فيديو الدرس: الحركة بعجلة خلال الزمن الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتناول كيفية التعامل مع التغيرات في السرعة المتجهة عن طريق دراسة العجلة.

أولًا، ما المقصود بالعجلة؟ حسنًا، تعرف العجلة بأنها معدل التغير في السرعة المتجهة. فما الذي نعنيه بهذا؟ لنتخيل أن لدينا سيارة في حالة سكون عند البداية، الأمر الذي يعني أن سرعتها المتجهة تساوي صفر متر لكل ثانية. لنفترض أنه في وقت لاحق، بدأت السيارة تتحرك. ولنفترض أنه بعد عشر ثوان، أصبحت السيارة تتحرك بسرعة ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية. ولنفترض أنها تتحرك باتجاه اليمين.

إذن مبدئيًا، لدينا سيارة، والتي فرضًا كانت في بداية رحلتها؛ أو بعبارة أخرى، عند الثانية صفر كانت في حالة ساكنة، ولكنها بدأت تتحرك. وبعد ‪10‬‏ ثوان، أصبحت السيارة تتحرك باتجاه اليمين بسرعة ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية. حسنًا، في حالة مثل هذه، يمكننا إيجاد عجلة السيارة. والطريقة التي سنتبعها لنفعل ذلك هي بقول إن عجلة السيارة، التي سنطلق عليها ‪𝑎‬‏، تساوي التغير في السرعة المتجهة للسيارة، التي نعبر عنها بالرمز ‪𝛥𝑣‬‏، حيث ‪𝛥‬‏ هو الحرف المستخدم ليمثل التغير و‪𝑣‬‏ يمثل السرعة المتجهة، ونقسم هذا التغير في السرعة المتجهة على التغير في الزمن من بداية الرحلة وحتى نهايتها.

وهذا ما نعنيه بقولنا إن العجلة تعرف بأنها معدل التغير في السرعة المتجهة. يمثل بسط هذا الكسر، ‪𝛥𝑣‬‏، التغير في السرعة المتجهة. وعندما نقسمه على الفترة الزمنية المستغرقة لحدوث هذا التغير في السرعة المتجهة، فإننا نوجد المعدل الذي تتغير به السرعة المتجهة؛ لأن معدل تغير الشيء يعبر عن مدى التغير في هذا الشيء خلال الزمن.

بالعودة إلى حالة السيارة، يمكننا القول إن عجلة السيارة، ‪𝑎‬‏، تساوي التغير في السرعة المتجهة خلال رحلتها، والذي يمكن حسابه بطرح السرعة المتجهة الابتدائية من السرعة المتجهة النهائية. وهو ما يساوي هنا ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية ناقص صفر متر لكل ثانية. ونقسم هذا على التغير في الزمن خلال الرحلة. الزمن في نهاية الرحلة كان ‪10‬‏ ثوان. والزمن في بداية الرحلة كان صفر ثانية. لقد قررنا اختيار صفر ثانية في بداية الرحلة عشوائيًا. ولكن المقصود هو أن نهاية الرحلة كانت بعد ‪10‬‏ ثوان، والتي يمكن إيجادها بحساب ‪10‬‏ ثوان، وهي زمن نهاية الرحلة، ناقص صفر ثانية. هذا هو زمن بداية الرحلة.

والآن، علينا ملاحظة أمرين هنا. أولًا، عند حساب التغير في السرعة المتجهة، لاحظنا للتو أنها تساوي السرعة المتجهة النهائية ناقص السرعة المتجهة الابتدائية. وبالمثل، التغير في الزمن يساوي الزمن النهائي ناقص الزمن الابتدائي. ولكن، الأمر المهم الذي علينا ملاحظته هو أن السرعة المتجهة كمية متجهة. ويمكننا أن نتذكر أن الكميات المتجهة لها مقدار أو قيمة واتجاه. لذا عند حساب التغير في السرعة المتجهة، نحصل بالأساس على ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية باتجاه اليمين ناقص صفر متر لكل ثانية. وصفر متر لكل ثانية ليس له اتجاه لأنه لا توجد سرعة متجهة. إذن، ستكون العجلة متجهة أيضًا نحو اليمين. وبالتالي، ستكون العجلة كمية متجهة أيضًا. بعبارة أخرى، يصبح الاتجاه مهمًا هنا.

