فيديو: الكينماتيكا الدورانية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل تغير الموضع مع الزمن للأجسام التي تتحرك في مسارات دائرية.

١٥:٠٣

‏نسخة الفيديو النصية

موضوعنا في هذا الفيديو هو الكينماتيكا الدورانية. فسوف نتعلم كيف نصف حركة الأجسام عند دورانها. قبل أن نتحدث عن الحركة الدورانية، دعونا نتذكر نوع الحركة التي قد نكون أكثر دراية بها، وهي الحركة في خط مستقيم أو الحركة الخطية. إذا كان لدينا جسم بدأ حركته في هذا الموضع، ثم تحرك على طول هذا السهم الذي يبلغ طوله مترًا واحدًا حتى وصل إلى هنا، فسيمكننا القول إن هذا الجسم قد قطع مسافة خطية مقدارها متر واحد. ويمكننا أن نعتبر ذلك أيضًا الوحدة الأساسية للمسافة الخطية.

ما من استخدام رسمي أو أي شيء من هذا القبيل لمسافة المتر الواحد. لكننا إذا افترضنا أن هذه هي الوحدة الأساسية للمسافة الخطية، فقد يثير ذلك السؤال التالي: ما الوحدة الأساسية للمسافة الدورانية؟ يمكننا أن نفهم ذلك بالتفكير في خط مرسوم داخل دائرة ويدور بزاوية. هذه الزاوية، التي يمكننا الإشارة إليها بالرمز ‪𝜃‬‏، تعرف بجعل طول القطعة المستقيمة، الذي يمكننا أن نسميه ‪𝑟‬‏، يساوي طول قوس الدائرة الذي يمر به هذا الخط أثناء دورانه. إذا كانت هاتان المسافتان متساويتين، فيمكننا القول إن الزاوية ‪𝜃‬‏ التي يدور بها الخط المستقيم تساوي راديان واحدًا أو ‪rad‬‏ واحدًا اختصارًا.

عند تعريف هذا الحد، أي الزاوية التي قياسها راديان واحد، توصلنا إلى ما يمكننا تسميته الوحدة الأساسية للمسافة الدورانية أو الزاوية. فمثلما يعد المتر وحدة أساسية للمسافة الخطية، فالراديان هو الوحدة التي نستخدمها لتحديد المسافة عند الدوران. ويمكننا أن نسمي هذه المسافة أيضًا المسافة الزاوية. لكن ماذا عن المسافة الزاوية الممتدة حول هذه الدائرة بالكامل، أي التي تكمل دورة كاملة واحدة؟ كم راديان ستكون؟ تمثل الدورة الكاملة الواحدة باثنين في ‪𝜋‬‏ راديان. ويمكننا التأكد من ذلك بأنفسنا بتذكر أن محيط الدائرة يساوي اثنين في ‪𝜋‬‏ في نصف قطر الدائرة.

إذا كان ما نتناوله هو دورة في دائرة وحدة، فذلك يعني أن ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا. ومن ثم، فإن محيط الدائرة يساوي اثنين ‪𝜋‬‏، وهو ما يطابق المسافة الدورانية لدورة كاملة واحدة. ونظرًا لأن وحدة الراديان تعتمد على هندسة الدوران، فهي مناسبة لوصف عمليات الدوران. لكنك قد تكون على دراية بوحدة أخرى لوصف المسافات الدورانية. وهي وحدة الدرجات التي نرمز لها بهذا الرمز. بعد أن عرفنا هاتين الوحدتين المختلفتين لوصف المسافات الدورانية، علينا الآن معرفة كيفية التحويل من إحداهما إلى الأخرى. إذا كانت لدينا مسافة دورانية، ولتكن بالراديان وتبلغ راديان واحدًا مثلًا، فكم تساوي بالدرجات؟

