمنتاشر، وتلاتين.

فيه عندنا طريقتين ممكن نستخدمهم. الطريقة الأولى هي تحليل العددين لعواملهم الأولية. والطريقة التانية هي القسمة على أعداد أولية.

هنبدأ بالطريقة الأولى، واللي هنحلّل فيها العددين لعواملهم الأولية. بالنسبة للعدد تمنتاشر، فممكن يكون عبارة عن اتنين في تسعة. بالنسبة للاتنين فهي عدد أولي، أما التسعة فهي عدد غير أولي. نقدر نحلّله مرة كمان. بالنسبة للاتنين فهي عدد أولي فمش هنحلّلها. أما التسعة فهنحلّلها إلى تلاتة في تلاتة. وبالنسبة لتلاتة فهو عدد أولي. معنى كده إن العدد تمنتاشر هيكون عبارة عن اتنين في تلاتة في تلاتة.

أما بالنسبة للعدد تلاتين، ممكن نحلّل التلاتين إلى اتنين في خمستاشر. بالنسبة للاتنين فهي عدد أولي. أما الخمستاشر فهي عدد غير أولي. فالاتنين مش هتتحلّل. أما الخمستاشر فهنحلّلها إلى تلاتة في خمسة. والتلاتة والخمسة عبارة عن أعداد أوّلية. يبقى معنى كده إن تلاتين هتساوي اتنين في تلاتة في خمسة.

بكده يبقي إحنا حلّلنا العددين تمنتاشر وتلاتين لعواملهم الأولية. فبعد كده هنحدّد العوامل الأولية المشتركة بين العددين. فهنلاقي العوامل الأولية المشتركة للعددين تمنتاشر وتلاتين، هي: اتنين، وتلاتة.

بعد كده هنشوف الطريقة التانية، واللي هنقسم فيها على أعداد أولية. فأول حاجة هنقسم العددين تمنتاشر وتلاتين على أصغر عدد أوّلي، واللي هو اتنين. فَتمنتاشر على اتنين تساوي تسعة. وتلاتين على اتنين تساوي خمستاشر. بالنسبة للنواتج واللي هي تسعة وخمستاشر ما بتقبلش القسمة على اتنين، فهنقسمهم على تلاتة. فَتسعة على تلاتة تساوي تلاتة. وخمستاشر عَ التلاتة تساوي خمسة. بعد كده مش هينفع نقسم تاني على أي عدد أولي. ده معناه إن العوامل الأولية المشتركة للعددين تمنتاشر وتلاتين، همّ: اتنين، وتلاتة.

بكده من خلال الطريقتين اللي إحنا استخدمناهم قدرنا نوصل إن إحنا عندنا عاملين أوليين مشتركين ما بين العددين تمنتاشر وتلاتين، وهمّ: اتنين، وتلاتة. بالتالي العامل المشترك الأكبر واللي هو ع م أ للعددين تمنتاشر وتلاتين، هيكون حاصل ضرب العوامل الأولية المشتركة. يعني هيبقى عبارة عن اتنين في تلاتة؛ يعني هيساوي ستة. يعني نقدر نقول إن العامل المشترك الأكبر واللي هو ع م أ للعددين تمنتاشر وتلاتين، هو ستة.

بكده يبقى إحنا عرفنا إزَّاي نقدر نوجد العامل المشترك الأكبر لعددين أو أكتر باستخدام العوامل الأولية بطريقتين. هنشوف مثال كمان.

عندنا في المثال محل لبيع الفطائر عايز يرتّب تلات أنواع من الفطائر في صفوف في واجهة تلاجة العرض. بحيث يكون في كل صف العدد نفسه من الفطائر. فعايزين نعرف أكبر عدد ممكن من الفطائر في كل صف. وعندنا جدول بيوضّح أنواع الفطائر وعددها.

علشان نوجد أكبر عدد ممكن من الفطائر في كل صف، فإحنا محتاجين نوجد العامل المشترك الأكبر للأعداد: أربعين، وأربعة وعشرين، واتنين وتلاتين. وبالتالي في الأول هنوجد عوامل العدد أربعين، وعوامل العدد أربعة وعشرين، وعوامل العدد اتنين وتلاتين.

بالنسبة لعوامل العدد أربعين، فهي: واحد، واتنين، وأربعة، وخمسة، وتمنية، وعشرة، وعشرين، وأربعين.

أما بالنسبة لعوامل العدد أربعة وعشرين، فهي: واحد، واتنين، وتلاتة، وأربعة، وستة، وتمنية، واتناشر، وأربعة وعشرين.

أما عوامل العدد اتنين وتلاتين، فهي: واحد، واتنين، وأربعة، وتمنية، وستاشر، واتنين وتلاتين.

بعد كده هنحدّد العوامل المشتركة بين التلات أعداد اللي عندنا. هنلاقي العوامل المشتركة بين الأعداد: أربعين، وأربعة وعشرين، واتنين وتلاتين؛ هي: واحد، واتنين، وأربعة، وتمنية. وأكبر عامل مشترك فيهم هو التمنية. بالتالي العامل المشترك الأكبر للأعداد: أربعين، وأربعة وعشرين، واتنين وتلاتين؛ هو تمنية. بكده هيبقى أكبر عدد ممكن من الفطائر في كل صف هو تمنية.

بعد ما أوجدنا عدد الفطائر في كل صف، عايزين نعرف كم يكون عدد صفوف الفطائر إذا وُضع تمن فطائر في كل صف.

أول حاجة هنجيب العدد الكلي للفطائر. فالعدد الكلي للفطائر هيساوي عدد فطائر السبانخ، واللي هو أربعين. زائد عدد فطائر اللحم، واللي هو أربعة وعشرين. زائد عدد فطائر الجبن، واللي هو اتنين وتلاتين. فهنلاقي العدد الكلي للفطائر هو ستة وتسعين فطيرة. بكده عدد الصفوف هيساوي العدد الكلي للفطائر، على عدد الفطائر اللي موجودة في كل صف. يعني هيساوي ستة وتسعين، اللي هو العدد الكلي للفطائر. على تمنية، واللي هو عدد الفطائر اللي موجودة في كل صف. يعني هيبقى عندنا اتناشر صف.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا إن العوامل المشترَكة هي العوامل اللي بيشترك فيها عددين أو أكتر. وعرفنا إن أكبر العوامل المشترَكة لعددين أو أكتر بنسمّيه العامل المشترك الأكبر، واختصاره هو ع م أ. وكنا علشان نوجد العوامل المشتركة لعددين أو أكتر، بنعمل قايمة بنكتب فيها أزواج عوامل الأعداد اللي عندنا. وبعد كده بنحدّد العوامل المشتركة. بعد كده عرفنا إزَّاي نوجد العامل المشترك الأكبر لعددين أو أكتر. وكان من خلال طريقتين. الطريقة الأولى بنستخدم فيها قايمة منظَّمة للعوامل بتاعة الأعداد اللي عندنا. والطريقة التانية كانت باستخدام العوامل الأولية. وكمان عرفنا إن أشكال فِن عبارة عن طريقة بنستخدم فيها الدواير المتقاطعة؛ علشان نوضّح العناصر المشتركة بين مجموعتين. واستخدمناها علشان نوضّح العوامل بتاعة الأعداد، وكمان العوامل المشتركة بينهم.