نسخة الفيديو النصية
أوجد مجموعة القيم التي تحقق المعادلة خمسة جتا تربيع 𝜃 يساوي أربعة؛ حيث صفر درجة أقل من أو يساوي 𝜃 التي هي أقل من ٣٦٠ درجة. قرب إجابتك لأقرب دقيقة.
يطلب منا السؤال حل المعادلة المثلثية خمسة جتا تربيع 𝜃 يساوي أربعة لإيجاد قيمة 𝜃؛ حيث 𝜃 أكبر من أو تساوي صفرًا وأقل من ٣٦٠ درجة. حسنًا، من أين يمكننا أن نبدأ؟ سنبدأ بحل المعادلة مثل أي معادلة أخرى. نقسم كلا الطرفين على خمسة؛ ليصبح لدينا جتا تربيع 𝜃 يساوي أربعة أخماس، أو ٠٫٨. بعد ذلك، نأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة، وهنا علينا أن نتذكر أخذ القيمتين الموجبة والسالبة للجذر التربيعي لأربعة أخماس. يمكن كتابة الجذر التربيعي لأربعة أخماس على الصورة اثنان في جذر خمسة على خمسة. إذن، يصبح لدينا معادلتان علينا حلهما، وهما جتا 𝜃 يساوي اثنين في جذر خمسة على خمسة أو سالب اثنين في جذر خمسة على خمسة.
يمكننا الحل لإيجاد قيمة 𝜃 بأخذ الدالة العكسية لجيب التمام لطرفي المعادلة. عندما نأخذ الدالة العكسية لـ جتا اثنين في جذر خمسة على خمسة، مع التأكد من ضبط الآلة الحاسبة على وضع الدرجات، نحصل على ٢٦٫٥٦٥٠ مع توالي الأرقام. والدالة العكسية لـ جتا سالب اثنين في جذر خمسة على خمسة تساوي ١٥٣٫٤٣٤٩ مع توالي الأرقام. سنترك هاتين القيمتين الآن دون تقريب؛ لأننا لم ننته بعد من الحل. فنحن نريد إيجاد مجموعة قيم 𝜃 الأكبر من أو تساوي صفرًا والأقل من ٣٦٠ درجة. وهناك طريقتان لإيجاد الحلول الأخرى.
الطريقة الأولى هي التفكير في شكل المنحنى ﺹ يساوي جتا ﺱ. في الفترة 𝜃 أكبر من أو تساوي صفرًا إلى 𝜃 أقل من ٣٦٠، سيبدو المنحنى بهذا الشكل تقريبًا، وتكون القيم العظمى عند واحد والقيم الصغرى عند سالب واحد. المستقيم ﺹ يساوي اثنين في جذر خمسة على خمسة سيبدو هكذا تقريبًا. ونعلم أن له حلًّا واحدًا عند ٢٦٫٥ مع توالي الأرقام بالدرجات. حسنًا، نلاحظ أن التمثيل البياني له انعكاس أو تماثل حول المستقيم ﺱ يساوي ١٨٠ درجة، ومن ثم نجد قيمة 𝜃 الأخرى عن طريق طرح ٢٦٫٥ مع توالي الأرقام من ٣٦٠ درجة. ويعطينا هذا ٣٣٣٫٤٣٤٩ مع توالي الأرقام.
وبالمثل، إذا رسمنا المستقيم ﺹ يساوي سالب اثنين في جذر خمسة على خمسة، فسيبدو بهذا الشكل تقريبًا. هذه المرة، نجد حلًّا عند ١٥٣٫٤ درجة مع توالي الأرقام. لإيجاد الحل الرابع، نطرح هذا من ٣٦٠. وهو ما يعطينا ٢٠٦٫٥٦٥٠ مع توالي الأرقام. والآن، نريد تقريب الإجابات لأقرب دقيقة. يمكننا ضرب الجزء العشري في ٦٠ لتحقيق ذلك. أو بدلًا من ذلك، يوجد زر في معظم الآلات الحاسبة نستخدمه للتقريب. ويكون بهذا الشكل تقريبًا. عندما نضغط على هذا الزر لتقريب القيمة الأولى، نحصل على ٢٦ درجة و٣٤ دقيقة لأقرب دقيقة. ونحصل على ١٥٣ درجة و٢٦ دقيقة للحل التالي. والحلان الآخران هما ٢٠٦ درجات و٣٤ دقيقة، و٣٣٣ درجة و٢٦ دقيقة. وبذلك يصبح لدينا مجموعة القيم التي تحقق الحل.
هناك طريقة أخرى كان بإمكاننا استخدامها لإيجاد هذه القيم، وهي استخدام مخطط إشارات الدوال المثلثية. يبدو مخطط إشارات الدوال المثلثية بهذا الشكل. وهو مخطط يوضح لنا متى تكون قيم الدوال المثلثية؛ جتا 𝜃 وجا 𝜃 وظا 𝜃 موجبة في الأرباع الأربعة. الحل الأول لـ جتا 𝜃 يساوي اثنين في جذر خمسة على خمسة هو ٢٦٫٥٦ مع توالي الأرقام بالدرجات. الحل الآخر سيقع هنا في الربع الرابع؛ حيث تكون قيمة جتا 𝜃 موجبة. يمكننا إيجاد قيمة 𝜃 هذه عن طريق طرح ٢٦٫٥٦ من ٣٦٠. وهذا يعطينا ٣٣٣ درجة و٢٦ دقيقة، لأقرب دقيقة. الحل الثاني كان 𝜃 تساوي ١٥٣٫٤٣ مع توالي الأرقام. وتكون قيمة جتا 𝜃 سالبة في هذا الربع الثالث، لذا سنطرح ١٥٣٫٤٣ مع توالي الأرقام من ٣٦٠ درجة. ومرة أخرى، نحصل على ٢٠٦ درجات و٣٤ دقيقة، لأقرب دقيقة.