وبالمثل، إذا كانت لدينا مسافة دورانية معطاة بالدرجات، فكم تكافئ بالراديان؟ يمكننا البدء في التحويل من درجات إلى راديان أو من راديان إلى درجات على النحو التالي. تذكر أن الدورة الكاملة الواحدة في الدائرة تساوي اثنين ‪𝜋‬‏ راديان. ويمكننا أن نتذكر أيضًا أن الدورة الكاملة الواحدة في الدائرة تساوي ‪360‬‏ درجة أيضًا. إذن ‪360‬‏ درجة تساوي اثنين ‪𝜋‬‏ راديان. والآن يمكننا أن نسأل أنفسنا هذا السؤال: ما العدد الذي علينا ضربه في ‪360‬‏ درجة لكي يكون حاصل الضرب اثنين ‪𝜋‬‏ راديان؟ بعبارة أخرى، ما المعامل الذي يمكن أن يوضع هنا بحيث يكون حاصل ضربه في ‪360‬‏ درجة يساوي اثنين ‪𝜋‬‏ راديان؟

نلاحظ أن أحد الأمور التي يجب أن تحدث هنا هو حذف ‪360‬‏ درجة. إذا وضعنا ‪360‬‏ درجة في المقام هنا، فسيتحقق ذلك. وبما أننا نريد أن يكون الناتج اثنين ‪𝜋‬‏ راديان، يمكننا وضع ذلك في البسط. والآن بعد أن أصبح لدينا معامل الضرب، هيا نختبر هذه المعادلة ونر إذا ما كانت صحيحة أو لا. نرى هنا أن الـ ‪360‬‏ درجة هذه ستحذف مع الـ ‪360‬‏ درجة هذه. وسيتبقى لنا اثنان ‪𝜋‬‏ راديان، وهو ما يوجد في الطرف الأيمن من المعادلة. هذا يعني أننا حصلنا على معامل تحويل لتحويل المسافة الدورانية من الدرجات إلى الراديان.

لاحظ أنه يمكننا تبسيط هذا المعامل قليلًا. فنصف البسط الذي يساوي اثنين ‪𝜋‬‏ راديان هو ‪𝜋‬‏ راديان. ونصف المقام يساوي ‪180‬‏ درجة. وبالتالي، يمكننا كتابة المعامل هكذا. والآن بعد أن اكتشفنا هذه الطريقة للتحويل، يمكننا ضرب درجة واحدة في هذا المعامل. وينتج عن ذلك ‪𝜋‬‏ مقسومًا على ‪180‬‏ راديان. إذن، هذه هي طريقة التحويل من الدرجات إلى الراديان. الآن، ماذا عن التحويل المقابل؟ يمكننا البدء مرة أخرى بالنظر إلى هذه العلاقة.

السؤال الذي سنطرحه الآن هو: ما القيمة التي يجب أن نضربها في اثنين ‪𝜋‬‏ راديان كي يكون حاصل الضرب ‪360‬‏ درجة؟ مثلما فعلنا من قبل، سنحاول إيجاد المعامل الذي تظل معه هذه المعادلة صحيحة. لكي نحصل على ‪360‬‏ درجة، علينا حذف المعامل اثنين ‪𝜋‬‏ راديان هذا بطريقة ما. ويمكننا فعل ذلك بالقسمة على اثنين ‪𝜋‬‏ راديان. وهذا يعني أن البسط يجب أن يكون ‪360‬‏ درجة. هذه إذن طريقة تحويل قياس الزوايا من الراديان إلى الدرجات. وكما فعلنا من قبل، يمكننا تبسيط هذا المعامل قليلًا بقسمة البسط والمقام على اثنين. وهو ما يعطينا ‪180‬‏ درجة على ‪𝜋‬‏ راديان.

إذن، لمعرفة كم يساوي الراديان الواحد بالدرجات، نضرب راديان واحدًا في ‪180‬‏ درجة على ‪𝜋‬‏ راديان. فنحصل في النهاية على ‪180‬‏ على ‪𝜋‬‏ درجة. بعد أن عرفنا ما سبق عن التحويل بين وحدات الزوايا، يمكننا كتابة معادلتين موجزتين. أولًا، لنفترض أن لدينا زاوية ما، سنطلق عليها ‪𝐴‬‏، وهي مقيسة بوحدة الدرجات. إذن سيكون لدينا ‪𝐴‬‏ ثم علامة الدرجات. رأينا أنه إذا ضربنا هذه الزاوية بالدرجات في المعامل ‪𝜋‬‏ راديان على ‪180‬‏ درجة، فستكون النتيجة الزاوية ‪𝐴‬‏ نفسها لكن بوحدة مختلفة، وهي وحدة الراديان.

