فيديو السؤال: إيجاد نهاية قسمة دالتي قوى الرياضيات

أوجد نها_(ﺱ → −١) (((ﺱ^٢ − ٥ﺱ − ٦)‏/‏(ﺱ + ١)) + ((ﺱ^٧ + ١)‏/‏(ﺱ^٣ + ١))).

٠٦:٤٠

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب واحد لـ ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ ناقص ستة الكل مقسوم على ﺱ زائد واحد زائد ﺱ أس سبعة زائد واحد مقسومًا على ﺱ تكعيب زائد واحد.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة نهاية مجموع دالتين كسريتين. ولعلنا نتذكر أنه يمكننا إيجاد قيمة نهاية الدوال الكسرية باستخدام التعويض المباشر. بالتعويض بـ ﺱ يساوي سالب واحد في هذه الدالة، نحصل على سالب واحد تربيع ناقص خمسة في سالب واحد ناقص ستة الكل مقسوم على سالب واحد زائد واحد زائد سالب واحد أس سبعة زائد واحد الكل مقسوم على سالب واحد تكعيب زائد واحد. ومن ثم، عند محاولة إيجاد قيمة هذه المقادير، نحصل على صفر على صفر زائد صفر على صفر. وهذان من الصيغ غير المعينة. لذا، لا يمكننا استخدام التعويض المباشر لإيجاد قيمة هذه النهاية. وفي الواقع، لا يمكننا استخدام حقيقة أن نهاية مجموع دالتين تساوي مجموع نهايتي الدالتين. وذلك لأننا إذا استخدمنا التعويض المباشر على كل حد منفردًا، فسنحصل على صيغة غير معينة أيضًا.

بدلًا من ذلك، دعونا نلق نظرة عن قرب على الحدين الموجودين داخل النهاية. لنبدأ بالحد الأول. الحد الأول دالة كسرية. فهي دالة تربيعية مقسومة على دالة خطية. ونحن نعلم أنه عند التعويض بـ ﺱ يساوي سالب واحد في البسط، نحصل على صفر. إذن، باستخدام نظرية الباقي، لا بد أن يكون ﺱ زائد واحد عاملًا للبسط. هذا سيساعدنا على إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب واحد للحد الأول.

وفي الواقع، يمكننا أن نفعل شيئًا مشابهًا في الحد الثاني. لكن، هناك طريقة أسهل. يمكننا ملاحظة أن هذا على صورة نهاية قسمة دالتي قوى. هذا يمكننا من إيجاد قيمة نهاية كل حد على حدة. لذا سنبدأ بكتابة نهاية مجموع دالتين على صورة مجموع نهايتيهما. وبالطبع، لن تتحقق هذه النتيجة إلا بوجود هاتين النهايتين.

لنبدأ بإيجاد قيمة نهاية الدالة الأولى. سنفعل ذلك عن طريق تحليل البسط. من خلال نظرية الباقي، نعرف أن ﺱ زائد واحد لا بد أن يكون أحد عوامل هذا المقدار التربيعي. وهكذا يمكننا إيجاد العامل الآخر. وهو يساوي ﺱ ناقص ستة. باستخدام هذا المقدار، يمكننا إعادة كتابة نهاية الحد الأول على صورة النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب واحد لـ ﺱ زائد واحد مضروبًا في ﺱ ناقص ستة الكل مقسوم على ﺱ زائد واحد.

ونلاحظ الآن أننا نوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب واحد لهذه الدالة. تذكر أننا نريد معرفة ما يحدث لقيم مخرجات الدالة عندما يقترب ﺱ من سالب واحد. لا نهتم بما يحدث عند ﺱ يساوي سالب واحد. على وجه التحديد، إذا كان ﺱ لا يساوي سالب واحد، فإن ﺱ زائد واحد مقسومًا على ﺱ زائد واحد يساوي واحدًا. لذا، فإن حذف العامل المشترك ﺱ زائد واحد في البسط والمقام لن يغير نهاية هذه الدالة عندما يقترب ﺱ من سالب واحد.

وبذلك، فإن نهاية هذا الحد الأول هي النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب واحد لـ ﺱ ناقص ستة. وبما أن هذه دالة خطية، يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. نعوض بـ ﺱ يساوي سالب واحد في الدالة الخطية لنحصل على سالب واحد ناقص ستة، وهو ما يساوي سالب سبعة.

لكننا لم ننته بعد. ما زال علينا إيجاد قيمة نهاية الحد الثاني. ولإيجاد قيمة هذه النهاية، علينا تذكر النتيجة التالية لنهاية قسمة دالتي قوى. تنص هذه النتيجة على أنه لأي ثوابت حقيقية ﻥ وﻡ وﺃ، حيث ﻡ لا يساوي صفرًا، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺱ أس ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ الكل مقسوم على ﺱ أس ﻡ ناقص ﺃ أس ﻡ تساوي ﻥ على ﻡ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ. وهذا بشرط أن يكون ﺃ أس ﻥ، وﺃ أس ﻡ، وﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ، جميعها موجودة.

قبل تطبيق هذه النتيجة، علينا إعادة كتابة الدالة على هذه الصورة. أولًا، نعيد كتابة البسط على الصورة ﺱ أس سبعة ناقص سالب واحد أس سبعة. وبالمثل، نعيد كتابة المقام على الصورة ﺱ تكعيب ناقص سالب واحد الكل تكعيب. هذا يعني أننا أعدنا كتابة نهاية الحد الثاني على صورة النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب واحد لـ ﺱ أس سبعة ناقص سالب واحد أس سبعة الكل مقسوم على ﺱ تكعيب ناقص سالب واحد الكل تكعيب. ويمكننا ملاحظة أن هذا مكتوب في صورة نتيجة النهاية التي لدينا. ‏ﺃ يساوي سالب واحد، وﻥ يساوي سبعة، وﻡ يساوي ثلاثة.

والآن يمكننا إيجاد قيمة نهاية الحد الثاني بالتعويض بهذه القيم في الصيغة التي لدينا. إذن، نهاية هذا الحد هي سبعة على ثلاثة في سالب واحد أس سبعة ناقص ثلاثة. يمكننا حساب قيمة هذا المقدار. سبعة ناقص ثلاثة يساوي أربعة. إذن، لدينا سبعة على ثلاثة مضروبًا في سالب واحد أس أربعة. وسالب واحد أس أربعة يساوي واحدًا.

وبذلك نكون قد أوضحنا أن نهاية الحد الأول في الدالة تساوي سالب سبعة، ونهاية الحد الثاني في الدالة تساوي سبعة على ثلاثة. ومن ثم، فإن نهايتي هاتين الدالتين موجودتان. إذن، نهاية مجموع هاتين الدالتين تساوي مجموع النهايتين. وبجمع هاتين القيمتين معًا، سنحصل على سالب ١٤ على ثلاثة، وهي الإجابة النهائية.

إذن، استطعنا توضيح أن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب واحد لـ ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ ناقص ستة الكل مقسوم على ﺱ زائد واحد زائد ﺱ أس سبعة زائد واحد على ﺱ تكعيب زائد واحد تساوي سالب ١٤ على ثلاثة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.