فيديو السؤال: إيجاد معكوس مصفوفة مثلثية عليا الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

لدينا المصفوفة: ﺃ تساوي اثنين، واحدًا، أربعة، صفرًا، خمسة، ثلاثة، صفرًا، صفرًا، ١٠. أوجد معكوس هذه المصفوفة، علمًا بأن له الصيغة الآتية: معكوس المصفوفة ﺃ يساوي ﺱ، ‏ﻝ، ‏ﻡ، صفرًا، ﺹ، ‏ﺭ، صفرًا، صفرًا، ﻉ، وأن ﺱ، و‏ﺹ، و‏ﻉ، و‏ﻝ، و‏‏ﻡ، و‏ﺭ أعداد عليك إيجادها.

حسنًا، أول ما سنفعله هنا هو إفراغ بعض المساحة لنتمكن من الحل. حسنًا، لقد أفرغنا الآن بعض المساحة. كيف سنوجد معكوس المصفوفة؟ لإيجاد ذلك، سنتبع عددًا من الخطوات. الخطوة الأولى هي إيجاد مصفوفة محددات المصفوفات الصغرى، والخطوة الثانية هي إيجاد مصفوفة العوامل المرافقة، والخطوة الثالثة هي إيجاد المصفوفة الملحقة، وأخيرًا الخطوة الرابعة هي الضرب في واحد على محدد المصفوفة. حسنًا، هذا رائع! لدينا إذن طريقة مكونة من أربع خطوات، دعونا نمض قدمًا ونبدأ بالخطوة الأولى.

لدينا هنا مصفوفة محددات المصفوفات الصغرى ﺃﻡ. دعونا الآن نسترجع كيف أوجدنا محددات المصفوفات الصغرى لكل عنصر. حسنًا، لإيجاد محدد مصفوفة صغرى، علينا النظر إلى العنصر الأول، أي العنصر الأول في أول عمود وأول صف من المصفوفة، ثم نحذف القيم أو العناصر الموجودة في العمود والصف اللذين يوجد فيهما هذا العنصر. ثم ننظر إلى الأعداد الأربعة المتبقية لأنها مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة، وهي هنا خمسة، وثلاثة، وصفر، و١٠. إذن، محدد المصفوفة الصغرى هو محدد هذه المصفوفة الفرعية التي رتبتها اثنان في اثنين. استخدمنا هذه الطريقة لإكمال مصفوفة محددات المصفوفات الصغرى.

حسنًا، هذا رائع! علينا الآن إيجاد قيمة كل عنصر من هذه العناصر. لنسترجع سويًّا كيفية إيجاد قيمة محدد مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، دعونا نلق نظرة على هذا المثال البسيط. محدد المصفوفة ﺃ، ‏ﺏ، ‏ﺟ، ‏ﺩ التي رتبتها اثنان في اثنين سيساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. إذن، ما نفعله هو الضرب قطريًّا ثم الطرح. على سبيل المثال، بالنسبة إلى العنصر الأول، لدينا خمسة مضروبًا في ١٠ ناقص ثلاثة مضروبًا في صفر، وهو ما يساوي ٥٠.

سنكرر الأمر مع العنصر التالي كمثال آخر. بالنسبة إلى العنصر التالي، سيكون لدينا صفر مضروبًا في ١٠ ناقص ثلاثة مضروبًا في صفر، وهو ما يساوي صفرًا. إذن، هذا هو العنصر التالي. ونستمر في استخدام هذه الطريقة للحصول على بقية العناصر. وعندما ننتهي من ذلك، يصبح لدينا ٥٠، صفر، صفر، ١٠، ٢٠، صفر، سالب ١٧، ستة، ١٠. وهذه هي مصفوفة محددات المصفوفات الصغرى، وبذلك نكون قد أكملنا الخطوة الأولى. ننتقل الآن إلى الخطوة الثانية، وهي إيجاد مصفوفة العوامل المرافقة.

هذه الخطوة في الواقع هي عملية مباشرة للغاية؛ لأن كل ما علينا فعله هو إضافة بعض الإشارات إلى مصفوفة محددات المصفوفات الصغرى. ونفعل ذلك باستخدام قاعدة الإشارة التي تنص على أن الإشارات التي نحتاج إليها ستكون موجبة، سالبة، موجبة؛ سالبة، موجبة، سالبة؛ موجبة، سالبة، موجبة. إذن إذا وضعناها هنا، فستكون موجبة، سالبة، موجبة؛ سالبة، موجبة، سالبة؛ موجبة، سالبة، موجبة. ويصبح لدينا بذلك مصفوفة العوامل المرافقة، وهي المصفوفة ٥٠، صفر، صفر، سالب ١٠، ٢٠، صفر، سالب ١٧، سالب ستة، ١٠. بذلك نكون أكملنا الخطوة الثانية. ويمكننا الانتقال إلى الخطوة الثالثة.

