فيديو الدرس: مضروب العدد الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مضروب أي عدد ﻥ، الذي يعبر عن حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة الأقل من أو تساوي ﻥ والأكبر من أو تساوي واحدًا، وكيف نوجد المضروب لحل المسائل.

١٥:٣١

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مضروب أي عدد ﻥ، الذي يعبر عن حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة الأقل من أو تساوي ﻥ والأكبر من أو تساوي واحدًا. سنتعلم أيضًا كيف نوجد المضروب لحل المسائل، وسنحل المسائل التي تحتوي على تباديل ومضروبات. هيا نبدأ بإلقاء نظرة على التعريف الجبري المكتوب للمضروب.

مضروب أي عدد صحيح موجب ﻥ هو حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من أو تساوي ﻥ. نستخدم الرمز ﻥ متبوعًا بهذه العلامة، ونقرأه مضروب ﻥ. مضروب ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﻥ ناقص اثنين، وهكذا، مضروبًا في اثنين مضروبًا في واحد. يعرف أيضًا مضروب صفر بأنه يساوي واحدًا، ونكتبه هكذا. نعلم كذلك أنه فيما يخص أي عدد صحيح ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا، مضروب ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في مضروب ﻥ ناقص واحد. ويمكننا أن نلاحظ ذلك من القاعدة العامة لمضروب ﻥ أعلاه. ستكون هذه الخاصية مفيدة جدًا عند حل المسائل الأكثر تعقيدًا في هذا الفيديو. لكننا سنبدأ الآن بحل مسألة سهلة.

احسب مضروب أربعة.

نتذكر هنا أن مضروب أي عدد صحيح موجب ﻥ هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من أو تساوي ﻥ. هذا يعني أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﻥ ناقص اثنين، وهكذا حتى واحد. وبناء عليه، مضروب أربعة يساوي أربعة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في اثنين مضروبًا في واحد. أربعة مضروبًا في ثلاثة يساوي ١٢. وعندما نضرب هذه القيمة في اثنين نحصل على ٢٤، وعندما نضرب ٢٤ في واحد نحصل على ٢٤ أيضًا. يمكننا ضرب الأعداد الصحيحة أربعة وثلاثة واثنين وواحد بأي ترتيب، وسنحصل على ٢٤. إذن، مضروب أربعة يساوي ٢٤.

في السؤال التالي، سنحل مسألة أكثر تعقيدًا.

بسط المقدار مضروب ستة على مضروب أربعة ناقص مضروب ٢٧ على مضروب ٢٨. اكتب إجابتك على صورة كسر.

نتذكر هنا أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﻥ ناقص اثنين، وهكذا حتى واحد. هذا يعني أنه يمكننا حساب مضروب ستة بضرب ستة في خمسة في أربعة في ثلاثة في اثنين في واحد. وعلى الرغم من أن فعل ذلك ليس صعبًا بالنسبة للكسر الأول، فإن إيجاد مضروب ٢٧ ومضروب ٢٨ بهذه الطريقة سيستغرق وقتًا طويلًا. لذا، يمكننا تذكر قاعدة أخرى لحساب مضروب ﻥ. وهي تنص على أنه يساوي ﻥ مضروبًا في مضروب ﻥ ناقص واحد. يمكننا أن نلاحظ أيضًا أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد مضروبًا في مضروب ﻥ ناقص اثنين. يسمح لنا ذلك بإعادة كتابة مضروب ستة على صورة ستة مضروبًا في خمسة مضروبًا في مضروب أربعة.

يمكن تبسيط الحد الأول في المسألة إلى ستة مضروبًا في خمسة مضروبًا في مضروب أربعة، الكل مقسوم على مضروب أربعة. يحذف مضروبا أربعة معًا، ويتبقى لدينا ستة مضروبًا في خمسة. وهو ما يساوي ٣٠. يمكننا استخدام هذه الطريقة مرة أخرى مع الكسر الثاني؛ إذ إن مضروب ٢٨ يساوي ٢٨ في مضروب ٢٧. وهذه المرة، سيحذف مضروبا ٢٧ معًا، ويتبقى لدينا واحد على ٢٨. علينا الآن طرح واحد على ٢٨ من ٣٠. وهذا يساوي العدد الكسري ٢٩ و٢٧ على ٢٨.

