فيديو الدرس: التحليل بإكمال المربع الرياضيات • الصف الثاني الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحلل مقدارًا بإكمال المربع. سنبدأ بتذكر كيفية كتابة مقدار ثلاثي على صورة مربع كامل. المقدار الثلاثي على صورة مربع كامل هو كثيرة حدود مكونة من ثلاثة حدود يمكن تمثيلها على الصورة 𝑎 تربيع زائد أو ناقص اثنين ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع. ويمكن تحليله كما هو موضح. ‏ﺃ تربيع زائد اثنين ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع يساوي ﺃ زائد ﺏ الكل تربيع. وﺃ تربيع ناقص اثنين ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع يساوي ﺃ ناقص ﺏ الكل تربيع. في أي مقدار ثلاثي، يمكن أن يكون ﺃ وﺏ متغيرين أو ثابتين أو حاصلي ضرب متغيرات وثوابت.

دعونا نفكر في المقدار الثلاثي ﺱ أس أربعة زائد أربعة ﺱ تربيع زائد أربعة. لتحليل هذا المقدار، سنفترض في البداية أن الحد الأول والحد الأخير هما ﺃ تربيع وﺏ تربيع على الترتيب. إذا كان ﺃ تربيع يساوي ﺱ أس أربعة، فإن ﺃ يساوي الجذر التربيعي لهذه القيمة؛ أي يساوي ﺱ تربيع. وبالمثل، بما أن ﺏ تربيع يساوي أربعة، فإن ﺏ يساوي اثنين. تجدر الإشارة هنا إلى أن ﺃ يساوي سالب ﺱ تربيع وﺏ يساوي سالب اثنين حلان ممكنان لـ ﺃ تربيع يساوي ﺱ أس أربعة وﺏ تربيع يساوي أربعة. لكن بما أننا نريد أن يكون ﺃ زائد ﺏ الكل تربيع يساوي ﺃ تربيع زائد اثنين ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع، فلا يمكننا كتابة حل موجب مع آخر سالب للجذر. في الواقع، سنستخدم فقط الحل الموجب للجذر.

الحد الأوسط في المقدار الثلاثي على صورة مربع كامل هو اثنان ﺃﺏ. وإذا عوضنا بمقداري ﺃ وﺏ، فسنحصل على اثنين مضروبًا في ﺱ تربيع مضروبًا في اثنين. وهذا يساوي الحد الأوسط للتعبير الأصلي أربعة ﺱ تربيع. إذن المقدار الثلاثي على صورة مربع كامل ﺱ أس أربعة زائد أربعة ﺱ تربيع زائد أربعة في صورته التحليلية هو ﺱ تربيع زائد اثنين الكل تربيع. ومن الجدير بالذكر أنه، وفقًا للتعريف الأصلي، يمكن تحليل المقدار ﺱ أس أربعة ناقص أربعة ﺱ تربيع زائد أربعة بنفس الطريقة. وهذا يساوي ﺱ تربيع ناقص اثنين الكل تربيع.

في هذا الفيديو، سنستخدم ذلك لمساعدتنا في تحليل المقادير ذات الحدين التي لا يمكن تحليلها باستخدام طرق أخرى. على سبيل المثال، لنتناول المقدار ﺱ أس أربعة زائد أربعة. في هذه الحالة، لن تنجح الطرق المعتادة للتحليل. ومع ذلك، يمكننا تحليل هذا المقدار باستخدام طريقة تعرف بإكمال المربع. بالنظر إلى المقدار الثلاثي السابق الذي حللناه، نجد أنه عندما كان الحد الأوسط يساوي أربعة ﺱ تربيع، تمكنا من تحليل المقدار باعتباره مقدارًا ثلاثيًّا على صورة مربع كامل. إذا استطعنا إدخال الحد أربعة ﺱ تربيع إلى كثيرة الحدود هذه، فسنحصل على مقدار ثلاثي على صورة مربع كامل. هذه هي الطريقة التي ستساعدنا في تحليل العديد من كثيرات الحدود المكتوبة على الصورة ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع.

