نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل الدوال التكعيبية بيانيًّا، ونكتب قواعدها من تمثيلاتها البيانية المعطاة، ونحدد سماتها. لنبدأ بالنظر إلى الدالة التكعيبية القياسية، وهي د ﺱ يساوي ﺱ تكعيب.
من الجيد دائمًا أن نتذكر أنه يمكننا تمثيل أي دالة بيانيًّا من خلال إيجاد بعض الإحداثيات التي تنتمي إلى الدالة. يمكننا اختيار مجموعة من القيم المدخلة أو قيم ﺱ، وإيجاد القيم المخرجة المناظرة لها أو قيم د ﺱ. بمجرد إيجاد هذه الإحداثيات أو الأزواج المرتبة، يمكننا تمثيلها بيانيًّا وربطها معًا باستخدام منحنى.
دعونا نلق نظرة على خصائص الدالة التكعيبية القياسية. أولًا، يمكننا القول إن قيمة الدالة تكون موجبة عندما يكون ﺱ موجبًا، وتكون قيمتها سالبة عندما يكون ﺱ سالبًا، وتساوي صفرًا عند ﺱ يساوي صفرًا. ثانيًا، باعتبار الدالة كثيرة حدود ذات درجة فردية تساوي ثلاثة، فإن سلوك طرفي تمثيلها البياني يكون في اتجاهين متضادين. ويكون سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة بحيث عندما يزداد ﺱ نحو ∞، تزداد الدالة د ﺱ أيضًا نحو ∞. وعندما يتناقص ﺱ، فإن الدالة د ﺱ تتناقص أيضًا نحو سالب ∞. وأخيرًا، يمكننا أيضًا القول إنها دالة فردية، وبناء عليه فإن د لسالب ﺱ يساوي سالب د ﺱ لجميع قيم ﺱ في مجال د. ونلاحظ أيضًا أنه عند تحويل هذه الدالة، فإن تعريف المنحنى يظل كما هو.
لنلق نظرة الآن على بعض التحويلات المختلفة. يمكننا تصنيف التحويلات المختلفة إلى نوعين رئيسيين، إما تغيير القيمة المدخلة وإما تغيير القيمة المخرجة. علاوة على ذلك، يمكن تصنيف هذه التغييرات في القيمة المدخلة أو القيمة المخرجة إلى جمع أو ضرب أو عكس الإشارة.
سنبدأ بالنظر إلى كيف يؤدي الجمع إلى تغيير شكل منحنى الدالة، بدءًا بتغيير القيمة المخرجة.
لنفترض الدالة التكعيبية القياسية د ﺱ يساوي ﺱ تكعيب ونضف إليها دالتين أخريين: ر ﺱ يساوي ﺱ تكعيب زائد اثنين، وﻕ ﺱ يساوي ﺱ تكعيب ناقص واحد. لاحظ كيف تغيرت القيمة المخرجة في هاتين الدالتين. حيث لم تظل ﺱ تكعيب فقط، بل أصبحت ﺱ تكعيب زائد اثنين وﺱ تكعيب ناقص واحد. يمكننا استخدام جدول قيم لمساعدتنا، ثم رسم هذه الدوال الثلاث معًا على التمثيل البياني نفسه.
نلاحظ أن الدالة التكعيبية القياسية تمر بصفر، صفر؛ لكن الدالة ر ﺱ يساوي ﺱ تكعيب زائد اثنين تمر بالنقطة: صفر، اثنين. بالمثل، ﻕ ﺱ يساوي ﺱ تكعيب ناقص واحد تمر بالإحداثيات: صفر، سالب واحد. ما لدينا هنا هو انتقال رأسي. بوجه عام، التمثيل البياني للدالة د ﺱ زائد ﻙ لأي ثابت ﻙ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية، هو انتقال رأسي للتمثيل البياني للدالة د ﺱ يساوي ﺱ تكعيب. إذا كان ﻙ أكبر من صفر، فإن تمثيله البياني يكون عبارة عن انتقال مقداره ﻙ من الوحدات لأعلى التمثيل البياني لمنحنى د ﺱ يساوي ﺱ تكعيب.
