نسخة الفيديو النصية
إذا كانت دالة التغير للدالة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ عند ﺱ يساوي ﺩ هي الدالة ﺕﻫ تساوي ﺃﻫ تربيع زائد ﺏﻫ، فما قيمة ﺩ؟
في هذا السؤال، لدينا دالة تربيعية، ﺩﺱ، وهي تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ. ونعلم أنه عند ﺱ يساوي ﺩ، فإن دالة التغير لهذه الدالة التربيعية ﺩﺱ تكون الدالة ﺕﻫ تساوي ﺃﻫ تربيع زائد ﺏﻫ، حيث ﺃ، وﺏ ثابتان مجهولان. حسنًا علينا استخدام هذه المعلومات لإيجاد قيمة ﺩ.
لفعل ذلك دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بدالة التغير للدالة ﺩﺱ عند ﺱ يساوي ﺩ. إننا نعلم أنها الدالة ﺕﻫ، التي تساوي ﺩ عند ﺩ زائد ﻫ ناقص ﺩ عند ﺩ. بعبارة أخرى، تقيس هذه الدالة مدى تغير الدالة ﺩ عندما تتغير قيمها المدخلة من ﺩ إلى ﺩ زائد ﻫ. ونحن لدينا في هذا السؤال تعبير لدالة التغير ﺕﻫ. وهو ﺃﻫ تربيع زائد ﺏﻫ.
يمكننا التعويض بهذا التعبير في الطرف الأيمن من المعادلة. ويمكننا أيضًا إيجاد تعبير للمقدار في الطرف الأيسر من هذه المعادلة؛ حيث لدينا الدالة ﺩﺱ. وهي تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ. إذن يمكننا التعويض عن ﺱ بـ ﺩ زائد ﻫ، والتعويض عن ﺱ بـ ﺩ في هذه الدالة لإيجاد تعبير للمقدار في الطرف الأيسر من هذه المعادلة. إذا عوضنا أولًا عن ﺱ بـ ﺩ زائد ﻫ في الدالة ﺩﺱ، فسنحصل على ﺃ في ﺩ زائد ﻫ الكل تربيع زائد ﺏ مضروبًا في ﺩ زائد ﻫ. بعد ذلك علينا طرح ﺩ عند ﺩ، وهو ما يمكننا إيجاده بالتعويض عن ﺱ بـ ﺩ في الدالة ﺩﺱ. نطرح ﺃﺩ تربيع زائد ﺏﺩ. ومن ثم نحصل على معادلة بدلالة ﺃ، ﻫ، ﺏ، ﺩ.
دعونا الآن نعد ترتيب هذه المعادلة. يمكننا أن نبدأ بتوزيع الأس على ما بين القوسين. ولفعل ذلك نستخدم صيغة نظرية ذات الحدين أو نضرب ما بين أول قوسين، ﺩ زائد ﻫ، في ما بين ثاني قوسين، ﺩ زائد ﻫ. ومن ثم نحصل على ﺩ تربيع زائد اثنين ﺩﻫ زائد ﻫ تربيع. علينا بعد ذلك ضرب هذا المقدار في ﺃ. يمكننا أيضًا توزيع السالب على الحدين في نهاية هذا التعبير. هذا يعطينا ﺃﻫ تربيع زائد ﺏﻫ يساوي ﺃ في ﺩ تربيع زائد اثنين ﺩﻫ زائد ﻫ تربيع زائد ﺏ في ﺩ زائد ﻫ ناقص ﺃﺩ تربيع ناقص ﺏﺩ.
يمكننا تبسيط الطرف الأيسر أكثر بضرب العامل ﺃ والعامل ﺏ في ما بين الأقواس. وبذلك نحصل على المعادلة الآتية التي يمكننا تبسيطها. لدينا ﺃﺩ تربيع ناقص ﺃﺩ تربيع، وهو ما يساوي صفرًا. ولدينا أيضًا ﺏ في ﺩ ناقص ﺏ في ﺩ، وهو ما يساوي صفرًا. نلاحظ أيضًا أن لدينا كلًّا من ﺃﻫ تربيع وﺏ في ﻫ في كلا طرفي المعادلة الأيمن والأيسر. إذن يمكننا طرح كل من ﺃﻫ تربيع وﺏ في ﻫ من كلا طرفي المعادلة. وهذا يعطينا صفرًا يساوي اثنين في ﺃ في ﺩ مضروبًا في ﻫ.
لكي تكون هذه المعادلة صحيحة، لا بد أن يساوي أحد المجاهيل صفرًا. وجدير بالذكر أن هذا المجهول لا يمكن أن يكون ﻫ؛ لأن ﻫ متغير. ويمكن أن يأخذ أي قيمة في دالة التغير. وﺃ هو بارامتر في المعادلة الأصلية؛ ومن ثم لا يساوي صفرًا. وإذا كان يساوي صفرًا، فلن تكون الدالة الأصلية تربيعية. ومن ثم فإن الطريقة الوحيدة التي تجعل هذه المعادلة صحيحة لجميع قيم ﻫ هي أن يكون ﺩ مساويًا لصفر. إذن، لقد تمكنا من توضيح أنه إذا كانت دالة التغير للدالة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ عند ﺱ يساوي ﺩ هي الدالة ﺕﻫ تساوي ﺃﻫ تربيع زائد ﺏﻫ، فإن قيمة ﺩ يجب أن تكون صفرًا.