لكي نكتب الحل على صورة كسر، علينا تحويله إلى كسر غير فعلي أو كسر بسطه أكبر من مقامه. نفعل ذلك أولًا بضرب العدد الكلي ٢٩ في المقام، وهو ٢٨. وهذا يساوي ٨١٢. نضيف البسط ٢٧ إلى ذلك، فنحصل على ٨٣٩. ومن ثم، فإن المقدار مضروب ستة على مضروب أربعة ناقص مضروب ٢٧ على مضروب ٢٨ يساوي الكسر ٨٣٩ على ٢٨.

في السؤال التالي، سنستخدم معرفتنا بالمضروبات لحل معادلة جبرية.

أوجد مجموعة حل واحد على مضروب ﻥ زائد سبعة زائد واحد على مضروب ﻥ زائد ثمانية يساوي ٢٥٦ على مضروب ﻥ زائد تسعة.

يوجد العديد من الطرق لبدء الإجابة عن هذا السؤال. إحدى هذه الطرق هي ضرب طرفي المعادلة في مضروب ﻥ زائد تسعة. بضرب الحد الأول في مضروب ﻥ زائد تسعة، نحصل على مضروب ﻥ زائد تسعة على مضروب ﻥ زائد سبعة. والحد الثاني في الطرف الأيسر يصبح مضروب ﻥ زائد تسعة على مضروب ﻥ زائد ثمانية. وبما أن مضروب ﻥ زائد تسعة مقسومًا على مضروب ﻥ زائد تسعة يساوي واحدًا، فإن الطرف الأيمن سيصبح ٢٥٦.

نتذكر أن مضروب ﺭ يساوي ﺭ مضروبًا في مضروب ﺭ ناقص واحد. هذا يعني أن مضروب ﻥ زائد تسعة يمكن إعادة كتابته على صورة ﻥ زائد تسعة مضروبًا في مضروب ﻥ زائد ثمانية، أو ﻥ زائد تسعة مضروبًا في ﻥ زائد ثمانية مضروبًا في مضروب ﻥ زائد سبعة. وعليه، يبسط الحد الأول إلى ﻥ زائد تسعة مضروبًا في ﻥ زائد ثمانية. ويبسط الحد الثاني إلى ﻥ زائد تسعة. ‏‏ﻥ زائد تسعة مضروبًا في ﻥ زائد ثمانية زائد ﻥ زائد تسعة يساوي ٢٥٦.

يمكننا توزيع الأقواس أو فكها باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. بضرب الحدين الأولين نحصل على ﻥ تربيع، بينما يكون حاصل ضرب الطرفين هو ثمانية ﻥ، والوسطين هو تسعة ﻥ، والحدين الأخيرين هو ٧٢. لدينا الآن المعادلة ﻥ تربيع زائد ثمانية ﻥ زائد تسعة ﻥ زائد ٧٢ زائد ﻥ زائد تسعة يساوي ٢٥٦. بتجميع الحدود المتشابهة، يبسط الطرف الأيمن إلى ﻥ تربيع زائد ١٨ﻥ زائد ٨١. يمكننا بعد ذلك طرح ٢٥٦ من طرفي المعادلة، بحيث يكون ﻥ تربيع زائد ١٨ﻥ ناقص ١٧٥ يساوي صفرًا.

يمكننا الآن تحليل هذا المقدار التربيعي إلى مجموعتين من الأقواس. الحد الأول في كل منها هو ﻥ، لأن ﻥ مضروبًا في ﻥ يساوي ﻥ تربيع. والحدان الثانيان مجموعهما ١٨، وحاصل ضربهما سالب ١٧٥. ‏‏٢٥ مضروبًا في سبعة يساوي ١٧٥. هذا يعني أن موجب ٢٥ مضروبًا في سالب سبعة يساوي سالب ١٧٥. مجموع العددين موجب ٢٥ وسالب سبعة يساوي ١٨ أيضًا. وبما أن هذا المقدار يساوي صفرًا، فلا بد أن أحد القوسين يساوي صفرًا. هذا يعني أنه إما ﻥ يساوي سالب ٢٥ وإما ﻥ يساوي سبعة. والمضروبات معرفة فقط للأعداد الصحيحة غير السالبة. هذا يعني أنه يمكننا تجاهل الحل ﻥ يساوي سالب ٢٥. إذن قيمة ﻥ التي تحقق المعادلة هي ﻥ يساوي سبعة. ومجموعة حل المعادلة تحتوي على العدد سبعة فقط.