يمكننا ملاحظة ذلك في الدالة ر ﺱ. قيمة ﻙ هنا ستكون زائد اثنين، وانتقل المنحنى بمقدار وحدتين لأعلى. وإذا كان ﻙ أصغر من صفر، فإن منحنى الدالة الناتج عبارة عن انتقال للقيمة المطلقة بمقدار ﻙ من الوحدات لأسفل لمنحنى د ﺱ يساوي ﺱ تكعيب. وإذا نظرنا إلى الدالة ﻕ ﺱ، فسنجد أن قيمة ﻙ هنا سالبة؛ وهي سالب واحد. ومن ثم، فإن قيمته المطلقة تساوي واحدًا. ونلاحظ أن ﻕ ﺱ هو انتقال لـ د ﺱ يساوي ﺱ تكعيب بمقدار وحدة واحدة لأسفل.
بعد ذلك، سنلقي نظرة على كيف يؤدي إضافة أو طرح قيم من المدخلات إلى تغيير شكل الدالة. سنحتفظ بالدالة التكعيبية القياسية د ﺱ يساوي ﺱ تكعيب، لكن يمكننا إدخال دالتين جديدتين: ر ﺱ وﻕ ﺱ. وبما أننا نغير القيمة المدخلة هذه المرة، فلم يعد لدينا تكعيب للمتغير ﺱ فقط، بل ﺱ زائد اثنين تكعيب وﺱ ناقص واحد تكعيب.
يمكننا رسم جميع التمثيلات البيانية الثلاثة على المحاور نفسها. هذه المرة، لدينا انتقال أفقي. د ﺱ يساوي ﺱ تكعيب يمر بالطبع بصفر على المحور ﺱ. لكن ر ﺱ يساوي ﺱ زائد اثنين تكعيب يمر بسالب اثنين على المحور ﺱ. ﻕ ﺱ يساوي ﺱ ناقص واحد تكعيب يمر بموجب واحد على المحور ﺱ. قد يصعب تذكر هذا التحويل. على سبيل المثال، عندما نضيف اثنين إلى دالة، فقد يكون من المغري أن نعتقد أن هذا الانتقال يكون في الاتجاه الموجب، أو في هذه الحالة، بمقدار وحدتين إلى اليمين. لكن ر ﺱ هو انتقال لـ د ﺱ يساوي ﺱ تكعيب بمقدار وحدتين إلى اليسار.
بالمثل، عند طرح واحد، فإننا نعتقد أن الانتقال يتعين أن يكون إلى اليسار. لكنه في الواقع يكون إلى اليمين. لمساعدتنا على تذكر ذلك، يمكننا القول إنه إذا غيرنا القيمة المدخلة ﺱ إلى ﺱ ناقص ﻫ، فسيكون انتقالًا بمقدار ﻫ من الوحدات إلى اليمين. على سبيل المثال، في الدالة ﻕ ﺱ يساوي ﺱ ناقص واحد تكعيب، فإن قيمة ﻫ تساوي واحدًا، ومن ثم فإن الانتقال يكون بمقدار وحدة واحدة إلى اليمين. وعندما تكون قيمة ﻫ سالبة، فإننا نبحث عن انتقال للقيمة المطلقة بمقدار ﻫ من الوحدات إلى اليسار. هذا هو ما لدينا في الدالة ر ﺱ؛ حيث قيمة ﻫ هنا تساوي سالب اثنين، وهو ما يمثل انتقالًا بمقدار وحدتين إلى اليسار.
لنلق نظرة الآن على كيف يؤدي الضرب إلى تغيير شكل الدالة. هذه المرة، لدينا د ﺱ يساوي ﺱ تكعيب، ور ﺱ يساوي ثلاثة ﺱ تكعيب، وﻕ ﺱ يساوي نصف ﺱ تكعيب. هكذا رسمنا الدوال الثلاث معًا. ما الذي نلاحظه هذه المرة؟ حسنًا، هذا ليس انتقالًا؛ لأن الدوال الثلاث كلها تمر بالنقطة نفسها التي إحداثيها: صفر، صفر. لكن ما يمكننا قوله هو أن الدالة د ﺱ يساوي ﺱ تكعيب قد تمددت رأسيًّا. وقد تمددت الدالة ر ﺱ رأسيًّا بمعامل قياس يساوي ثلاثة، وتمددت الدالة ﻕ ﺱ رأسيًّا بمعامل قياس يساوي نصفًا. من ثم، يمكننا القول إنه لأي قيمة موجبة لـ ﺃ عند تحويل د ﺱ إلى ﺃ في د ﺱ، يحدث تمدد رأسي بمعامل قياس ﺃ.
