تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: ضرب وقسمة وحيدات الحد

أحمد مدحت

يوضح الفيديو وحيدة الحد، وخصائص الأُسس المستخدمة في عمليات ضرب وقسمة وحيدات الحد، وأمثلة توضح كيفية تبسيط وحيدات الحد.

١٥:٠١

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم في الفيديو ده عن ضرب وقسمة وحيدات الحدّ. في الفيديو ده هنعرف يعني إيه وحيدة الحدّ. بعد كده هنعرف خصائص الأُسُس اللي هتساعدنا في عمليات ضرب وقسمة وحيدات الحدّ، وكمان تبسيطها. وبعد كده هنشوف أمثلة، نعرف بيها إزَّاي نبسّط وحيدات الحدّ.

بالنسبة لوحيدة الحدّ، فهي بتتكوّن من حدّ واحد بس. والحدّ ده ممكن يكون عدد، زيّ تلاتة مثلًا. وكمان ممكن يكون متغيّر، زيّ مثلًا س أو ص. وكمان ممكن يكون عبارة عن حاصل ضرب عدد في متغيّر أو أكتر. فمثلًا اتنين س، ده عبارة عن حاصل ضرب عدد في متغيّر. وزيّ كمان خمسة س ص، دي عبارة عن حاصل ضرب عدد في أكتر من متغيّر. بالنسبة للمتغيرات دي، ممكن تكون مرفوعة لأُسس. بس علشان تبقى وحيدة حدّ، الأُسُس دي لازم تكون صحيحة، ومش سالبة. زيّ مثلًا سبعة أ تربيع ب أُس خمسة.

بكده بعد ما عرفنا وحيدة الحدّ، هنعرف عملية تبسيط المقادير الجبرية اللي بتحتوي على أُسُس. بس ده هيكون في صفحة تانية. هنقلب الصفحة. بيبقى فيه أعداد مرفوعة لأُسس سالبة. بالنسبة للأُسُس السالبة دي، فهي عبارة عن طريقة للتعبير عن المعكوس الضربي لعدد. لكن عملية تبسيط المقادير الجبرية اللي بتحتوي على أُسُس، معناها إن إحنا عايزين نعيد كتابة المقادير الجبرية دي، مرة تانية من غير أقواس أو أُسُس سالبة. وبالتالي محتاجين نعرف خصائص الأُسُس، اللي هتساعدنا في عمليات الضرب والقسمة بتاعة وحيدات الحدّ. وكمان هتساعدنا في عملية التبسيط.

فهيظهر لنا جدول بيلخّص خصائص الأُسُس. في الأول هنعتبر إن س وَ ص دول، أيّ عددين حقيقين. وإن أ وَ ب هم أيّ عددين صحيحين. هنبدأ بأول خاصية، وهي ضرب القوى. فلو عندنا س أُس أ، مضروبة في س أُس ب. فده هيساوي س أُس، أ زائد ب. يعني لمّا يبقى عندنا قوتين مضروبين في بعض، والأساسات متشابهة؛ في الحالة دي بنجمع الأُسُس. فمثلًا لو عندنا تلاتة أُس اتنين، مضروبة في تلاتة أُس أربعة. فده هيساوي تلاتة أُس، اتنين زائد أربعة. يعني هيساوي تلاتة أُس ستة. وكمان لو عندنا ل أُس اتنين، مضروبة في ل أُس تسعة. فده هيساوي ل أُس، اتنين زائد تسعة. يعني هيساوي ل أُس حداشر.

بعد كده خاصية قسمة القوى. وهي لمّا بنقسم قوتين، والأساسات تكون متشابهة؛ فإحنا بنطرح الأُسُس، وبيكون أُس البسط مطروح منه أُس المقام. يعني لو عندنا س أُس أ، مقسومة على س أُس ب. فده هيساوي س أُس، أ ناقص ب. وده بحيث إن س ما تساويش الصفر. فلو على سبيل المثال، عندنا تسعة أُس خمسة، على تسعة أُس اتنين. فده هيساوي تسعة أُس، خمسة ناقص اتنين. يعني هيساوي تسعة أُس تلاتة. ولو عندنا م أُس ستة، على م أُس أربعة. فده هيساوي م أُس، ستة ناقص أربعة. يعني هيساوي م أُس اتنين.

بعد كده خاصية الأُس السالب، واللي هي تعبير عن المعكوس الضربي لعدد. فمثلًا لو عندنا س أُس سالب أ، فهي هتساوي واحد على، س أُس أ. ولو عندنا واحد على، س أُس سالب أ. فده هيساوي س أُس أ. وده بحيث إن س دي ما تساويش الصفر. فمثلًا لو عندنا اتنين أُس سالب خمسة. فده هيساوي واحد على، اتنين أُس خمسة. وكمان لو عندنا واحد على، ك أُس سالب سبعة. فده هيساوي ك أُس سبعة.

