فيديو السؤال: إيجاد حجم المجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالقطع المكافئ حول المحور ﺱ الرياضيات

أوجد حجم المجسم الناشئ من دوران المنطقة المحدودة بالمنحنى ﺹﺱ^٢ + ٢ﺱ، والمحور ﺱ دورة كاملة حول المحور ﺱ.

٠٥:١٨

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد حجم المجسم الناشئ من دوران المنطقة المحدودة بالمنحنى ﺹ يساوي سالب ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ، والمحور ﺱ دورة كاملة حول المحور ﺱ.

نتذكر أن الصيغة التي نستخدمها لإيجاد حجم مجسم ناشئ عن دوران منطقة ما حول المحور ﺱ هي التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ ﻡﺱ بالنسبة إلى ﺱ، حيث ﻡﺱ هي دالة تصف مساحة المقطع العرضي للحجم عند نقطة معينة. أحيانًا، نستخدم صيغة أبسط وهي التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ 𝜋 في ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺱ، حيث ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ هما الخطان الرأسيان اللذان يحددان المنطقة. وهذه هي الصيغة التي سنطبقها في هذا السؤال.

الآن، لمعرفة ما يحدث، دعونا نبدأ برسم المنحنى ﺹ يساوي سالب ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ. لإيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺱ، سنساوي ﺹ بصفر وسنحل لإيجاد قيمة ﺱ. إذن، سالب ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ يساوي صفرًا. هيا نأخذ ﺱ عاملًا مشتركًا بحيث يكون ﺱ في سالب ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا. والآن، بالطبع لا يمكن أن تصح هذه العبارة إلا إذا كان ﺱ يساوي صفرًا أو سالب ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا. وإذا حللنا المعادلة الثانية بإضافة ﺱ إلى كلا الطرفين، فسنجد أن ﺱ يساوي اثنين. إذن، هذان هما جذرا المعادلة. وهما القيمتان اللتان يقطع فيهما المنحنى المحور ﺱ.

المعادلة نفسها هي معادلة تربيعية بها معامل ﺱ تربيع سالب. هذا يعني أن المنحنى يبدو مثل قطع مكافئ مقلوب، كما هو موضح. وسنقوم بتدوير هذه المنطقة ٣٦٠ درجة حول المحور ﺱ. وبما أن هذه المنطقة محصورة بين الخطين الرأسيين ﺱ يساوي صفرًا وﺱ يساوي اثنين، يمكننا القول إن ﺃ نفسه لا بد أن يساوي صفرًا وﺏ لا بد أن يساوي اثنين. ومن ثم، فإن الحجم هو التكامل المحدد بين صفر واثنين لـ 𝜋 في ﺹ تربيع. والآن، ﺹ هو المعادلة سالب ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ. يمكننا إخراج الثابت 𝜋 خارج التكامل. وبعد ذلك، أفضل طريقة لإيجاد تكامل ذلك هي توزيع الأقواس. عندما نفعل ذلك، نجد أن الدالة التي يجرى عليها التكامل ستصبح ﺱ أس أربعة ناقص أربعة ﺱ تكعيب زائد أربعة ﺱ تربيع. هيا إذن لنجري عملية التكامل.

نعلم أنه لإيجاد تكامل حد من كثيرة حدود أسه لا يساوي سالب واحد، نضيف واحدًا إلى الأس ثم نقسم على قيمة الأس الجديدة. هذا يعني أن تكامل ﺱ أس أربعة هو ﺱ أس خمسة مقسومًا على خمسة. وعندما نوجد تكامل سالب أربعة ﺱ تكعيب، نحصل على سالب أربعة ﺱ أس أربعة مقسومًا على أربعة. وهو ما يبسط إلى سالب ﺱ أس أربعة. وتكامل أربعة ﺱ تربيع يساوي أربعة ﺱ تكعيب على ثلاثة. الآن، علينا حساب قيمة ذلك بين الحدين صفر واثنين. وبذلك، نحصل على 𝜋 في اثنين أس خمسة على خمسة ناقص اثنين أس أربعة زائد أربعة في اثنين تكعيب على ثلاثة الكل ناقص صفر.

وبذلك يصبح لدينا 𝜋 في ٣٢ على خمسة ناقص ١٦ زائد ٣٢ على ثلاثة. وبعد ذلك، سنوجد مقامًا مشتركًا وهو ١٥. لفعل ذلك، نضرب ٣٢ على خمسة في ثلاثة على ثلاثة. نكتب سالب ١٦ على صورة سالب ١٦ على واحد، ثم نضرب في ١٥. ونضرب ٣٢ على ثلاثة في خمسة على خمسة. ذلك يساوي 𝜋 في ٩٦ على ١٥ ناقص ٢٤٠ على ١٥ زائد ١٦٠ على ١٥. وهو ما يبسط بالكامل إلى ١٦‏𝜋‏ على ١٥. يمكننا القول إذن إن حجم المجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنى ﺹ يساوي سالب ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ، والمحور ﺱ٣٦٠ درجة حول المحور ﺱ يساوي ١٦‏𝜋‏ على ١٥ وحدة مكعبة.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.