لنلق نظرة الآن على كيف يؤدي ضرب القيمة المدخلة إلى تغيير شكل الدالة.
هذه المرة، يمكننا المقارنة بين دالة أخرى ﻕ ﺱ يساوي اثنين ﺱ تكعيب والدالة التكعيبية القياسية. لفهم ما يحدث هنا فهمًا كاملًا، دعونا نتناول بعض الإحداثيات في كل دالة. هيا ننظر إلى النقطة التي إحداثيها: اثنان، ثمانية في الدالة د ﺱ. ويمكننا التفكير في ذلك بدلالة آلة دالة. القيمة المدخلة اثنان ستعطينا القيمة المخرجة ثمانية. يمكننا بعد ذلك النظر إلى الدالة ﻕ ﺱ والتفكير في القيمة المدخلة اللازمة للحصول على نفس القيمة المخرجة ثمانية.
حسنًا، نعلم أنه عند إدخال القيمة اثنين، فإننا نحصل على ثمانية. لكن هذه المرة، لا ندخل اثنين فحسب، بل ندخل اثنين ﺱ. لذا، كي تكون القيمة المدخلة اثنين، فهذا يعني أن ﺱ يجب أن يساوي واحدًا. وبناء عليه، فإن النقطة التي إحداثيها: واحد، ثمانية تقع على الدالة ﻕ ﺱ. إذن، بوجه عام، يمكننا القول إنه بالنسبة لأي ﺏ موجب ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية عندما تتغير القيمة المدخلة ﺱ إلى ﺏﺱ، يوجد تمدد أفقي لـ د ﺱ يساوي ﺱ تكعيب بمعامل واحد على ﺏ.
وأخيرًا، لنتناول الآن كيف يؤدي عكس الإشارة إلى تغيير الدالة التكعيبية القياسية. لننظر إلى التمثيلين البيانيين للدالة د ﺱ يساوي ﺱ تكعيب ور ﺱ يساوي سالب ﺱ تكعيب. ما لدينا هنا هو انعكاس حول المحور الأفقي. فكل قيمة مخرجة في ر ﺱ تساوي سالب قيمتها فيد ﺱ يساوي ﺱ تكعيب. على سبيل المثال، النقطة التي إحداثيها: اثنان، ثمانية في الدالة الأصلية يساوي اثنين، سالب ثمانية في الدالة التي تم تحويلها.
قد تتساءل لماذا يكون هذا الانعكاس حول المحور الأفقي وليس حول المحور الرأسي. حسنًا، دعونا نلق نظرة على ما يحدث عند تغيير القيمة المدخلة. وسنستخدم هذه الدالة الجديدة ﻕ ﺱ يساوي سالب ﺱ تكعيب. يمكننا تبسيط هذه الدالة بكتابتها من دون الأقواس، في صورة ﻕ ﺱ يساوي سالب ﺱ تكعيب. ينتج عن ذلك دالة مطابقة لدالة ر ﺱ. وهذه السمة توضح حقيقة أن المنحنى التكعيبي هو دالة فردية.
بوجه عام، يمكننا القول إنه إذا غيرنا القيمة المخرجة د ﺱ لدالة ما إلى سالب د ﺱ، ينتج عن ذلك انعكاس حول المحور الأفقي. وعندما نغير القيمة المدخلة إلى سالب ﺱ، فسنحصل على انعكاس لـ د ﺱ حول المحور الرأسي. وحقيقة أن الدالة التكعيبية د ﺱ يساوي ﺱ تكعيب فردية تعني أن عكس إشارة القيمة المدخلة أو القيمة المخرجة يعطينا الناتج نفسه بيانيًّا.