بعد كده خاصية قوة القوة. فلمّا يبقى عندنا س أُس أ، الكل أُس ب. فده هيساوي س أُس أ ب. هنلاحظ في الخاصية دي، إن الأساس س كان مرفوع للأُس أ. بعد كده القوة كلها اترفعت للأُس ب. وده بيساوي س أُس أ ب. يعني ضربنا الأُسّين في بعض. فمثلًا لو عندنا أربعة أُس تلاتة، الكل أُس اتنين. فده هيساوي أربعة أُس، تلاتة في اتنين. يعني هتساوي أربعة أُس ستة. كمان لو عندنا ن أُس اتنين، الكل أُس أربعة. فده هيساوي ن أُس، اتنين في أربعة. يعني بيساوي ن أُس تمنية.

بعد كده خاصية قوة ناتج الضرب. فمثلًا لو عندنا س في ص، الكل أُس أ. فده هيساوي س أُس أ، في ص أُس أ. هنلاحظ في الخاصية دي إن الأُس، اللي هو أ، وزّعناه على الـ س وعلى الـ ص. معنى كده لمّا يبقى عندنا عملية ضرب مرفوعة لأُس، فإحنا هنوزّع الأُس ده. فمثلًا لو عندنا اتنين ك، واللي هي عبارة عن اتنين في ك، الكل أُس أربعة. فإحنا هنوزّع الأُس اللي عندنا. فهتساوي اتنين أُس أربعة، في ك أُس أربعة. كمان لو عندنا د ج، واللي هي تعتبر د في ج، الكل أُس تلاتة. فده هيساوي د أُس تلاتة، ج أُس تلاتة.

بعد كده خاصية قوة ناتج القسمة. فلو عندنا س على ص، الكل أُس أ. فده بيساوي س أُس أ، على ص أُس أ. هنلاحظ في الخاصية دي، إن الأُس أ اتوزّع على البسط وعلى المقام. معنى كده لمّا يبقى عندنا عملية قسمة مرفوعة لأُس، فإحنا بنوزّع الأُس. فمثلًا لو عندنا ل على م، الكل أُس اتنين. فده هيساوي ل أُس اتنين، على م أُس اتنين.

بعد كده لو عملية القسمة مرفوعة لأُس سالب. لو عندنا س على ص، الكل أُس سالب أ. فده هيساوي ص على س، الكل أُس أ. واللي بيساوي ص أُس أ، على س أُس أ. معنى كده لمّا يبقى عندنا كسر مرفوع لأُس سالب، فده بيساوي مقلوب الكسر ده، مرفوع لنفس الأُس. بس هتكون إشارة الأُس موجبة. فعلى سبيل المثال، لو عندنا هـ على و، الكل أُس سالب خمسة. فده هيساوي و على هـ، الكل أُس خمسة. وإحنا كده عندنا عملية قسمة، مرفوعة لأُس. فهنوزّع الأُس اللي عندنا. وبالتالي هتساوي و أُس خمسة، على هـ أُس خمسة.

بعد كده القوة الصفرية. فلو عندنا س أُس صفر، فَـ س أُس صفر بتساوي واحد. بحيث إن س ما تساويش الصفر. بالنسبة لخاصية القوة الصفرية، فمعناها إن أيّ حاجة أُس صفر، بتساوي واحد. فعلى سبيل المثال، لو عندنا سبعة أُس صفر، فهي هتساوي واحد.

بعد ما شفنا خصائص الأُسُس اللي هنستخدمها في عمليات الضرب والقسمة بتاعة وحيدات الحدّ. وكمان هنستخدمها لتبسيط وحيدات الحدّ … بعد ما عرفنا خصائص الأُسُس اللي هتساعدنا في عمليات الضرب والقسمة بتاعة وحيدات الحدّ، هنشوف عملية التبسيط لوحيدات الحدّ. بس في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة.

بالنسبة لوحيدة الحدّ، فهي بتكون في أبسط صورة لمّا ما تكونش بتحتوي على قوى قوة. وكمان لمّا كل أساس يظهر مرة واحدة بس. وكمان لمّا تبقى كل الكسور اللي موجودة في وحيدة الحدّ، في أبسط صورة. وكمان لمّا ما يكونش فيه أقواس أو أُسُس سالبة. هنشوف أمثلة على تبسيط وحيدة الحدّ، بس في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة. هيظهر لنا المثال.

في المثال اللي عندنا عايزنا نكتب المقادير الجبرية في أبسط صورة. وهنفرض إن أيّ متغيّر موجود عندنا، ما بيساويش صفر. هنبدأ بالمقدار الجبري: اتنين أ أُس سالب اتنين، في تلاتة أ تكعيب ب تربيع، في ج أُس سالب اتنين. هنكتب المقدار ده مرة كمان. المقدار هو: اتنين أ أُس سالب اتنين، في تلاتة أ تكعيب ب تربيع، في ج أُس سالب اتنين.

