فيديو الدرس: استخدام صيغ المتتابعات الحسابية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نكتب الصيغتين الصريحة والتكرارية للمتتابعات الحسابية لإيجاد قيمة الحد النوني في متتابعة حسابية، وكيف نوجد رتبة الحد بمعلومية قيمته. سنبدأ بتذكر بعض التعريفات الأساسية للمتتابعات الحسابية.

المتتابعة الحسابية هي تتابع من الأعداد حيث يكون الفرق بين أي حدين متتاليين فيها ثابتًا؛ على سبيل المثال، المتتابعة الحسابية سبعة، ١١، ١٥، ١٩ وهكذا. الفرق بين أي حدين متتاليين في هذه المتتابعة الحسابية هو أربعة. تعرف هذه القيمة بالفرق المشترك (أساس المتتابعة الحسابية). يشار عادة إلى الحد الأول من المتتابعة الحسابية بالرمز ﺡ واحد، بينما يشار إلى الحد الثاني بالرمز ﺡ اثنين، وهكذا. ومع ذلك، فمن الجدير بالذكر أنه يشار أحيانًا إلى الحد الأول بالرمز ﺡ صفر، في حين يشار إلى الحد الثاني بالرمز ﺡ واحد، وهكذا.

الحد النوني، المشار إليه بالرمز ﺡﻥ، لمتتابعة حسابية الفرق المشترك فيها ﺩ والحد الأول ﺃ يعطى على الصورة ﺡﻥ يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. في هذا المثال، ﺃ يساوي سبعة، والفرق المشترك ﺩ يساوي أربعة. هذا يعني أن ﺡﻥ يساوي سبعة زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في أربعة. بتوزيع الضرب على القوسين، يصبح لدينا سبعة زائد أربعة ﻥ ناقص أربعة؛ ما يساوي أربعة ﻥ زائد ثلاثة. ويمكننا بعد ذلك استخدام هذه الصيغة لحساب قيمة أي حد في المتتابعة. على سبيل المثال، لحساب الحد العاشر، فإننا نعوض بـ ﻥ يساوي ١٠. الحد ﺡ١٠، ورتبته ١٠، يساوي أربعة مضروبًا في ١٠ زائد ثلاثة؛ ما يساوي ٤٣.

سنتناول الآن سؤالًا علينا فيه حساب قيمة حد معين في متتابعة حسابية.

أوجد قيمة ﺡ٤٥ في المتتابعة الحسابية ١٨، ٢٦، ٣٤، وهكذا، حتى ٦٩٨؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا.

في هذا السؤال، لدينا متتابعة حسابية تبدأ بالأعداد ١٨، ٢٦، ٣٤. وبما أننا نعرف من المعطيات أن ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا، فإننا سنشير إلى هذه الحدود الثلاثة الأولى بالرموز ﺡ واحد وﺡ اثنين وﺡ ثلاثة. نعلم أن أي متتابعة تكون متتابعة حسابية إذا كان يوجد فرق مشترك بين أي حدين متتالين. في هذا السؤال، الفرق المشترك هو ثمانية؛ لأن ١٨ زائد ثمانية يساوي ٢٦، و٢٦ زائد ثمانية يساوي ٣٤.

المطلوب منا حساب قيمة الحد الذي رتبته ٤٥ في المتتابعة الحسابية. نعلم أن الحد النوني لأي متتابعة حسابية الفرق المشترك فيها ﺩ والحد الأول ﺃ واحد، يعطى بالصيغة ﻥﺡ يساوي ﺃ واحد زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. هذا يعني أن ﺡ٤٥ يساوي ١٨ زائد ٤٥ ناقص واحد مضروبًا في ثمانية. ويمكن تبسيط هذا إلى ١٨ زائد ٤٤ مضروبًا في ثمانية. وبما أن ٤٠ مضروبًا في ثمانية يساوي ٣٢٠، وأربعة مضروبًا في ثمانية يساوي ٣٢، فإن ٤٤ مضروبًا في ثمانية يساوي ٣٥٢. بإضافة ١٨ إلى هذا العدد، نحصل على الإجابة النهائية وهي ٣٧٠. إذن، الحد الذي رتبته ٤٥ في المتتابعة الحسابية ١٨، ٢٦، ٣٤، وهكذا حتى ٦٩٨ هو ٣٧٠.