حتى الآن، عرفنا كيف أن تغيير القيمة المدخلة أو القيمة المخرجة يغير الدالة. لكن يمكننا بالطبع تغيير الدالة التكعيبية بأكثر من طريقة في المرة الواحدة. يمكننا دمج جميع التحويلات في صورة دالة تكعيبية واحدة. يمكننا القول إنه إذا كان كل من ﺃ وﻫ وﻙ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية حيث ﺃ لا يساوي صفرًا، فإن التمثيل البياني لـ د ﺱ يساوي ﺃ في ﺱ ناقص ﻫ تكعيب زائد ﻙ هو تحويل لـ ﺹ يساوي ﺱ تكعيب.
يمكننا تلخيص كيف تؤدي قيم ﺃ وﻫ وﻙ المختلفة إلى تغيير شكل منحنى الدالة. قد ترغب في إيقاف الشاشة مؤقتًا وتدوين ذلك. ثمة ملاحظة أخيرة، وهي أن ترتيب إجراء هذه التحويلات مهم، حتى وإن حصلنا أحيانًا على التمثيل البياني نفسه. أولًا، نجري التمدد الرأسي للدالة، وتمثله قيمة ﺃ؛ ثانيًا، أي انتقال أفقي، وتمثله قيمة ﻕ؛ وأخيرًا، أي انتقال رأسي، وتمثله قيمة ﻙ. سنتناول الآن بعض الأمثلة وسنبدأ بمثال نحدد فيه المعادلة الصحيحة لتمثيل بياني معطى.
أي المعادلات الآتية تطابق التمثيل البياني؟ الخيار (أ) ﺹ يساوي ﺱ ناقص اثنين تكعيب ناقص واحد. الخيار (ب) ﺹ يساوي ﺱ زائد اثنين تكعيب ناقص واحد. الخيار (ج) ﺹ يساوي ﺱ زائد اثنين تكعيب زائد واحد. الخيار (د) ﺹ يساوي ﺱ ناقص اثنين تكعيب زائد واحد.
قد نلاحظ في البداية أن هذه الدالة تشبه كثيرًا الدالة التكعيبية القياسية د ﺱ يساوي ﺱ تكعيب، التي تعرف أحيانًا باسم ﺹ يساوي ﺱ تكعيب. يمكننا رسم ﺹ يساوي ﺱ تكعيب بجانب الدالة المعطاة. التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺱ تكعيب يحتوي على نقطة انقلاب عند صفر، صفر. وتقع نقطة انقلاب الدالة المعطاة عند سالب اثنين، سالب واحد. يمكننا إذن القول إن الدالة ﺹ يساوي ﺱ تكعيب قد انتقلت بالضرورة بمقدار وحدتين إلى اليسار ووحدة واحدة لأسفل. وهاتان الدالتان لهما نفس الانحدار، ولم تنعكسا، لذلك لا توجد تحويلات أخرى.
لعلنا نتذكر أن الدالة التكعيبية على الصورة ﺹ يساوي ﺃ في ﺱ ناقص ﻫ تكعيب زائد ﻙ هي تحويل لـ ﺹ يساوي ﺱ تكعيب لقيم ﺃ وﻫ وﻙ التي تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية وﺃ لا يساوي صفرًا. في هذه الصورة، تشير قيمة ﺃ إلى معامل قياس التمدد والانعكاس إذا كان ﺃ أقل من صفر؛ هناك انتقال أفقي بمقدار ﻫ من الوحدات إلى اليمين، وانتقال رأسي بمقدار ﻙ من الوحدات لأعلى. نجري هذه التحويلات باستخدام التمدد الرأسي أولًا، ثم الانتقال الأفقي ثانيًا، ثم الانتقال الرأسي ثالثًا.
في هذه المسألة، لم ينعكس التمثيل البياني أو يتمدد، لذلك ﺃ يساوي واحدًا. بعد ذلك، حددنا أن هذا التمثيل البياني سينتقل بمقدار وحدتين إلى اليسار. نظرًا لأن صورة الدالة التكعيبية هذه لها انتقال أفقي بمقدار ﻫ من الوحدات إلى اليمين، فهذا يعني أن قيمة ﻫ يجب أن تكون سالبة. من ثم، ﻫ يساوي سالب اثنين. وأخيرًا، حددنا أنه يجب أن يكون هناك انتقال رأسي بمقدار وحدة واحدة لأسفل. بما أن هذه الصورة تعطينا انتقالًا رأسيًّا بدلالة الوحدات لأعلى، فإن قيمة ﻙ يجب أن تكون سالبة. من ثم، ﻙ يساوي سالب واحد.
