فيديو السؤال: الحلول الدخيلة للمعادلات الكسرية الرياضيات

أوجد مجموعة حل المعادلة: ‪2/(𝑥 + 2) + 5/(𝑥 − 5) = 35/(𝑥² − 3𝑥 − 10)‬‏.

٠٣:١٩

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل المعادلة: اثنين على 𝑥 زائد اثنين، زائد خمسة على 𝑥 ناقص خمسة، يساوي 35 على 𝑥 تربيع ناقص ثلاثة 𝑥 ناقص 10.

قبل محاولة البدء في حل المعادلة، من المهم أن نعرف ما إذا كانت أي من قيم 𝑥 تعطينا قيمًا غير معرفة. ولمعرفة أي قيم إدخال تعطينا قيمًا غير معرفة، نحاول إيجاد قيم 𝑥 التي تعطينا صفرًا في المقام.

وبما أن تحليل المقام في الطرف الأيمن من المعادلة يعطينا 𝑥 ناقص خمسة في 𝑥 زائد اثنين، تنتج قيمنا غير المعرفة هنا في حال كان 𝑥 ناقص خمسة يساوي صفرًا، أو 𝑥 زائد اثنين يساوي صفرًا. ومن ثم فإن 𝑥 يساوي خمسة و𝑥 يساوي سالب اثنين لا يمكن أن يكونا من حلول المعادلة، إذ ينتج عنهما قيم غير معرفة.

والآن، سنحل المعادلة بالطريقة التقليدية، ونحن نعرف أن 𝑥 يساوي خمسة و𝑥 يساوي سالب اثنين لا يمكن أن يكونا من حلول المعادلة. المقام المشترك في الطرف الأيسر من المعادلة هو 𝑥 زائد اثنين في 𝑥 ناقص خمسة. ويمكن تبسيط هذا إلى اثنين في 𝑥 ناقص خمسة، زائد خمسة في 𝑥 زائد اثنين، الكل مقسوم على 𝑥 زائد اثنين في 𝑥 ناقص خمسة.

وعند فك الأقواس، يمكن تبسيط البسط إلى اثنين 𝑥 ناقص 10 زائد خمسة 𝑥 زائد 10. وبتبسيط ذلك أكثر عن طريق جمع الحدود المتشابهة، نحصل على سبعة 𝑥 على 𝑥 زائد اثنين في 𝑥 ناقص خمسة. وبتحليل المقام في الطرف الأيمن من المعادلة، نحصل على 𝑥 زائد اثنين في 𝑥 ناقص خمسة.

وبما أن المقام في الطرف الأيسر من المعادلة يساوي المقام في الطرف الأيمن منها، سيكون من السهل حل هذه المعادلة بطبيعة الحال. فسيكون البسطان مساويين لبعضهما. سبعة 𝑥 يساوي 35. ثم بقسمة كلا طرفي المعادلة على سبعة، نحصل على قيمة 𝑥 تساوي خمسة. ومن ثم، نفترض أن 𝑥 يساوي خمسة هو حل صحيح للمعادلة.

ولكننا نعرف أن المعادلة غير معرفة عند 𝑥 يساوي خمسة. وهذا يعني أنه ليس هناك حلول للمعادلة، أو أن مجموعة الحل خالية. وبما أن المعادلة غير معرفة عند 𝑥 يساوي خمسة، فليس هناك حل للمعادلة اثنين على 𝑥 زائد اثنين، زائد خمسة على 𝑥 ناقص خمسة، يساوي 35 على 𝑥 تربيع ناقص ثلاثة 𝑥 ناقص 10.

ويمكننا التأكد من ذلك عن طريق التعويض بـ 𝑥 يساوي خمسة في المعادلة الأصلية. وعندما نفعل ذلك، يكون الكسران الثاني والثالث غير معرفين إذ يساوي المقام صفرًا.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.