في الخطوة الثالثة، ما علينا فعله هو إيجاد المصفوفة الملحقة. لفعل ذلك، نلقي نظرة على مصفوفة العوامل المرافقة، وننظر إلى القطر الذي يمتد من أعلى اليمين إلى أسفل اليسار، ونحتفظ به كما هو. ثم نبدل العناصر الأخرى حول هذا القطر. وعندما نفعل ذلك، تكون لدينا المصفوفة ٥٠، سالب ١٠، سالب ١٧، صفر، ٢٠، سالب ستة، صفر، صفر، ١٠. وبذلك نكون قد بدلنا المواضع. حسنًا، هذا رائع! اكتملت الخطوة الثالثة.

الآن في الخطوة الرابعة، ما علينا فعله هو الضرب في واحد على المحدد. حسنًا، علينا أولًا إيجاد محدد المصفوفة. قد تظن أن هذه عملية طويلة جدًّا، لكنها ليست كذلك في الواقع. فهي سهلة جدًّا لأننا أوجدنا بالفعل محددات المصفوفات الصغرى لكل عنصر من عناصر المصفوفة. لكن ما فائدة ذلك؟

حسنًا، دعونا نسترجع سويًّا كيفية إيجاد محدد مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة، وسأفرغ سريعًا بعضًا من المساحة أسفل اليسار هنا لفعل ذلك. إذا كان لدينا المصفوفة ﺃ، ‏ﺏ، ‏ﺟ، ‏ﺩ، ‏ﻫ، ‏ﻭ، ‏ﺯ، ‏ﺣ، ‏ﻁ، فإن محدد هذه المصفوفة يساوي ﺃ مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى، وهو ﻫ، ‏ﻭ، ‏ﺣ، ‏‏ﻁ، أو محدد المصفوفة الفرعية التي رتبتها اثنان في اثنين ﻫ، ‏ﻭ، ‏ﺣ، ‏ﻁ ناقص ﺏ مضروبًا في المحدد ﺩ، ‏ﻭ، ‏ﺯ، ‏ﻁ زائد ﺟ مضروبًا في المحدد ﺩ، ‏ﻫ، ‏ﺯ، ‏ﺣ.

بما أن لدينا بالفعل قيمة محددات المصفوفات الصغرى أو محددات المصفوفات الفرعية من الرتبة اثنان في اثنين، فإن كل ما علينا فعله هو ضرب هذا العدد في ﺃ وﺏ وﺟ. إذن، ما سنحصل عليه هو المحدد ﺃ يساوي اثنين مضروبًا في ٥٠، وحصلنا على ذلك لأن اثنين هو العنصر الأول في المصفوفة ﺃ، و٥٠ هو العنصر الأول في مصفوفة محددات المصفوفات الصغرى، ناقص واحد مضروبًا في صفر زائد أربعة مضروبًا في صفر. هذا سيعطينا العدد ١٠٠، وهذا رائع. بذلك، نعرف الآن أن محدد المصفوفة ﺃ يساوي ١٠٠.

بالنسبة إلى الخطوة الرابعة، علينا ضرب المصفوفة الملحقة في واحد على هذا العدد. ومن ثم، نعلم أن معكوس المصفوفة يساوي واحدًا على ١٠٠ مضروبًا في المصفوفة ٥٠، سالب ١٠، سالب ١٧، صفر، ٢٠، سالب ستة، صفر، صفر، ١٠. وعندما نفعل ذلك، سنحصل على المصفوفة نصف، سالب واحد على ١٠، سالب ١٧ على ١٠٠، صفر، خمس، سالب ثلاثة على ٥٠، صفر، صفر، واحد على ١٠. وهذا هو معكوس المصفوفة: اثنان، واحد، أربعة، صفر، خمسة، ثلاثة، صفر، صفر، ١٠، حيث قيم ﺱ، ‏ﻝ، ‏ﻡ، ‏ﺹ، ‏ﺭ، ‏ﻉ هي نصف، سالب عشر، سالب ١٧ على ١٠٠، خمس، سالب ثلاثة على ٥٠، واحد على ١٠، على الترتيب.