وبالمثل، نفترض أن لدينا زاوية أخرى سنطلق عليها ‪𝐵‬‏، لكنها معطاة بوحدة الراديان. إذا ضربنا هذه الزاوية المعطاة بالراديان في ‪180‬‏ درجة على ‪𝜋‬‏ راديان، فسنحصل على الزاوية نفسها، لكن هذه المرة بوحدة الدرجات. هذان هما إذن معاملا التحويل بين هاتين الوحدتين. حتى الآن، لم نتناول إلا المسافات الدورانية. لكن مثلما توجد سرعة خطية وعجلة خطية، توجد أيضًا سرعة دورانية وعجلة دورانية.

نعلم أنه فيما يتعلق بالسرعة الخطية، إذا كانت لدينا سرعة نطلق عليها ‪𝑠‬‏، فإنها تساوي التغير في المسافة، ونطلق عليه ‪𝛥𝑑‬‏، مقسومًا على التغير في الزمن، ‪𝛥𝑡‬‏. لكن إذا أردنا التعبير عن السرعة الدورانية، فكيف ستتغير هذه المعادلة؟ أولًا، لم نعد نتحدث عن السرعة الخطية ‪𝑠‬‏. بالتالي، نحتاج إلى متغير آخر لتمثيل السرعة الدورانية. والرمز الذي يستخدم لهذا الغرض عادة هو الحرف اليوناني ‪𝜔‬‏. ما قيمة ‪𝜔‬‏ إذن؟ في معادلة السرعة الخطية، لدينا تغير في المسافة الخطية مقسوم على تغير في الزمن.

لتكوين صيغة دورانية لهذه المعادلة، كل ما علينا فعله هو تغيير هذه المسافة الخطية إلى مسافة دورانية. وقد عرفنا أنه يمكن وصف المسافات الدورانية باستخدام المتغير ‪𝜃‬‏، حيث يمثل ‪𝜃‬‏ أي مسافة دورانية، وليس فقط راديان واحدًا كما حددناه في هذه الحالة الخاصة. لذا بدلًا من استخدام ‪𝛥𝑑‬‏، سنستخدم ‪𝛥𝜃‬‏ في بسط معادلة السرعة الدورانية. ويمثل هذا تغيرًا في المسافة الدورانية. وفي المقام، سيكون لدينا ‪𝛥𝑡‬‏ مرة أخرى. فالتغير في الزمن يظل كما هو بغض النظر عما إذا كنا نتحدث عن حركة خطية أو دورانية.

لنفكر قليلًا فيما تعنيه هذه المعادلة الخاصة بالسرعة الدورانية. إنها تصف زاوية، أي مسافة دورانية، تتغير على مدار فترة زمنية معينة. يمكننا تصور ذلك باعتبار أن القطعة المستقيمة الموجودة في الشكل تدور بمعدل معين في هذه الدائرة. ومعدل الدوران هذا هو سرعة الدوران التي تسمى أحيانًا السرعة الزاوية. وقد يدور هذا الذراع بمعدل أكبر أو أقل. وسيقابل ذلك سرعة دورانية أكبر أو أقل. ويوجد أمر مثير للاهتمام هنا. إذا تغيرت السرعة الخطية لجسم ما خلال زمن معين، يمكننا القول إن هذا الجسم يتحرك بعجلة. وبالمثل، يمكننا القول إنه إذا تغيرت السرعة الدورانية لجسم ما خلال زمن معين، فسيتحرك هذا الجسم بعجلة دورانية.