إذا كان لدينا حدان كل منهما مربع كامل؛ أي على الصورة ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع، فبإمكاننا تكوين مقدار ثلاثي على صورة مربع كامل عن طريق إكمال المربع كما يأتي. سنوجد في البداية قيمتي ﺃ وﺏ. في هذا المثال، نعلم بالفعل أن ﺃ يساوي ﺱ تربيع وﺏ يساوي اثنين. بعد ذلك، نحسب قيمة اثنين ﺃﺏ. ومرة أخرى، نجد أن هذا يساوي أربعة ﺱ تربيع في هذا المثال. الخطوة التالية هي جمع اثنين ﺃﺏ وطرح اثنين ﺃﺏ من المقدار. في هذا المثال، لدينا ﺱ أس أربعة زائد أربعة زائد أربعة ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ تربيع. وبما أننا نجمع الحد نفسه ونطرحه، فهذا يكافئ جمع صفر، وهو ما يعني أن كثيرة الحدود لا تتغير. يمكننا بعد ذلك إعادة كتابة المقدار ليكون على الصورة: ﺱ أس أربعة زائد أربعة ﺱ تربيع زائد أربعة ناقص أربعة ﺱ تربيع.

الخطوة الرابعة والأخيرة لإكمال المربع هي كتابة المقدار الثلاثي على صورة مربع كامل. يحلل ﺱ أس أربعة زائد أربعة ﺱ تربيع زائد أربعة إلى ﺱ تربيع زائد اثنين الكل تربيع. وهكذا، يصبح المقدار بأكمله كما هو موضح. في هذا المثال، يمكننا إجراء خطوة إضافية، وذلك بملاحظة أن أربعة ﺱ تربيع أيضًا مربع كامل. إنه يساوي اثنين ﺱ الكل تربيع. وبإعادة كتابة المقدار ليكون على الصورة ﺱ تربيع زائد اثنين الكل تربيع ناقص اثنين ﺱ الكل تربيع، نلاحظ أنه على الصورة ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع. وهذا ما يعرف بالفرق بين مربعين. نحن نعلم أن أي مقدار من هذا النوع يمكن تحليله إلى ﺃ زائد ﺏ مضروبًا في ﺃ ناقص ﺏ؛ حيث ﺃ وﺏ في هذا المثال هما ﺱ تربيع زائد اثنين واثنان ﺱ، على الترتيب. ومن ثم، يمكن تحليل المقدار إلى ﺱ تربيع زائد اثنين زائد اثنين ﺱ مضروبًا في ﺱ تربيع زائد اثنين ناقص اثنين ﺱ. وأخيرًا، بإعادة ترتيب ما بين الأقواس، يصبح لدينا ﺱ أس أربعة زائد أربعة يساوي ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ زائد اثنين مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد اثنين. لاحظ أن بإمكاننا التحقق من هذه الإجابة عن طريق فك الأقواس.

سنتناول الآن مثالًا من هذا النوع، ولكنه أكثر تعقيدًا.

حلل ٦٢٥ﺱ أس أربعة زائد ٦٤ص أس أربعة بإكمال المربع.

في هذا السؤال، مطلوب منا تحليل المقدار بإكمال المربع. لذا علينا إعادة كتابة المقدار ذي الحدين لدينا بحيث يتضمن مقدارًا ثلاثيًّا على صورة مربع كامل على الصورة ﺃ تربيع زائد اثنين ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع، الذي بتحليله يكتب على الصورة ﺃ زائد ﺏ الكل تربيع. في البداية، سنفترض أن الحدين في المقدار لدينا هما ﺃ تربيع وﺏ تربيع، على الترتيب. هذا يعني أن ﺃ يساوي الجذر التربيعي لـ ٦٢٥ﺱ أس أربعة. وبما أن الجذر التربيعي لـ ٦٢٥ يساوي ٢٥، فإن ﺃ يساوي ٢٥ﺱ تربيع. وبالمثل، ﺏ يساوي الجذر التربيعي لـ ٦٤ص أس أربعة. وهذا يساوي ثمانية ص تربيع.

علينا بعد ذلك إيجاد اثنين ﺃﺏ. هذا يساوي اثنين مضروبًا في ٢٥ﺱ تربيع مضروبًا في ثمانية 𝑦 تربيع. وهذا يساوي ٤٠٠ﺱ تربيع ص تربيع. هذا هو الحد الذي علينا جمعه على المقدار الذي لدينا للحصول على مقدار ثلاثي على صورة مربع كامل. وبما أننا سنجمع ٤٠٠ﺱ تربيع ص تربيع، علينا أيضًا طرحه من المقدار الأصلي لكي يظل المقدار كما هو. والآن يمكننا ملاحظة أن أول ثلاثة حدود تكون مقدارًا ثلاثيًّا على صورة مربع كامل. وهو ما يمكن تحليله إلى ٢٥ﺱ تربيع زائد ثمانية ص تربيع الكل تربيع. ويمكن كتابة المقدار كاملًا كما هو موضح.

