فيديو السؤال: إيجاد كتل مجهولة من مجموعة مكونة من ثلاث كتل منفصلة على المحور نفسه بمعلومية إحداثيات مركز كتلتها الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

افترض أن هناك ثلاث كتل، ستة كيلوجرامات وتسعة كيلوجرامات وﻙ كيلوجرام، عند النقاط خمسة، تسعة؛ وصفر، ستة؛ وسالب أربعة، ثلاثة، على الترتيب. إذا كان مركز كتلة الكتل الثلاث هو واحد، ﺹ، فما قيمة ﻙ وﺹ؟

يمكننا بدء الإجابة عن هذا السؤال، إذا أردنا، باستخدام شبكة إحداثيات تمثل الكتل الثلاث المختلفة عند الإحداثيات المعطاة. بالنظر إلى الدوائر التي تمثل الكتل، نجد لدينا هنا كتلة تساوي ستة كيلوجرامات عند النقطة خمسة، تسعة؛ وكتلة تساوي تسعة كيلوجرامات عند النقطة صفر، ستة؛ وكتلة تساوي ﻙ كيلوجرام عند سالب أربعة، ثلاثة. علمنا أيضًا أن إحداثيات مركز كتلة هذه الكتل الثلاث هي واحد، ﺹ. وعلينا إيجاد قيمة الكتلة المجهولة ﻙ كيلوجرام وقيمة ﺹ.

مركز الكتلة لمجموعة من الكتل ليس مجرد المركز الهندسي. فيجب أن يأخذ مركز الكتلة في الاعتبار كتلة النظام. وهناك صيغة يمكننا استخدامها لتساعدنا. تنص هذه الصيغة على أن متجه موضع مركز الكتلة، الممثل في المتجه ﺭﻡ، يساوي واحدًا على ﻙ شرطة في المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺟ في المتجه ﺭﺟ. تمثل ﻙ شرطة الكتلة الكلية لنظام الكتل. وتمثل ﻙﺟ كتلة الجسم ﺟ. والمتجه ﺭﺟ هو متجه موضع الجسم ﺟ.

على الرغم من أن هذه الصيغة قد تبدو معقدة، فإن ما نفعله في الواقع هو ضرب كتلة كل جسم في متجه موضعه، ثم جمع كل حواصل الضرب هذه وضربها في واحد على الكتلة الكلية. ولأن هذه الصيغة تستخدم متجهات الموضع ولدينا الإحداثيات، فأول ما سنفعله هو إيجاد هذه الإحداثيات الأربعة بدلالة متجهات موضعها.

دعونا نبدأ بالترتيب المعطى لنا؛ أي بالإحداثيات خمسة، تسعة. يمكن كتابة ذلك بدلالة ﺱ وﺹ على صورة خمسة ﺱ زائد تسعة ﺹ. ثم يمكن كتابة الإحداثيات الثانية صفر، ستة على صورة صفر ﺱ زائد ستة ﺹ. بما أن صفر ﺱ يساوي صفرًا، فإن متجه الموضع هذا يساوي ستة ﺹ. يمكن كتابة الإحداثيات الثالثة سالب أربعة، ثلاثة على الصورة سالب أربعة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ. سنحول أيضًا الإحداثيات واحد، ﺹ إلى متجه موضع على صورة واحد ﺱ زائد ﺹﺹ. ويمكن كتابة ذلك بشكل أبسط على صورة ﺱ زائد ﺹﺹ.

وبذلك، أصبح لدينا الآن معلومات كافية للتعويض بهذه القيم في الصيغة المعطاة، مع مراعاة أن لدينا بالفعل متجه موضع مركز الكتلة. عندما نبدأ بالتعويض، سيكون ﺱ زائد ﺹﺹ في الطرف الأيمن من المعادلة. وفي الطرف الأيسر، لدينا واحد على ستة زائد تسعة زائد ﻙ، مع تذكر أن هذه هي الكتلة الكلية للنظام. وبعد ذلك نضرب هذه القيمة في ستة في خمسة ﺱ زائد تسعة ﺹ، وهي قيمة الكتلة مضروبة في متجه الموضع للجسم الأول. نضيف ذلك إلى الكتلة مضروبة في متجه الموضع للكتلة الثانية، ليصبح لدينا تسعة في ستة ﺹ. وأخيرًا، نضيف ذلك إلى كتلة الجسم الثالث، التي تساوي ﻙ، في متجه موضعه سالب أربعة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ.