ولكن على أية حال، لحساب عجلة السيارة، لنحسب أولًا جميع القيم الموجودة بين الأقواس في كل من البسط والمقام. في البسط، لدينا ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية ناقص صفر متر لكل ثانية، والذي يصبح ببساطة ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية. والمقام، الذي كان ‪10‬‏ ثوان ناقص صفر ثانية، يصبح ‪10‬‏ ثوان. في هذه المرحلة، تصبح عجلة السيارة ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية على ‪10‬‏ ثوان. بعبارة أخرى، تتغير سرعة السيارة بمعدل ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية خلال ‪10‬‏ ثوان. وعندما نحسب الأعداد، نحصل على ‪10‬‏ على ‪10‬‏، وهو ما يساوي واحدًا. وهذا يعني أنه يمكننا القول إن عجلة السيارة تساوي واحد متر لكل ثانية لكل ثانية. بعبارة أخرى، تزداد سرعة السيارة بمعدل واحد متر لكل ثانية كل ثانية. إذ تزداد سرعتها أكثر فأكثر.

والآن، لنلق نظرة سريعة على وحدات هذه العجلة. لدينا وحدة السرعة المتجهة، وهي المتر لكل ثانية، مقسومة على وحدة الزمن، وهي الثانية. ويمكننا أيضًا أن نكتبها على صورة واحد متر لكل ثانية، وهي وحدة السرعة المتجهة، مقسومًا على الثانية، وهي وحدة الزمن. ولكن، طريقة إيجاد كل هذه القيم التي بين القوسين هي أن نعتبر، أولًا، أن الثواني في الواقع هي ثوان مقسومة على واحد. أصبح لدينا كسر إذن. ثم نقلب علامة القسمة إلى علامة الضرب. ونقلب هذا الكسر.

بعبارة أخرى، ما أوجدناه سابقًا، والذي كان مترًا لكل ثانية مقسومًا على ثانية، يساوي مترًا لكل ثانية مضروبًا في واحد على ثانية. إذن، أصبح لدينا متر في البسط؛ لأن المتر مضروبًا في واحد يساوي مترًا. ثم في المقام، لدينا ثانية مضروبة في ثانية ما يساوي ثانية مربعة. لذا، يمكننا كتابة هذه الوحدة على صورة متر لكل ثانية مربعة. لذلك، يمكننا القول إن عجلة السيارة تساوي واحد متر لكل ثانية مربعة. وبالطبع، لأنها كمية متجهة، يجب ألا ننسى اتجاه عجلة السيارة. اتجاه عجلتها نحو اليمين.

في هذه المرحلة، يمكننا أن نلاحظ أن هذه المعادلة مفيدة للغاية. إنها تساعدنا على حساب عجلة الأجسام. تعرف العجلة بأنها معدل التغير في السرعة المتجهة أو التغير في السرعة المتجهة مقسومًا على التغير في الزمن، حيث يعرف التغير في السرعة المتجهة بأنه السرعة المتجهة النهائية، ‪𝑣‬‏ النهائية، ناقص السرعة المتجهة الابتدائية، ‪𝑣‬‏ الابتدائية. وبالمثل، التغير في الزمن يعرف بأنه الزمن النهائي ناقص الزمن الابتدائي. بعبارة أخرى، ما نعنيه هنا بـ ‪𝛥𝑡‬‏ هو الفترة الزمنية أو مقدار الزمن الذي استغرقه حدوث التغير في السرعة المتجهة.