يشمل سؤالنا الأخير تباديل ومضروبات. لكن قبل أن نبدأ فيه، دعونا نتذكر تعريف التباديل. التباديل هي إعادة ترتيب لمجموعة من العناصر. وتعرف بأنها الطرق التي يمكننا بها ترتيب عدد ﺭ من العناصر من داخل مجموعة مكونة من عدد ﻥ من العناصر دون تكرار. نكتبها على صورة ﻥ، ﻝ، ﺭ. وتقرأ ﻥﻝﺭ. وتعرف بمضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ. على سبيل المثال، تسعة ﻝ خمسة يساوي مضروب تسعة مقسومًا على مضروب تسعة ناقص خمسة. ويبسط ذلك إلى مضروب تسعة مقسومًا على مضروب أربعة.

باستخدام الخاصية التي تشير إلى أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في مضروب ﻥ ناقص واحد، نجد أن مضروب تسعة يساوي تسعة مضروبًا في ثمانية مضروبًا في سبعة مضروبًا في ستة مضروبًا في خمسة مضروبًا في مضروب أربعة. يحذف مضروبا أربعة، ويمكننا بعد ذلك ضرب الأعداد الخمسة الصحيحة تسعة وثمانية وسبعة وستة وخمسة، التي تعطينا ١٥١٢٠.

سنجيب الآن عن سؤال يتضمن تباديل ومضروبات.

إذا كان ﻥﻝﺭ يساوي ٥٠٤ ومضروب ﺭ يساوي ستة، فأوجد قيمة كل من ﻥ وﺭ.

نتذكر هنا أنه عند التعامل مع التباديل، ﻥﻝﺭ يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ﺭ. نعلم من المعطيات أيضًا أن مضروب ﺭ يساوي ستة. هذا مضروب يمكننا إيجاد قيمته بسهولة. فنعلم أن ثلاثة مضروبًا في اثنين مضروبًا في واحد يساوي ستة. وهذا يعني أن مضروب ثلاثة يساوي ستة. إذن، قيمة ﺭ هنا تساوي ثلاثة.

مذكور في المعطيات أن ﻥﻝﺭ يساوي ٥٠٤. وعليه نستنتج أن ﻥﻝ ثلاثة يساوي ٥٠٤. بالتعويض بـ ﺭ يساوي ثلاثة في الصغية العامة للتباديل، يصبح لدينا مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ثلاثة يساوي ٥٠٤. ويمكن إعادة كتابة مضروب ﻥ على صورة ﻥ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﻥ ناقص اثنين مضروبًا في مضروب ﻥ ناقص ثلاثة. وبقسمة ذلك على مضروب ﻥ ناقص ثلاثة، يتبقى لدينا ﻥ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﻥ ناقص اثنين. وهذا يساوي ٥٠٤. وبالتالي، فإننا نبحث عن ثلاثة أعداد صحيحة متتالية يكون حاصل ضربها ٥٠٤.

يمكننا محاولة إيجاد هذه القيم باستخدام طريقة التجربة والتحسين. لكن ثمة حيلة يمكننا استخدامها لإيجاد ثلاثة أعداد صحيحة متتالية يكون حاصل ضربها عددًا معينًا. نبدأ بإيجاد الجذر التكعيبي لهذا العدد. الجذر التكعيبي لـ ٥٠٤ هو ٧٫٩٥٨ وهكذا مع توالي الأرقام. لكن كيف يساعدنا ذلك؟ فهذا ليس عددًا صحيحًا. ما يمكننا فعله هو استخدام أحد العددين الصحيحين الموجودين في طرفي هذا العدد. في هذه الحالة، لدينا سبعة وثمانية. يمكننا الآن قسمة العدد، وهو ٥٠٤، على العددين الصحيحين. ‏‏٥٠٤ مقسومًا على سبعة يساوي ٧٢. إذن، سبعة مضروبًا في ٧٢ يساوي ٥٠٤. الآن، سنقسم ٧٢ على العدد الصحيح الثاني، وهو ثمانية. ‏‏٧٢ مقسومًا على ثمانية يساوي تسعة. إذن، ثمانية مضروبًا في تسعة يساوي ٧٢.