أول حاجة هنعملها، إن إحنا هنتخلّص من الأُسُس السالبة اللي موجودة عندنا. فهنستخدم تعريف الأُسُس السالبة. فهيبقى المقدار بيساوي اتنين في، واحد على أ تربيع، في تلاتة أ تكعيب ب تربيع، في واحد على ج تربيع. وبكده يبقى إحنا اتخلّصنا من الأُسُس السالبة. بعد كده نقدر نستخدم تعريف الأُسُس، عشان نكتب المقدار اللي عندنا في أبسط صورة. فهنلاقي إن المقدار بيساوي اتنين على أ تربيع، واللي هي اتنين على، أ في أ. في تلاتة أ تكعيب ب تربيع، واللي هي تلاتة في أ، في أ، في أ، في ب، في ب. في واحد على ج تربيع، واللي هي واحد على، ج في ج.

وبكده يبقى إحنا استخدمنا تعريف الأُسُس. بعد كده هنقسم العوامل المشتركة. وهنكتب المقدار في أبسط صورة. فهنلاقي إن المقدار بيساوي ستة أ ب تربيع، على ج تربيع. وبكده يبقى إحنا كتبنا المقدار في أبسط صورة. هنشوف مقدار كمان، في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة. هيظهر لنا المقدار.

عايزين نكتب المقدار الجبري: ل تربيع م أُس أربعة، على ل أُس سبعة م تكعيب، في أبسط صورة. هنكتب المقدار اللي عندنا ده مرة كمان. بالنسبة للمقدار اللي عندنا، فإحنا هنلاقي إن إحنا بنقسم قوى، أساساتها متشابهة. وبالتالي هنستخدم خاصية قسمة القوى. فهيبقى عندنا المقدار بيساوي ل أُس، اتنين ناقص سبعة؛ في م أُس، أربعة ناقص تلاتة. وهي دي خاصية قسمة القوى. وبكده يبقى المقدار هيساوي ل أُس سالب خمسة، م.

وعلشان تبقى وحيدة الحدّ في أبسط صورة، فهي ما بيكونش فيها أُسُس سالبة. وبالتالي محتاجين نتخلّص من الأُس السالب اللي عندنا. فهنستخدم تعريف الأُسُس السالبة. فيبقى عندنا المقدار بيساوي م على، ل أُس خمسة. وبكده يبقى إحنا كتبنا المقدار اللي عندنا، في أبسط صورة.

نقدر نتأكد دايمًا من الحل بتاعنا، من خلال استخدام تعريف الأُسُس. فمثلًا ل أُس اتنين، على ل أُس سبعة؛ بتساوي ل مضروبة في نفسها، على ل مضروبة سبع مرات. فهنلاقي إنها بتساوي واحد على، ل أُس خمسة. هنشوف مقدار كمان، في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة. هيظهر لنا المقدار.

عايزين نكتب المقدار: سالب اتنين أ أُس أربعة، على ب تربيع، الكل أُس تلاتة، في أبسط صورة. هنكتب المقدار مرة كمان. بالنسبة للمقدار اللي عندنا، فهنلاقي عبارة عن عملية قسمة، مرفوعة لأُس. فالأُس ده هيتوزّع على البسط وعلى المقام. وهي دي خاصية قوة ناتج القسمة. وبالتالي هيبقى المقدار بيساوي سالب اتنين أ أُس أربعة الكل أُس تلاتة، على ب تربيع الكل أُس تلاتة.

هنلاقي في البسط بتاع المقدار اللي عندنا، عملية ضرب مرفوعة لأُس. فهنوزّع الأُس اللي عندنا، وهي دي خاصية قوة ناتج الضرب. فيبقى المقدار بيساوي سالب اتنين أُس تلاتة، في أ أُس أربعة الكل أُس تلاتة؛ على ب تربيع الكل أُس تلاتة. بعد كده هنلاقي في البسط بتاع المقدار، أ أُس أربعة الكل أُس تلاتة. يعني عبارة عن قوة مرفوعة لأُس. وكمان هنلاقي في المقام ب تربيع الكل أُس تلاتة. يعني قوة مرفوعة لأُس. وبالتالي هنستخدم خاصية قوة القوى.

فيبقى عندنا المقدار بيساوي سالب اتنين أُس تلاتة، اللي هو بسالب تمنية. أ أُس أربعة الكل أُس تلاتة، هيبقى عبارة عن أ أُس، أربعة في تلاتة؛ يعني أ أُس اتناشر. ب أُس اتنين الكل أُس تلاتة، هيبقى عبارة عن ب أُس، اتنين في تلاتة؛ يعني ب أُس ستة. وبكده يبقى إحنا كتبنا المقدار اللي عندنا، في أبسط صورة.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا إيه هي وحيدة الحدّ. وكمان عرفنا إنها بتكون موجودة في أبسط صورة، لمّا ما يكونش فيها قوى قوة. ولمّا كل أساس يظهر مرة واحدة بس. ولمّا كل الكسور اللي موجودة تكون في أبسط صورة. ولماّ يبقى ما فيش أقواس أو أُسُس سالبة. وكمان عرفنا خصائص الأُسُس، اللي بتساعدنا في ضرب وقسمة وحيدات الحدّ.