والآن، عندما نتأمل هذه المعادلة بتعمق أكبر، يمكننا اكتشاف أمرين. وكلاهما يتعلق بحقيقة أن السرعة المتجهة كمية متجهة. وبالتالي، العجلة كمية متجهة أيضًا. أولًا، يمكننا أن نلاحظ أنه إذا كان التغير في السرعة المتجهة سالبًا؛ أو بعبارة أخرى، إذا كان الجسم يتباطأ، فستكون السرعة المتجهة النهائية أقل من السرعة المتجهة الابتدائية، وبالتالي ستكون العجلة سالبة أيضًا.

لكي نبين ما نعنيه بهذا، لنفكر في سيارة أخرى. ولكن، هذه المرة، تسير السيارة في البداية بسرعة ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية باتجاه اليمين، في بداية رحلتها. ثم تتباطأ السيارة. وبعد ‪10‬‏ ثوان، تصبح سرعتها صفر متر لكل ثانية. بعبارة أخرى، أصبحت في حالة سكون. إذن، في هذه الحالة، ماذا ستكون عجلة السيارة؟

يمكننا القول إن عجلة السيارة تساوي التغير في السرعة المتجهة، الذي يساوي السرعة المتجهة النهائية، صفر متر لكل ثانية، ناقص السرعة المتجهة الابتدائية، ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية، ثم نقسم ذلك على التغير في الزمن. حسنًا، التغير في الزمن يساوي الزمن النهائي، ‪10‬‏ ثوان، ناقص الزمن الابتدائي، صفر ثانية. ولذلك، فإننا نقول إن هذا هو التغير في الزمن. في هذه الحالة، يصبح البسط سالب ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية. ويصبح المقام ‪10‬‏ ثوان. وبهذا، تصبح عجلة السيارة سالب واحد متر لكل ثانية مربعة. بعبارة أخرى، تتناقص سرعة السيارة أو تتباطأ.

هناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك، وهي أن عجلة السيارة تكون سالبة إذا كان اتجاه سرعة الجسم المتجهة عكس اتجاه التغير في سرعة الجسم المتجهة. ومن ثم يماثل هذا أن نقول إن الجسم يتحرك بداية في هذا الاتجاه. ولكنه يبدأ بالتسارع في هذا الاتجاه. ما يعني أنه يبطئ من سرعته في هذا الاتجاه. حسنًا، قد يكون الأمر مربكًا عند التفكير به. ولكن، الفكرة هنا هي أن عجلة الجسم عكس اتجاه سرعته المتجهة. وبالتالي، يبطئ من سرعته. إذن، لاحظنا أن العجلة يمكن أن تكون سالبة.

والآن، يوجد أمر آخر علينا أن ندركه، وهو خاص بكون السرعة المتجهة كمية متجهة، إذ يمكننا أن نتخيل سيارة ونتخيل أننا ننظر هذه المرة للسيارة من أعلى، ونفترض أنها تسير بسرعة ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية باتجاه اليمين حتى تقرر تغيير اتجاهها. تواصل السيارة السير بسرعة ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية طوال رحلتها. إنها تغير فقط الاتجاه الذي تسير نحوه بسرعة ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية. هل سيؤدي هذا إذن إلى عجلة؟

حسنًا، للإجابة عن هذا السؤال، لنتذكر مرة أخرى أن السرعة المتجهة كمية متجهة. والكميات المتجهة لها مقدار واتجاه. لهذا، على الرغم من أن السرعة ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية ثابتة دائمًا، فليس الأمر كذلك وحسب. إذ إن السرعة هنا ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية في اتجاهات متغيرة. لهذا، تتغير السرعة المتجهة. وإذا كانت السرعة المتجهة تتغير، فسيكون لدينا ‪𝛥𝑣‬‏. وبالتالي، لا بد وأن السيارة تتحرك بعجلة.

حسنًا، قد يكون هذا المفهوم أيضًا صعب الفهم. وهو حقيقة أنه على الرغم من أن السيارة تتحرك بسرعة ثابتة تبلغ ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية، فإنها تظل تتحرك بعجلة. قد يؤدي هذا إلى ظاهرة مثيرة للاهتمام للغاية. ولكن في الوقت الحالي، لنزيد من معرفتنا بالتعريف الأساسي للعجلة. ولنفعل هذا بتناول مثال.