بعد ذلك، نلاحظ أن ٤٠٠ﺱ تربيع ص تربيع مربع كامل. ويمكن كتابته على الصورة: ٢٠ﺱص الكل تربيع. يبسط المقدار الذي لدينا إلى ٢٥ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺹ تربيع الكل تربيع ناقص ٢٠ﺱص الكل تربيع. يمكننا ملاحظة أنه مكتوب على الصورة ﺟ تربيع ناقص ﺩ تربيع، وهو ما يعرف بالفرق بين مربعين. ونعلم أنه يمكن تحليل ذلك إلى ﺟ زائد ﺩ مضروبًا في ﺟ ناقص ﺩ. إذن يمكن كتابة المقدار الذي لدينا على الصورة: ٢٥ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺹ تربيع زائد ٢٠ﺱص مضروبًا في ٢٥ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺹ تربيع ناقص ٢٠ﺱص. وبإعادة ترتيب الحدود، نجد أن ٦٢٥ﺱ أس أربعة زائد ٦٤ﺹ أس أربعة يساوي ٢٥ﺱ تربيع زائد ٢٠ﺱص زائد ثمانية ﺹ تربيع مضروبًا في ٢٥ﺱ تربيع ناقص ٢٠ﺱص زائد ثمانية ﺹ تربيع. يمكننا التحقق من هذه الإجابة بتوزيع الأقواس؛ حيث ستحذف جميع الحدود باستثناء الحد الأول والأخير من كل قوسين.

سنتناول الآن مثالًا آخر يتطلب في البداية استخدام طرق أخرى للتحليل. لكن في المقدار الناتج، يمكن تحليل أحد العوامل باستخدام طريقة إكمال المربع.

حلل ﺱ أس ثمانية ناقص ١٦ﺹ أس ثمانية بإكمال المربع.

في هذا السؤال، قد لا يتضح لنا مباشرة كيف يمكن تحليل المقدار بإكمال المربع. لكننا نلاحظ أن المقدار مكتوب على الصورة ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع. وهذا يعرف بالفرق بين مربعين، ويمكن تحليله إلى ﺃ زائد ﺏ مضروبًا في ﺃ ناقص ﺏ. بجعل ﺃ تربيع يساوي ﺱ أس ثمانية، نجد أن ﺃ يساوي ﺱ أس أربعة. وبجعل ﺏ تربيع يساوي ١٦ﺹ أس ثمانية، نجد أن ﺏ يساوي الجذر التربيعي لهذه القيمة؛ وهو ما يساوي أربعة ﺹ أس أربعة. وعليه يمكن إعادة كتابة المقدار الأصلي ليكون على الصورة: ﺱ أس أربعة الكل تربيع ناقص أربعة ﺹ أس أربعة الكل تربيع. وبتحليل ذلك باستخدام الفرق بين مربعين، يصبح لدينا ﺱ أس أربعة زائد أربعة ﺹ أس أربعة مضروبًا في ﺱ أس أربعة ناقص أربعة ﺹ أس أربعة.

مرة أخرى، الجزء الثاني من المقدار الذي لدينا مكتوب على الصورة ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع. ‏ﺱ أس أربعة ناقص أربعة ﺹ أس أربعة يساوي ﺱ تربيع زائد اثنين ﺹ تربيع مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺹ تربيع. لا يمكن تحليل ما بداخل هذه الأقواس أكثر من ذلك. لذا علينا التفكير في المقدار ﺱ أس أربعة زائد أربعة ﺹ أس أربعة. هذا هو المقدار الذي يمكننا تحليله بإكمال المربع. نلاحظ أن هذا المقدار مكتوب على الصورة ﺟ تربيع زائد ﺩ تربيع. وعلينا إعادة كتابته ليصبح في صورة مقدار ثلاثي على صورة مربع كامل.

