فيديو الدرس: تطبيقات على أنظمة من المتباينات الخطية الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل تطبيقات على أنظمة المتباينات من خلال تحويل كل شرط إلى متباينة. نظام المتباينات الخطية هو مجموعة مكونة من متباينتين خطيتين أو أكثر في عدة متغيرات. وهي تستخدم عادة عندما تتطلب المسألة مجموعة من الحلول ويكون هناك أكثر من قيد على هذه الحلول؛ على سبيل المثال، محاولة شراء مخزون بميزانية محددة لمتجر. دعونا نبدأ بالتفكير في كيفية تمثيل هذه المتباينات بالتفصيل.

على سبيل المثال، إذا كان لدينا نظام المتباينات ﺱ أكبر من أو يساوي اثنين، وﺹ أكبر من أو يساوي أربعة، واثنان ﺱ زائد ثلاثة ﺹ أقل من أو يساوي ٢٤، فبإمكاننا تمثيل هذا النظام على مستوى إحداثي ثنائي الأبعاد. يمكن تمثيل المعادلة ﺱ يساوي اثنين من خلال خط مستقيم رأسي يمر بالنقطة اثنين على المحور ﺱ. وبما أن المتباينة المعطاة هي ﺱ أكبر من أو يساوي اثنين، فإن المنطقة التي تعبر عنها تقع على يمين هذا الخط. وعليه، يمكننا تظليل المساحة على يسار هذا الخط.

من المهم ملاحظة أنه إذا كانت لدينا متباينة تامة، مثل ﺱ أكبر من اثنين، فسيمثلها خط متقطع. وبالنسبة إلى المعادلة ﺹ يساوي أربعة، فسيمثلها خط مستقيم أفقي يمر بالمحور ﺹ عند النقطة أربعة. وبما أن المتباينة المعطاة هي ﺹ أكبر من أو يساوي أربعة، فإن المنطقة التي تعبر عنها تقع أعلى هذا الخط. ومرة أخرى، يمكننا تظليل المساحة أسفل هذا الخط. وأخيرًا، علينا رسم الخط المستقيم اثنين ﺱ زائد ثلاثة ﺹ يساوي ٢٤. هذا الخط سيتقاطع مع المحور ﺹ عند ﺱ يساوي صفرًا، وهذا يكون عند ﺹ يساوي ثمانية. وبالمثل، سيتقاطع الخط المستقيم مع المحور ﺱ عند ﺹ يساوي صفرًا، وهذا يكون عند ﺱ يساوي ١٢. وعليه، نجد أنه يمكن تمثيل المعادلة اثنين ﺱ زائد ثلاثة ﺹ يساوي ٢٤ بيانيًّا كما هو موضح.

لمعرفة أي جهة من هذا الخط تعبر عن هذه المتباينة، يمكننا إعادة ترتيب المتباينة بحيث يصبح ﺹ المتغير التابع. سنطرح أولًا اثنين ﺱ من كلا الطرفين. وسنقسم الطرفين بعد ذلك على ثلاثة بحيث يصبح لدينا ﺹ أقل من أو يساوي سالب ثلثين ﺱ زائد ثمانية. وبما أن ﺹ أقل من أو يساوي سالب ثلثين ﺱ زائد ثمانية، فإن المنطقة التي تعبر عن المتباينة هي تلك الموجودة أسفل الخط. ومن ثم، يمكننا تظليل المساحة أعلى هذا الخط. وبذلك، يتبقى لدينا منطقة مثلثة الشكل تحقق نظام المتباينات.

مرة أخرى، من المهم ملاحظة أننا لا نضمن القيم التي تقع عند حدود تقاطع أي منطقتين إلا في حالة وجود خط متصل عند حدود هاتين المنطقتين. وذلك لأنه يجب تحقيق جميع المتباينات، لكن عند وجود متباينة تامة فإن حدها يستبعد من مجموعة الحل.

سنتناول الآن بعض الأمثلة التي نحصل فيها على نظام متباينات من مسألة كلامية.

راعي أغنام يريد بناء حظيرة أغنام مستطيلة الشكل. يجب أن يزيد طول الحظيرة على ٨٨ مترًا، وأن يقل محيطها عن ٢٥٣ مترًا. اكتب نظام المتباينات الذي يعبر عن ذلك، مستخدمًا ﺱ لطول الحظيرة، ﺹ لعرضها.