يتحرك جسم بعجلة خمسة أمتار لكل ثانية مربعة لمدة ‪0.25‬‏ ثانية. ما مقدار الزيادة في سرعته المتجهة؟

عرفنا من السؤال أن لدينا جسمًا. لنفترض أن هذه الدائرة هي الجسم. وعرفنا أنها تتحرك بعجلة. لنفترض أنها تتحرك بعجلة نحو اليمين مقدارها خمسة أمتار لكل ثانية مربعة في خلال زمن كلي قدره ‪0.25‬‏ ثانية. لنفترض أن الجسم وصل إلى هنا بنهاية زمن ‪0.25‬‏ ثانية. وطلب منا إيجاد مقدار الزيادة في سرعته المتجهة. بعبارة أخرى، يمكننا القول إن الجسم كانت له، في البداية، سرعة متجهة، والتي سنطلق عليها ‪𝑣‬‏ واحد. وفي نهاية فترة ‪0.25‬‏ ثانية، أصبحت له سرعة متجهة أخرى سنطلق عليها ‪𝑣‬‏ اثنين.

طلب منا إيجاد الفارق بين ‪𝑣‬‏ اثنين و‪𝑣‬‏ واحد؛ لأنه طلب منا إيجاد مقدار الزيادة في السرعة المتجهة للجسم. بعبارة أخرى، طلب منا إيجاد مقدار التغير في السرعة المتجهة للجسم؛ لأننا نستخدم ‪𝛥‬‏ للتعبير عن التغير و‪𝑣‬‏ للتعبير عن السرعة المتجهة، حيث إن هذا التغير في السرعة المتجهة يساوي بالطبع السرعة المتجهة النهائية، ‪𝑣‬‏ اثنين، ناقص السرعة المتجهة الابتدائية، ‪𝑣‬‏ واحد. ولكننا لا نعرف ذلك. من المهم الآن أن نلاحظ أننا لا نحتاج في الواقع إلى إيجاد قيمة كل من ‪𝑣‬‏ اثنين و‪𝑣‬‏ واحد على حدة. علينا فقط أن نوجد الفارق بينهما، ‪𝛥𝑣‬‏. ولكي نفعل ذلك، علينا تذكر تعريف العجلة.

تعرف العجلة، التي سنطلق عليها ‪𝑎‬‏، بأنها معدل التغير في السرعة المتجهة والذي، بعبارة أخرى، يساوي التغير في السرعة المتجهة للجسم مقسومًا على التغير في الزمن الذي يحدث خلاله التغير في السرعة المتجهة. بعبارة أخرى، إذا افترضنا أن الجسم قد بدأ يتحرك، على سبيل المثال، في تمام الساعة الثالثة عصرًا. فبعد ‪0.25‬‏ ثانية، ستصبح الساعة الثالثة زائد ‪0.25‬‏ ثانية هي اللحظة النهائية التي سنلاحظ الجسم عندها. وطلب منا إيجاد مقدار التغير في السرعة المتجهة للجسم خلال تلك الفترة الزمنية التي مقدارها ‪0.25‬‏ ثانية. بعبارة أخرى، يمكننا القول إن التغير في الزمن ما بين بداية الحركة ونهايتها هو ‪0.25‬‏ ثانية، وهو ما نص عليه السؤال. عرفنا أن الجسم يتحرك بعجلة خمسة أمتار لكل ثانية مربعة لمدة ‪0.25‬‏ ثانية.

