نسخة الفيديو النصية
أي المقادير الآتية يكافئ لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ يساوي ﺹ؟ الخيار (أ) لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ يساوي ﺱ. الخيار (ب) ﺃ أس ﺱ يساوي ﺹ. الخيار (ج) ﺃ أس ﺹ يساوي ﺱ. الخيار (د) ﺹ يساوي ﺃ في ﺱ.
في هذا السؤال، مطلوب منا تحديد أي من الخيارات الأربعة المعطاة يكافئ العبارة: لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ يساوي ﺹ. وللإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه باللوغاريتم. تعرف الدوال اللوغاريتمية بأنها معكوس الدوال الأسية. على وجه التحديد، إذا كان لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ يساوي ﺹ، فإننا نعرف أن ﺃ أس ﺹ يساوي ﺱ.
ولمساعدتنا في معرفة العلاقة بين هاتين العبارتين، دعونا نحسب اللوغاريتم لكلا طرفي المعادلة الثانية. هذا يعطينا لوغاريتم ﺃ أس ﺹ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ. وسنستخدم الآن حقيقة أن الدالة الأسية لأساس ما والدالة اللوغاريتمية لنفس الأساس كلتاهما معكوس للآخر. بعبارة أخرى، لوغاريتم ﺃ أس ﺹ للأساس ﺃ لا بد أن يساوي ﺹ. إنها الدالة المحايدة. إذن، تبسط هذه المعادلة لتصبح لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ يساوي ﺹ. ويمكننا ملاحظة أن هذا يكافئ الإجابة المعطاة في الخيار (ج). ﺃ أس ﺹ يساوي ﺱ.
يمكننا التوقف هنا. ولكن، لمزيد من التأكد، دعونا نتحقق مما إذا كانت الخيارات الثلاثة الأخرى تكافئ العبارة لدينا. وسنفعل ذلك بمثال. تذكر أنه لأي أساس ﺏ، حيث ﺏ عدد موجب لا يساوي واحدًا، فإن لوغاريتم ﺏ للأساس ﺏ يساوي واحدًا. وهذا يخبرنا تحديدًا أن لوغاريتم اثنين للأساس اثنين يساوي واحدًا. وهذا مقدار لوغاريتمي على الصورة لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ يساوي ﺹ. إذن، قيمة ﺃ تساوي اثنين، وقيمة ﺱ تساوي اثنين، وقيمة ﺹ تساوي واحدًا. يمكننا بعد ذلك التفكير فيما إذا كانت الخيارات الثلاثة الأخرى المعطاة لنا في السؤال تحققها قيم ﺃ وﺱ وﺹ هذه.
سنبدأ بالخيار (أ). الطرف الأيمن بهذه المعادلة هو لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ. قيمة ﺃ تساوي اثنين، وقيمة ﺹ تساوي واحدًا. إذن، الطرف الأيمن لهذه المعادلة هو لوغاريتم واحد للأساس اثنين. ويمكننا إيجاد قيمة هذا المقدار. لأي عدد حقيقي موجب ﺏ لا يساوي واحدًا، يكون لوغاريتم واحد للأساس ﺏ يساوي صفرًا. ومن ثم، فإن لوغاريتم واحد للأساس اثنين يساوي صفرًا. لكن الخيار (أ) يوضح أن هذا يساوي ﺱ، الذي قيمته اثنان. إذن، الخيار (أ) لا يمكن أن يكون صحيحًا.
يمكننا بعد ذلك فعل الأمر نفسه مع الخيار (ب). الطرف الأيمن لهذه المعادلة هو ﺃ أس ﺱ. قيمة ﺃ تساوي اثنين، وقيمة ﺱ تساوي اثنين. لذا يعطينا هذا اثنين تربيع، وهو ما يمكننا حسابه لنجد أنه يساوي أربعة. لكن الطرف الأيسر لهذه المعادلة هو ﺹ، الذي يساوي واحدًا وليس أربعة. وعليه، يكون الخيار (ب) غير صحيح أيضًا.
وأخيرًا، يمكننا فعل الأمر نفسه مع الخيار (د). الطرف الأيسر لهذه المعادلة هو ﺃ في ﺱ. قيمة ﺃ هي اثنان، وقيمة ﺱ تساوي اثنين. إذن الطرف الأيسر بهذه المعادلة هو اثنان في اثنين، وهو ما يساوي أربعة. لكن الطرف الأيمن بهذه المعادلة هو ﺹ، الذي يساوي واحدًا. ومن ثم، نجد أن الخيار (د) أيضًا غير صحيح.
إذن، من بين المقادير الأربعة المعطاة، نجد أن الخيار (ج) فقط، ﺃ أس ﺹ يساوي ﺱ، هو الذي يكافئ العبارة: لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ يساوي ﺹ.