في هذا السؤال، علمنا أن الراعي يريد بناء حظيرة أغنام مستطيلة الشكل طولها ﺱ متر وعرضها ﺹ متر. وعلينا كتابة نظام متباينات يحقق الشروط المعطاة. علمنا أيضًا أن طول الحظيرة يجب أن يزيد عن ٨٨ مترًا. وعليه، فإن ﺱ يجب أن يكون أكبر من ٨٨. وبما أن عرض الحظيرة لا يمكن أن يكون قيمة سالبة، فلا بد أن ﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا.

حسنًا، علمنا أيضًا من السؤال أن محيط الحظيرة يجب أن يقل عن ٢٥٣ مترًا. ومع الأخذ في الاعتبار أن محيط أي شكل ثنائي الأبعاد هو المسافة المحيطة به، نجد أن محيط الحظيرة يساوي ﺱ زائد ﺹ زائد ﺱ زائد ﺹ. ويمكن تبسيط ذلك إلى اثنين ﺱ زائد اثنين ﺹ. وبأخذ اثنين عاملًا مشتركًا، نجد أن محيط الحظيرة يساوي اثنين مضروبًا في ﺱ زائد ﺹ. هذا المحيط يجب أن يكون أقل من ٢٥٣ مترًا. وعليه، نجد أن اثنين مضروبًا في ﺱ زائد ﺹ أقل من ٢٥٣. حسنًا، لدينا الآن نظام مكون من ثلاث متباينات يعبر عن الحالة لدينا. وهي أن الطول ﺱ يجب أن يزيد عن ٨٨. ويجب أن يكون العرض ﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا. واثنان في ﺱ زائد ﺹ أقل من ٢٥٣.

وعلى الرغم من أنه ليس مطلوبًا منا تمثيل نظام المتباينات بيانيًّا في هذا السؤال أو حتى في هذا الفيديو، لكن يمكننا فعل ذلك هنا. يمكننا رسم خط متصل عند ﺹ يساوي صفرًا وخط متقطع عند ﺱ يساوي ٨٨، وعند اثنين مضروبًا في ﺱ زائد ﺹ يساوي ٢٥٣. وبما أن ﺱ أكبر من ٨٨، يمكننا تظليل المنطقة على يسار هذا الخط؛ وذلك لأن المنطقة التي تعبر عن المتباينة لدينا تقع جهة اليمين. وبما أن ﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا، فسنجد أن المنطقة التي تعبر عن المتباينة تقع أعلى المحور ﺱ. وأخيرًا، بما أن اثنين مضروبًا في ﺱ زائد ﺹ أقل من ٢٥٣، فسنجد أن المنطقة التي تعبر عن ذلك تقع أسفل هذا الخط. وهذا يعطينا منطقة مثلثة الشكل تحقق المتباينات الثلاثة جميعها.

سنتناول الآن مثالًا آخر في سياق.

يريد نجار شراء نوعين من المسامير. تكلفة النوع الأول ستة جنيهات لكل كيلوجرام، وتكلفة النوع الثاني تسعة جنيهات لكل كيلوجرام. يحتاج النجار إلى خمسة كيلوجرامات على الأقل من النوع الأول وسبعة كيلوجرامات على الأقل من النوع الثاني. يستطيع النجار أن ينفق أقل من ٥٥ جنيهًا. باستخدام ﺱ ليمثل كمية المسامير من النوع الأول وﺹ ليمثل النوع الثاني، اكتب نظام المتباينات الذي يمثل هذه الحالة.

في هذا السؤال، علينا كتابة نظام المتباينات الذي يحقق شروط نجار يريد شراء نوعين من المسامير. سنجعل ﺱ يمثل كمية المسامير من النوع الأول، وﺹ يمثل كمية المسامير من النوع الثاني. وتقاس كميتا المسامير بوحدة الكيلوجرام. بما أن النجار بحاجة إلى خمسة كيلوجرامات على الأقل من نوع المسامير الأول، فإننا نعلم أن ﺱ أكبر من أو يساوي خمسة. ويحتاج أيضًا إلى سبعة كيلوجرامات على الأقل من نوع المسامير الثاني، وهذا يعني أن ﺹ أكبر من أو يساوي سبعة.