إذن، في هذه الحالة، نعرف العجلة ونعرف الفترة الزمنية. وطلب منا إيجاد ‪𝛥𝑣‬‏، وهو التغير في السرعة المتجهة. لذا لإيجاد هذه القيمة، سيكون علينا أن نعيد ترتيب المعادلة. يمكننا فعل هذا بضرب كلا طرفي المعادلة في ‪𝛥𝑡‬‏؛ ما يعني أن نحذف ‪𝛥𝑡‬‏ من الطرف الأيمن من المعادلة. وبهذا، سيكون لدينا ‪𝛥𝑣‬‏ في الطرف الأيمن من المعادلة فقط و‪𝛥𝑡‬‏ في ‪𝑎‬‏ في الطرف الأيسر. يمكننا كذلك نقل الطرف الأيمن من المعادلة إلى اليسار والطرف الأيسر إلى اليمين؛ ما يعطينا ‪𝛥𝑣‬‏ يساوي ‪𝛥𝑡‬‏ في ‪𝑎‬‏. ويمكننا كتابة ذلك على الصورة ‪𝑎‬‏ في ‪𝛥𝑡‬‏. ثم يمكننا التعويض عن قيمتي ‪𝑎‬‏ و‪𝛥𝑡‬‏. عندما نفعل هذا، نحصل على ‪𝛥𝑣‬‏ يساوي خمسة أمتار لكل ثانية مربعة في ‪0.25‬‏ ثانية.

بإلقاء نظرة سريعة على الوحدات، نرى أن لدينا أمتارًا لكل ثانية مربعة مضروبة في ثوان. في هذه الحالة، نحذف الثواني في البسط مع تربيع الثواني في المقام. ويتبقى لنا الأمتار مقسومة على الثواني أس واحد. بعبارة أخرى، متر لكل ثانية وهي وحدة قياس السرعة المتجهة. وهذا جيد لأننا نحاول في الواقع إيجاد التغير في السرعة المتجهة. إذن، كل ما يتبقى لنفعله الآن هو حساب قيمة، خمسة في ‪0.25‬‏ وهو ما يساوي ‪1.25‬‏. وبذلك نكون قد توصلنا للحل النهائي. تتغير السرعة المتجهة للجسم أو، بتحديد أكثر، تزيد بمقدار ‪1.25‬‏ متر لكل ثانية.

والسبب في أننا عرفنا أن السرعة المتجهة تتزايد هو أننا نعرف أن الجسم يتحرك بعجلة تساوي خمسة أمتار لكل ثانية مربعة. إن كون العجلة موجبة يعني أن العجلة في اتجاه السرعة المتجهة. لذا، يتسارع الجسم فحسب. وبالتالي، تزداد السرعة المتجهة.

حسنًا، بعد أن تناولنا المثال، لنلخص ما تحدثنا عنه في هذا الدرس.

درسنا أولًا أن العجلة تعرف بأنها معدل التغير في السرعة المتجهة. وللتعبير عن ذلك بالرموز، يمكن أن نكتب أن ‪𝑎‬‏، العجلة، تساوي التغير في السرعة المتجهة، ‪𝛥𝑣‬‏، مقسومًا على التغير في الزمن أو الفترة الزمنية التي يحدث خلالها هذا التغير في السرعة المتجهة، ‪𝛥𝑡‬‏. ثانيًا، تعلمنا أن العجلة كمية متجهة. أي إن لها مقدارًا أو قيمة واتجاهًا. ثالثًا، تعلمنا أن العجلة يمكن أن تكون موجبة عندما يتسارع الجسم، أو يمكن أن تكون سالبة عندما يتباطأ الجسم.

إذا كانت العجلة والسرعة المتجهة للجسم في اتجاه واحد، فإنه يتسارع وتكون عجلته موجبة. وإذا كانت العجلة تتجه عكس اتجاه السرعة المتجهة، فستكون سالبة ويتباطأ الجسم. وأخيرًا، تعلمنا أن وحدة قياس العجلة هي المتر لكل ثانية مربعة أو، بالطبع، أية وحدات قياس أخرى مكافئة لذلك. ما دامت لدينا وحدة قياس للمسافة في البسط ووحدة قياس للزمن أس اثنين في المقام، فتلك إذن هي وحدة قياس العجلة، على سبيل المثال كيلومتر لكل ساعة مربعة. هذه، إذن، هي الكيفية التي يمكننا بها استخدام مفهوم العجلة للتعامل مع التغيرات في السرعة المتجهة.