بمجرد الحصول على هذه النتيجة، تصبح الخطوة التالية هي التبسيط في الطرف الأيسر. وهكذا في الطرف الأيسر، نبدأ بالكسر واحد على ١٥ زائد ﻙ. وبعد ذلك نوزع ستة على الحدين داخل الأقواس، فنحصل على ٣٠ﺱ زائد ٥٤ﺹ زائد ٥٤ﺹ ناقص أربعة ﻙﺱ زائد ثلاثة ﻙﺹ. الخطوة التالية من التبسيط ستكون تجميع الحدود المتشابهة بدلالة المركبتين الأفقية والرأسية ﺱ وﺹ.

ومن ثم، تصبح المعادلة الكاملة ﺱ زائد ﺹﺹ يساوي واحدًا على ١٥ زائد ﻙ في ٣٠ ناقص أربعة ﻙ في ﺱ زائد ١٠٨ زائد ثلاثة ﻙ في ﺹ. لاحظ أنه ما زال لدينا مجهولان في هذه المعادلة؛ وهما المجهول ﺹ والمجهول ﻙ الذي يظهر مرتين. ما سنفعله بعد ذلك هو تذكر أن المركبات الأفقية والرأسية لطرفي المعادلة لا بد أن تكون متساوية. لنتمكن من فعل ذلك، دعونا نوزع واحدًا على ١٥ زائد ﻙ على القوسين.

عندما نفعل ذلك، يصبح لدينا في الطرف الأيسر ٣٠ ناقص أربعة ﻙ على ١٥ زائد ﻙ في ﺱ زائد ١٠٨ زائد ثلاثة ﻙ على ١٥ زائد ﻙ في ﺹ. والآن يمكننا مساواة معاملات ﺱ ومعاملات ﺹ، مع تذكر أن ﺱ في الطرف الأيمن يساوي واحد ﺱ. يمكننا إفراغ بعض المساحة بالأعلى لمساواة المعاملات. لدينا الآن معادلتان: الأولى هي واحد يساوي ٣٠ ناقص أربعة ﻙ على ١٥ زائد ﻙ، والثانية هي ﺹ يساوي ١٠٨ زائد ثلاثة ﻙ على ١٥ زائد ﻙ.

دعونا نر إذا ما كان بإمكاننا حل المعادلة الأولى أولًا. بضرب الطرفين في ١٥ زائد ﻙ، نحصل على ١٥ زائد ﻙ يساوي ٣٠ ناقص أربعة ﻙ. بعد ذلك، في خطوة أو خطوتين، نضيف أربعة ﻙ ونطرح ١٥ من الطرفين، ويتبقى لدينا خمسة ﻙ يساوي ١٥. بقسمة الطرفين على خمسة، نحصل على ﻙ تساوي ثلاثة. هذه هي الإجابة الأولى المطلوبة. وهذا يعني أن الكتلة المجهولة ﻙ تساوي ثلاثة كيلوجرامات.

يمكننا أيضًا استخدام ذلك لمساعدتنا في حل المعادلة الثانية بالتعويض عن ﻙ بثلاثة في هذه المعادلة. وبذلك يكون لدينا ﺹ يساوي ١٠٨ زائد ثلاثة في ثلاثة على ١٥ زائد ثلاثة. بتبسيط البسط، يصبح لدينا ١٠٨ زائد تسعة، وهو ما يساوي ١١٧. وفي المقام، لدينا ١٨. وعند كتابة الكسر في صورة عدد عشري، نجد أن ﺹ يساوي ٦٫٥. نتذكر هنا أن قيمة ﺹ هي القيمة الموجودة في إحداثيات مركز الكتلة. إذا أضفنا ذلك إلى الشكل، فإن مركز الكتلة عند واحد، ٦٫٥، سيظهر هنا تقريبًا.

إذا رسمنا تمثيلًا بيانيًّا بالفعل، فإن إضافة مركز الكتلة إليه يمكن أن تكون طريقة مفيدة للتأكد من أن القيمة منطقية. وبما أننا أوضحنا أن الكتلة المجهولة هي ثلاثة كيلوجرامات، فربما نتوقع رؤية مركز الكتلة على اليمين قليلًا من هذه الكتلة التي تساوي تسعة كيلوجرامات. وهذا بمثابة تأكيد بصري جيد على أن مركز الكتلة صحيح. وبذلك، تكون الإجابة ﻙ تساوي ثلاثة وﺹ يساوي ٦٫٥.