في السؤال التالي، علينا إيجاد عدد الحدود في متتابعة حسابية معطاة.

أوجد عدد حدود المتتابعة الحسابية سالب أربعة، اثنان، ثمانية، وهكذا، حتى ٣٩٢.

نعلم أنه لكي تكون المتتابعة حسابية، لا بد أن يكون لها فرق مشترك بين أي حدين متتاليين. هذا الشرط ينطبق على هذا السؤال؛ لأن الفرق بين الحدين الأول والثاني يساوي الفرق بين الحدين الثاني والثالث. ومن ثم، لدينا فرق مشترك يساوي ستة.

نعلم أن الحد النوني لأي متتابعة حسابية، الفرق المشترك فيها ﺩ والحد الأول ﺃ واحد، يحقق المعادلة ﻥﺡ يساوي ﺃ واحد زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. كما نعلم أنه في هذه المتتابعة، الحد الأخير يساوي ٣٩٢. بالتعويض بقيمتي ﺃ واحد وﺩ في الطرف الأيسر من المعادلة، نحصل على سالب أربعة زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ستة. بتوزيع الضرب على القوسين، يصبح لدينا ستة ﻥ ناقص ستة. وبما أن الحد الأخير يساوي ٣٩٢، فإن المعادلة لدينا تصبح سالب أربعة زائد ستة ﻥ ناقص ستة يساوي ٣٩٢.

نبسط الطرف الأيمن إلى ستة ﻥ ناقص ١٠. ثم يمكننا إضافة ١٠ إلى كلا طرفي المعادلة بحيث تصبح على الصورة ستة ﻥ يساوي ٤٠٢. وأخيرًا، بقسمة كلا طرفي هذه المعادلة على ستة، نحصل على ﻥ يساوي ٤٠٢ على ستة، أي ما يساوي ٦٧. إذن، يمكننا استنتاج أنه يوجد ٦٧ حدًّا في المتتابعة الحسابية سالب أربعة، اثنان، ثمانية، وهكذا، حتى ٣٩٢، حيث الحد الذي رتبته ٦٧ يساوي ٣٩٢.

في المثال التالي، سنحسب صيغة الحد النوني لمتتابعة حسابية.

أوجد، بدلالة ﻥ، الحد العام لمتتابعة حسابية حدها السادس ٤٦ ومجموع حديها الثالث والعاشر يساوي ١٠٢.

لعلنا نتذكر أن المتتابعة تكون متتابعة حسابية إذا كان لها فرق مشترك بين أي حدين متتالين فيها. والحد النوني (الحد العام)، أي المكتوب على الصورة ﺡﻥ، لأي متتابعة حسابية يساوي ﺃ واحد زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ، حيث ﺃ واحد هو الحد الأول وﺩ هو الفرق المشترك.

في هذا السؤال، نعرف من المعطيات أن الحد السادس هو ٤٦. إذن، ﺡ ستة يساوي ٤٦. كما نعرف أيضًا أن مجموع الحدين الثالث والعاشر يساوي ١٠٢. إذن، ﺡ ثلاثة زائد ﺡ١٠ يساوي ١٠٢. باستخدام المعادلة العامة، فإننا نحصل على ﺃ زائد ستة ناقص واحد مضروبًا في ﺩ يساوي ٤٦. نبسط هذه المعادلة إلى ﺃ زائد خمسة ﺩ يساوي ٤٦. وبما أن لدينا مجهولين في هذه المعادلة، سنسمي هذه المعادلة رقم واحد.

الحد الثالث، أي ﺡ ثلاثة، يساوي ﺃ زائد اثنين ﺩ. والحد العاشر، أي ﺡ١٠، يساوي ﺃ زائد تسعة ﺩ. وبما أن مجموعهما يساوي ١٠٢، فلدينا ﺃ زائد اثنين ﺩ زائد ﺃ زائد تسعة ﺩ يساوي ١٠٢. نبسط الطرف الأيمن من المعادلة إلى اثنين ﺃ زائد ١١ﺩ. إذا سمينا هذه المعادلة بالمعادلة رقم اثنين، يصبح لدينا معادلتان آنيتان في المجهولين ﺃ وﺩ.