الشرط الآخر هنا هو التكلفة. علمنا من السؤال أن تكلفة النوع الأول من المسامير هي ستة جنيهات لكل كيلوجرام. وهذا يكافئ ستة ﺱ. أما تكلفة النوع الثاني من المسامير، فهي تسعة جنيهات لكل كيلوجرام؛ ما يكافئ تسعة ﺹ. وبما أن إجمالي المبلغ الذي يمكن للنجار إنفاقه يجب أن يكون أقل من ٥٥ جنيهًا، فلا بد أن يكون مجموع تكلفة هذين النوعين أقل من ٥٥. ومن ثم، نجد أن نظام المتباينات الذي يمثل الحالة لدينا هو ﺱ أكبر من أو يساوي خمسة، وﺹ أكبر من أو يساوي سبعة، وستة ﺱ زائد تسعة ﺹ أقل من ٥٥.

في السؤالين التاليين، سنتناول مسائل أكثر تعقيدًا تتضمن قيودًا أكثر.

حدد أحد المدرسين لطلابه ١٠٠ دقيقة لحل اختبار مكون من جزأين؛ الجزء ﺃ والجزء ﺏ. كان على الطلاب أن يحلوا أربعة أسئلة على الأقل من الجزء ﺃ، وستة أسئلة على الأقل من الجزء ﺏ، ويجب عليهم أن يحلوا ١١ سؤالًا على الأقل إجمالًا. إذا استغرقت إحدى الطالبات في الإجابة عن السؤال الواحد من الجزء ﺃ مدة ثلاث دقائق، وفي الإجابة عن السؤال الواحد من الجزء ﺏ مدة ست دقائق، فأوجد نظام المتباينات الذي يساعد على معرفة عدد الأسئلة التي حاولت أن تحلها في كل جزء. استخدم الحرف ﺱ لتمثيل عدد الأسئلة المحلولة من الجزء ﺃ، والحرف ﺹ لتمثيل عدد الأسئلة المحلولة من الجزء ﺏ.

حسنًا، علمنا من السؤال أن الاختبار مكون من جزأين؛ الجزء ﺃ والجزء ﺏ. وسنجعل ﺱ يمثل عدد الأسئلة المحلولة من الجزء ﺃ، وﺹ يمثل عدد الأسئلة المحلولة من الجزء ﺏ. وعلمنا من السؤال أنه يجب على كل طالب الإجابة عن أربعة أسئلة على الأقل من الجزء ﺃ. ومن ثم، فإن ﺱ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي أربعة. علمنا أيضًا أنه يجب على كل طالب الإجابة عن ستة أسئلة على الأقل من الجزء ﺏ. إذن، لا بد أن يكون ﺹ أكبر من أو يساوي ستة. وبما أنه يجب على أي طالب أن يجيب إجمالًا عن ١١ سؤالًا على الأقل، فإن ﺱ زائد ﺹ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي ١١.

يوجد هنا أيضًا قيد زمني قدره ١٠٠ دقيقة. وقد علمنا من السؤال أن إحدى الطالبات استغرقت ثلاث دقائق في الإجابة عن السؤال الواحد في الجزء ﺃ. واستغرقت أيضًا ست دقائق في الإجابة عن السؤال الواحد في الجزء ﺏ. هذا يعني أنه يمكننا كتابة إجمالي الوقت الذي استغرقته الطالبة في الإجابة عن الأسئلة في صورة التعبير ثلاثة ﺱ زائد ستة ﺹ. وبما أن إجمالي زمن الاختبار يساوي ١٠٠ دقيقة، فلا بد أن يكون هذا التعبير أقل من أو يساوي ١٠٠ دقيقة. إذن، نظام المتباينات الذي سيساعدنا في معرفة عدد الأسئلة التي حاولت الطالبة الإجابة عنها في كل جزء هو ﺱ أكبر من أو يساوي أربعة، وﺹ أكبر من أو يساوي ستة، وﺱ زائد ﺹ أكبر من أو يساوي ١١، وثلاثة ﺱ زائد ستة ﺹ أقل من أو يساوي ١٠٠.