بذلك، نكون قد كتبنا ٥٠٤ على صورة حاصل ضرب ثلاثة أعداد صحيحة متتالية. هذه الأعداد الصحيحة هي سبعة وثمانية وتسعة، وهي تقابل ﻥ ناقص اثنين، وﻥ ناقص واحد، وﻥ، على التوالي. وعليه، فإن قيمة ﻥ هي تسعة. إذا كان ﻥﻝﺭ يساوي ٥٠٤ ومضروب ﺭ يساوي ستة، فإن ﺭ يساوي ثلاثة وﻥ يساوي تسعة. ثمة طرق مختلفة بعض الشيء كان بإمكاننا استخدامها لحساب ﺭ ثم حساب ﻥ. لنعد أولًا إلى المعلومة المعطاة لنا بأن مضروب ﺭ يساوي ستة.

عند محاولة إيجاد عدد صحيح مجهول بمعلومية مضروبه، يمكننا القسمة على أعداد صحيحة موجبة متتالية. هذا يعني أن نبدأ بقسمة العدد ستة على واحد. وهذا يساوي ستة. بعد ذلك، نقسم الناتج على العدد الصحيح الموجب التالي وهو اثنان. ستة مقسومًا على اثنين يساوي ثلاثة. ومن ثم، نقسم الناتج على العدد الصحيح الموجب التالي وهو ثلاثة، وثلاثة على ثلاثة يساوي واحدًا. بما أن ستة على واحد مقسومًا على اثنين مقسومًا على ثلاثة يساوي واحدًا، فإن ستة يساوي أيضًا ثلاثة مضروبًا في اثنين مضروبًا في واحد. بذلك، نكون قد أثبتنا مرة أخرى أن مضروب ثلاثة يساوي ستة. وبالتالي، فإن ﺭ يساوي ثلاثة.

في الخطوة التي وصلنا فيها إلى أن ﻥ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﻥ ناقص اثنين يساوي ٥٠٤، كان بإمكاننا استخدام معرفتنا بالعوامل الأولية لمحاولة إعادة ترتيب ذلك إلى أعداد صحيحة متتالية. ‏‏٥٠٤ يساوي اثنين مضروبًا في ٢٥٢. ‏‏٢٥٢ يساوي اثنين مضروبًا في ١٢٦. وبتكرار هذه العملية بالقسمة على الأعداد الأولية، يمكننا كتابة ٥٠٤ على صورة حاصل ضرب عوامله الأولية. ‏‏٥٠٤ يساوي اثنين مضروبًا في اثنين مضروبًا في اثنين مضروبًا في سبعة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في ثلاثة. ويمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة اثنين تكعيب مضروبًا في سبعة مضروبًا في ثلاثة تربيع. اثنان تكعيب يساوي ثمانية، وثلاثة تربيع يساوي تسعة. مرة أخرى حصلنا على ثلاثة أعداد صحيحة متتالية، وهي سبعة وثمانية وتسعة حيث سبعة يساوي ﻥ ناقص اثنين، وثمانية يساوي ﻥ ناقص واحد، وتسعة يساوي ﻥ.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. يعرف مضروب العدد الصحيح الموجب ﻥ بأنه حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من أو تساوي ﻥ. الخاصية الأساسية للمضروب هي أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد. يمكننا استخدام ذلك لتبسيط المقادير باستخدام المضروبات، وكذلك لحل معادلات المضروبات. عند محاولة إيجاد عدد صحيح مجهول بمعلومية مضروبه، نقسم على أعداد صحيحة موجبة متتالية حتى نصل إلى واحد. وأخيرًا، رأينا أن عدد التباديل الذي يبلغ ﺭ والمأخوذ من مجموعة مكونة من عدد ﻥ من العناصر يعطى بالمعادلة ﻥﻝﺭ يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.