الآن علينا فقط التعويض بقيم ﺃ وﻫ وﻙ في صورة هذه الدالة المكعبة. عند التبسيط، نحصل على المعادلة ﺹ يساوي ﺱ زائد اثنين تكعيب ناقص واحد. هذه هي المعادلة المعطاة في الخيار (ب).
سنلقي نظرة الآن على مثال نحدد فيه الشكل الصحيح للتمثيل البياني لدالة تكعيبية.
أي مما يلي يمثل الرسم البياني للدالة د ﺱ يساوي سالب ﺱ ناقص اثنين تكعيب؟
في هذا السؤال، لدينا دالة تكعيبية. لنقارنها، إذن، بالدالة التكعيبية القياسية د ﺱ يساوي ﺱ تكعيب. يمكننا رسم شكل سريع لمنحنى هذه الدالة. دعونا نتذكر أن الدالة التكعيبية على الصورة د ﺱ يساوي ﺃ في ﺱ ناقص ﻫ تكعيب زائد ﻙ هي تحويل للدالة د ﺱ يساوي ﺱ تكعيب لقيم ﺃ وﻫ وﻙ تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية وﺃ لا يساوي صفرًا.
وهنا، ﺃ يمثل التمدد أو الانعكاس، وﻫ يمثل عدد الوحدات التي انتقل بها التمثيل البياني في الاتجاه الأفقي، وﻙ هو عدد الوحدات التي انتقل بها منحنى الدالة في الاتجاه الرأسي. نجري هذه التحويلات باستخدام التمدد الرأسي أولًا، ثم الانتقال الأفقي ثانيًا، ثم الانتقال الرأسي ثالثًا.
لننظر إذن إلى الدالة المعطاة. بما أن د ﺱ يساوي سالب ﺱ ناقص اثنين تكعيب، فهذا يعني أن ﺃ يساوي سالب واحد. وهذا يشير إلى أنه لا يوجد تمدد، أو تمدد بمعامل قياس واحد. لكن بما أن ﺃ سالب، فهذا يعني أن هناك انعكاسًا للمنحنى حول المحور ﺱ. إذا طبقنا الانعكاس فقط، فسيبدو المنحنى بهذا الشكل باللون الوردي.
بعد ذلك، في الدالة المعطاة، ﻫ يساوي اثنين. ما يعني أن هناك انتقالًا بمقدار وحدتين إلى اليمين. وهذا ينقل نقطة الانقلاب من صفر، صفر إلى اثنين، صفر. من ثم، ستبدو الدالة بهذا الشكل تقريبًا. من المفيد دائمًا توضيح أي معطيات مهمة على الرسم. ونعلم، بالطبع، أن هذا التمثيل البياني يقطع المحور ﺱ عند اثنين، صفر.
وعليه، يمكننا القول إن التمثيل البياني الذي يوضح د ﺱ يساوي سالب ﺱ ناقص اثنين تكعيب هو ذلك المعطى في الخيار (هـ).
سنلخص الآن بعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. تطرقنا في البداية إلى الدالة التكعيبية القياسية د ﺱ يساوي ﺱ تكعيب. ثم حددنا عددًا من الخصائص المهمة. بعد ذلك، تناولنا كيف يؤثر تغيير القيم المدخلة والمخرجة للدالة في شكل تمثيلها البياني. بعد ذلك، عرفنا كيف أن صورة الدالة د ﺱ يساوي ﺃ في ﺱ ناقص ﻫ تكعيب زائد ﻙ تمكننا من تحديد جميع التحويلات المختلفة لـ ﺹ يساوي ﺱ تكعيب. وأخيرًا، عرفنا مدى أهمية ترتيب إجراء هذه التحويلات على الدالة التكعيبية. أولًا، التمدد الرأسي، وتمثله قيمة ﺃ؛ وثانيًا، أي انتقال أفقي، وتمثله قيمة ﻕ؛ وأخيرًا، أي انتقال رأسي، وتمثله قيمة ﻙ.