سنتناول الآن سؤالًا أخيرًا في هذا الفيديو.

ينتج مصنع لأغذية الأطفال نوعين من غذاء الأطفال. يحتوي النوع الأول على وحدتين من فيتامين ﺃ وثلاث وحدات من فيتامين ﺏ لكل جرام. يحتوي النوع الثاني على ثلاث وحدات من فيتامين ﺃ ووحدتين من فيتامين ﺏ لكل جرام. إذا كان الطفل يحتاج إلى ١٠٠ وحدة من فيتامين ﺃ و ١٢٠ وحدة من فيتامين ﺏ على الأقل في اليوم، فحدد نظام المتباينات الذي يعبر عن الغذاء الذي يحتاج الطفل إلى تناوله كل يوم لتلبية هذه المتطلبات. استخدم ﺱ لتمثيل كتلة النوع الأول لغذاء الأطفال (بوحدة الجرام)، واستخدم ﺹ لتمثيل كتلة النوع الثاني لغذاء الأطفال (بوحدة الجرام).

علمنا في هذا السؤال أن هناك مصنع أغذية ينتج نوعين من أغذية الأطفال. سنجعل ﺱ هو كتلة النوع الأول من أغذية الأطفال، وﺹ هو كتلة النوع الثاني. وبما أن هاتين الكتلتين معطاتان بالجرام، فهذا يعني أن كلًّا من ﺱ وﺹ قيمة غير سالبة. ومن ثم، يكون ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا، وﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا. نحن نعلم أن النوع الأول من أغذية الأطفال يحتوي على وحدتين من فيتامين ﺃ لكل جرام، والنوع الثاني يحتوي على ثلاث وحدات من فيتامين ﺃ لكل جرام. وبما أننا نعلم أيضًا أن الطفل يحتاج إلى ١٠٠ وحدة من فيتامين ﺃ على الأقل في اليوم الواحد، فسنجد أن اثنين ﺱ زائد ثلاثة ﺹ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي ١٠٠.

وبالمثل، يمكننا إيجاد متباينة لفيتامين ﺏ. يحتوي النوع الأول من أغذية الأطفال على ثلاث وحدات من فيتامين ﺏ، في حين يحتوي النوع الثاني على وحدتين من فيتامين ﺏ. وبما أن الطفل يحتاج إلى ١٢٠ وحدة من فيتامين ﺏ يوميًّا، فسيكون لدينا ثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺹ أكبر من أو يساوي ١٢٠. إذن، يمكننا قول إن لدينا نظامًا مكونًا من أربع متباينات يعبر عن الطعام الذي يجب أن يتناوله الطفل يوميًّا. هذه المتباينات الأربعة هي ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا، وﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا، واثنان ﺱ زائد ثلاثة ﺹ أكبر من أو يساوي ١٠٠، وثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺹ أكبر من أو يساوي ١٢٠.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. لكي نحدد نظام المتباينات في أي حالة معطاة، فإننا نشير إلى الكميتين لدينا بالحرفين ﺱ وﺹ. إذا كانت الكميتان قيمتين لا يمكن أن تكونا سالبتين، فعلينا دائمًا أن نبدأ بـ ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا، وﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا. قد تكون لدينا قيود أخرى على الكميتين؛ مثل القيمة الصغرى أو القيمة العظمى لكل منهما. على سبيل المثال، قد يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ١٠، أو ﺹ أقل من أو يساوي ١٥. قد تكون هذه المتباينات متباينات تامة أيضًا؛ مثل ﺱ أكبر من ١٠، وﺹ أصغر من ١٥.

يمكن تكوين متباينات خطية إضافية من القيود المحددة للمجموع الكلي للكميتين؛ مثل الزمن والتكلفة. ويمكن كتابة هذه المتباينات على الصورة اثنين ﺱ زائد ثلاثة ﺹ أكبر من أو يساوي ١٥. يمكن تمثيل أي من أنظمة المتباينات هذه بيانيًّا. وعلى الرغم من كون هذا خارج نطاق هذا الفيديو، لكن يمكن أيضًا حل هذه المتباينات لإيجاد أفضل الحلول.