إحدى طرق حل هذه المعادلات هي طريقة الحذف. بضرب المعادلة رقم واحد في اثنين، نحصل على اثنين ﺃ زائد ١٠ﺩ يساوي ٩٢. وإذا سمينا هذه بالمعادلة رقم ثلاثة، يمكننا طرحها من المعادلة رقم اثنين. وبذلك، يتبقى لدينا ﺩ يساوي ١٠. بالتعويض بذلك في المعادلة رقم واحد، نحصل على ﺃ زائد خمسة مضروبًا في ١٠ يساوي ٤٦. وهذا يعني أن ﺃ زائد ٥٠ يساوي ٤٦. بطرح ٥٠ من كلا طرفي المعادلة، نحصل على ﺃ يساوي سالب أربعة.

لدينا الآن قيمتا الحد الأول والفرق المشترك في المتتابعة الحسابية. وعند التعويض بهما في المعادلة العامة، نحصل على ﺡﻥ يساوي سالب أربعة زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ١٠. وبتوزيع الضرب على القوسين، نبسط هذه المعادلة إلى سالب أربعة زائد ١٠ﻥ ناقص ١٠؛ ما يساوي ١٠ﻥ ناقص ١٤. إذن، الحد العام لمتتابعة حسابية حدها السادس ٤٦ ومجموع حديها الثالث والعاشر يساوي ١٠٢ هو ١٠ﻥ ناقص ١٤.

في المثال الأخير، سنوجد رتبة حد معين في متتابعة حسابية.

أوجد رتبة الحد الذي قيمته ١١٢ في المتتابعة ١٧، ٢٢، ٢٧، ٣٢، وهكذا.

سنبدأ بتذكر أن رتبة الحد في المتتابعة هي موضعه. في هذا السؤال، لدينا المتتابعة ١٧، ٢٢، ٢٧، ٣٢، وهكذا. هذا يعني أن الحد الأول، أي ﺡ واحد، يساوي ١٧. الحد الثاني، أي ﺡ اثنان، يساوي ٢٢. الحد الثالث، أي ﺡ ثلاثة، يساوي ٢٧، وهكذا. علينا إيجاد رتبة الحد أو موضع الحد الذي تساوي قيمته ١١٢.

نعلم أن المتتابعة التي لدينا هي متتابعة حسابية؛ وذلك لأنه يوجد فرق مشترك بين أي حدين متتاليين فيها. في أي متتابعة حسابية، الحد العام ﺡﻥ يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ، حيث ﺃ هو الحد الأول وﺩ هو الفرق المشترك. ويمكننا أن نلاحظ من المتتابعة أن ﺃ يساوي ١٧، والفرق المشترك ﺩ يساوي خمسة. بالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة العامة، نحصل على ١٧ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في خمسة.

نريد إيجاد قيمة ﻥ بحيث يكون هذا التعبير مساويًا لـ ١١٢. بتوزيع الضرب على القوسين، نحصل على ١٧ زائد خمسة ﻥ ناقص خمسة يساوي ١١٢. نبسط الطرف الأيمن إلى خمسة ﻥ زائد ١٢. ثم يمكننا طرح ١٢ من كلا طرفي المعادلة بحيث يصبح خمسة ﻥ مساويًا لـ ١٠٠. وأخيرًا، بقسمة كلا الطرفين على خمسة، نحصل على ﻥ يساوي ٢٠. وبذلك نستنتج أن رتبة الحد الذي قيمته ١١٢ هي ﺡ٢٠. وعليه، فإنه الحد الذي رتبته ٢٠ في المتتابعة الحسابية ١٧، ٢٢، ٢٧، ٣٢، وهكذا.

تجدر الإشارة إلى أن جميع الحدود التي رتبتها زوجية في هذه المتتابعة تنتهي بالرقم اثنين. هذا يدل على أن إجابتنا ﺡ٢٠ صحيحة.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. لقد رأينا في هذا الفيديو أن أي متتابعة تكون متتابعة حسابية إذا كان يوجد فرق مشترك (أساس المتتابعة الحسابية) بين أي حدين متتاليين فيها. الحد النوني لمتتابعة حسابية الفرق المشترك فيها ﺩ والحد الأول ﺃ يعطى بالصيغة ﺡﻥ يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. في هذا الفيديو، استخدمنا هذه المعادلة للمساعدة في حساب قيمة حد معين في متتابعة حسابية، أو لإيجاد عدد الحدود في متتابعة معطاة، أو لحساب صيغة متتابعة حسابية معينة.