نعلم أن أي مقدار ثلاثي على صورة مربع كامل وعلى الصورة ﺟ تربيع زائد اثنين ﺟﺩ زائد ﺩ تربيع يمكن تحليله ليكون على الصورة ﺟ زائد ﺩ الكل تربيع. وبما أن ﺟ تربيع يساوي ﺱ أس أربعة، فإن ﺟ يساوي ﺱ تربيع. وبالمثل، بما أن ﺩ تربيع يساوي أربعة ﺹ أس أربعة، فإن ﺩ يساوي اثنين ﺹ تربيع. وبذلك نجد أن الحد اثنين ﺟﺩ يساوي اثنين مضروبًا في ﺱ تربيع مضروبًا في اثنين ﺹ تربيع. وهذا يساوي أربعة ﺱ تربيع ﺹ تربيع.

علينا جمع هذا الحد وطرحه من المقدار الموجود داخل أول قوسين لتكوين مقدار ثلاثي على صورة مربع كامل. ويمكن كتابة المقدار كاملًا كما هو موضح. يمكننا الآن تحليل المقدار الثلاثي على صورة المربع الكامل الموجود داخل أول قوسين. نجد أنه يساوي ﺱ تربيع زائد اثنين ﺹ تربيع الكل تربيع. وبإعادة كتابة أربعة ﺱ تربيع ﺹ تربيع على الصورة اثنين ﺱﺹ الكل تربيع، يصبح لدينا ﺱ تربيع زائد اثنين ﺹ تربيع الكل تربيع ناقص اثنين ﺱﺹ الكل تربيع مضروبًا في ﺱ تربيع زائد اثنين ﺹ تربيع مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺹ تربيع.

نلاحظ أن المقدار بين القوسين المعقوفين هو فرق بين مربعين. وباستخدام القاعدة التي تناولناها سابقًا، يمكننا تحليل هذا المقدار إلى ﺱ تربيع زائد اثنين ﺹ تربيع زائد اثنين ﺱﺹ مضروبًا في ﺱ تربيع زائد اثنين ﺹ تربيع ناقص اثنين ﺱﺹ. يمكننا بعد ذلك إعادة ترتيب الحدود الموجودة في هذه الأقواس كما هو موضح، لنحصل بذلك على الإجابة النهائية وهي ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱﺹ زائد اثنين ﺹ تربيع مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱﺹ زائد اثنين ﺹ تربيع مضروبًا في ﺱ تربيع زائد اثنين ﺹ تربيع مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺹ تربيع. هذه هي الصورة التحليلية الكاملة لـ ﺱ أس ثمانية ناقص ١٦ﺹ أس ثمانية.

دعونا الآن نختم هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية. علمنا في هذا الفيديو أن المقدار الثلاثي على صورة المربع الكامل يكتب على الصورة ﺃ تربيع زائد أو ناقص اثنين ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع، ويمكن تحليله إلى ﺃ زائد أو ناقص ﺏ الكل تربيع. إذا طلب منا تحليل كثيرة حدود لا يمكن تحليلها بطرق أخرى، وكانت كثيرة الحدود هذه تحتوي على حدين على الصورة ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع، فبإمكاننا إكمال المربع لتكوين مقدار ثلاثي على صورة مربع كامل. ولفعل ذلك، ينقصنا الحد موجب أو سالب اثنين ﺃﺏ. من المهم ملاحظة أنه يجب جمع اثنين ﺃﺏ وطرحه حتى يكون ما نضيفه فعليًّا هو صفر. وعلى الرغم من أننا لم نتناول مثالًا من هذا النوع في هذا الفيديو، لكن جدير بالذكر أنه يتعين علينا البدء بإخراج العامل المشترك الأكبر، إن كان ذلك ممكنًا؛ لأن هذا يقلل من تعقيد كثيرة الحدود المطلوب تحليلها.

بعد إكمال المربع في كثير من الأحيان، يكون من الممكن تحليل المقدار الناتج كله أو أجزاء من المقدار باستخدام الفرق بين مربعين. وكما حدث في المثال الثاني، قد نحتاج إلى فعل ذلك قبل إكمال المربع. في جميع الحالات، بعد الانتهاء من تحليل كثيرة الحدود بطريقة واحدة، من المهم التحقق إذا ما كان من الممكن إجراء مزيد من التحليل للمقادير الناتجة.