فيديو السؤال: إيجاد المسافة بين نقطة ومستوى الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد المسافة بين النقطة سالب خمسة، سالب ثمانية، سالب ستة، والمستوى سالب اثنين ﺱ زائد ﺹ زائد اثنين ﻉ يساوي سبعة.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد المسافة بين نقطة ومستوى. لعلنا نتذكر أن المسافة بين نقطة ومستوى تعني البعد العمودي؛ لأن هذا يمثل أقصر مسافة بين عنصرين. وتوجد صيغة تساعدنا في إيجاد البعد العمودي. وتنص على أن البعد العمودي، الذي يشار إليه بـ ل، بين النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد وﻉ واحد؛ والمستوى ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ زائد د يساوي صفرًا يعطى بالصيغة ل يساوي مقياس ﺃﺱ واحد زائد ﺏﺹ واحد زائد ﺟﻉ واحد زائد د على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع.

لكن قبل أن نتمكن من استخدام هذه الصيغة، علينا تغيير معادلة المستوى بحيث تكون مكتوبة على نفس صورة هذه الصيغة. بطرح سبعة من كلا طرفي المعادلة، نحصل على سالب اثنين ﺱ زائد ﺹ زائد اثنين ﻉ ناقص سبعة يساوي صفرًا. هذا يعني ببساطة أن لدينا قيمة د التي تساوي سالب سبعة، بالإضافة إلى الحدود الأخرى في الطرف نفسه من المعادلة. من المفيد أيضًا أن ندون القيم التي نستخدمها. ‏ﺱ واحد سيساوي سالب خمسة، وﺹ واحد يساوي سالب ثمانية، وﻉ واحد يساوي سالب ستة.

في معادلة المستوى، لدينا ﺃ يساوي سالب اثنين، وﺏ يساوي واحدًا لأن معامل ﺹ يساوي واحدًا، وﺟ يساوي اثنين، ود يساوي سالب سبعة. يمكننا الآن التعويض بهذه القيم في صيغة البعد العمودي. وهكذا، يصبح لدينا ل يساوي مقياس سالب اثنين في سالب خمسة زائد واحد في سالب ثمانية زائد اثنين في سالب ستة زائد سالب سبعة على الجذر التربيعي لسالب اثنين تربيع زائد واحد تربيع زائد اثنين تربيع.

وهنا تجدر الإشارة إلى أننا قد نفكر أحيانًا في إضافة د تربيع أخرى إلى الجذر التربيعي في مقام هذه الصيغة. لكننا لا نفعل ذلك. إن المقام في هذه الصيغة هو ببساطة الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع. وعند تبسيط الطرف الأيسر من المعادلة، نحصل على مقياس ١٠ ناقص ثمانية ناقص ١٢ ناقص سبعة على الجذر التربيعي لأربعة زائد واحد زائد أربعة. ويمكننا تبسيط ذلك أكثر بملاحظة أن المقام الذي يساوي الجذر التربيعي لتسعة يساوي ثلاثة. ومن ثم نحصل على مقياس سالب ١٧ على ثلاثة.

وبالطبع، مقياس سالب ١٧ يساوي ١٧. وبذلك نكون قد أوجدنا قيمة ل. وبما أن ل عبارة عن مسافة، يمكننا إضافة وحدات طول إلى هذه القيمة المعطاة. إذن، يمكننا قول إن المسافة بين النقطة والمستوى المعطيين تساوي ١٧ على ثلاثة وحدة طول.