يمكننا تصور العجلة الدورانية بأنها دوران هذا الذراع في الدائرة، مع تزايد سرعته أو تباطئه. في كلتا الحالتين، سيكون له عجلة دورانية لا تساوي صفرًا. نعلم أن الرمز المستخدم عادة مع العجلة الخطية هو حرف ‪𝑎‬‏. والرمز المستخدم لتمثيل العجلة الدورانية يبدو هكذا. وهو الحرف اليوناني ‪𝛼‬‏. ومن ثم، فإن العجلة الدورانية أو الزاوية تساوي التغير في السرعة الدورانية، ‪𝛥𝜔‬‏، مقسومًا على مقدار الزمن الذي يحدث فيه هذا التغير.

والآن، قبل أن ننتقل إلى مثال تدريبي، ثمة شيء يجب أن نتذكره بشأن معادلة السرعة الدورانية هذه. الطريقة القياسية للتعبير عن المسافة الدورانية التي يتحرك بها الجسم هي استخدام وحدة الراديان كما رأينا. لكن في بعض الأحيان، في الأمثلة التدريبية، توصف المعدلات الدورانية بوحدة مختلفة هي ‪rpms‬‏ أو دورة لكل دقيقة. والدورة هي لفة كاملة واحدة في الدائرة. وعرفنا أنه بدلالة الزاوية ‪𝜃‬‏، الدورة تساوي اثنين ‪𝜋‬‏ راديان. إذن، الدورة الواحدة تساوي اثنين ‪𝜋‬‏ راديان. وهذه هي الطريقة التي نعبر بها عن مسافات الدوران التي نستخدمها في معادلة السرعة الدورانية.

إذا نسينا استخدام وحدة الراديان واستخدمنا وحدة الدورات بدلًا منها، وهو ما يسهل حدوثه إذا كان معدل الدوران معطى بالدورة لكل دقيقة، فستختلف نتيجة السرعة الدورانية عن القيمة الصحيحة بمعامل اثنين ‪𝜋‬‏. لذا، عند استخدام هذه المعادلة للسرعة الدورانية، علينا التأكد من أن ‪𝛥𝜃‬‏، أي التغير في المسافة الزاوية، معبر عنه بوحدة الراديان. بعد أن أوضحنا ذلك، فلنستعرض الآن مثالًا.

الإزاحة الزاوية التي قياسها (فراغ) درجة تساوي إزاحة زاوية مقدارها ‪7.25‬‏ راديان.

في هذا التمرين، علينا ملء هذا الفراغ. بعبارة أخرى، نريد معرفة كم درجة تساوي ‪7.25‬‏ راديان. لتحويل هذه الزاوية من الراديان إلى زاوية مكافئة بالدرجات، يمكننا أن نتذكر أن الدورة الكاملة الواحدة في الدائرة تساوي اثنين ‪𝜋‬‏ راديان. وتساوي أيضًا ‪360‬‏ درجة. في هذا التمرين، بدلًا من اثنين ‪𝜋‬‏ راديان، قياس الزاوية بالراديان يساوي ‪7.25‬‏. وبمعرفة أن هذا صحيح، علينا تحويل هذه القيمة إلى درجات.

لمعرفة كيفية فعل ذلك، يمكننا إيجاد العامل الذي يوضع هنا ليجعل الطرف الأيسر من هذه المعادلة يساوي ‪360‬‏ درجة كما نعرف. هذا يعني أننا نريد أن يكون اثنان ‪𝜋‬‏ راديان مضروبًا في القيمة الموضوعة هنا — أيًا كانت — يساوي ‪360‬‏ درجة. نلاحظ أنه إذا وضعنا هذا العامل بين القوسين، فسيحذف العاملان اثنان ‪𝜋‬‏ راديان ويتبقى لدينا ‪360‬‏ درجة في الطرفين. بذلك نكون قد اكتشفنا العامل الذي يمكننا ضربه في قياس الزاوية بالراديان لتحويله إلى درجات. وهو ‪360‬‏ درجة مقسومة على اثنين ‪𝜋‬‏ راديان، أو ما يساوي ‪180‬‏ درجة مقسومة على ‪𝜋‬‏ راديان.

هذا إذن ما سنضربه في ‪7.25‬‏ راديان. وعندما نفعل ذلك، نلاحظ أن وحدتي الراديان تحذفان معًا. ويتبقى لدينا قياس زاوية بالدرجات. وهذا يساوي ‪415.39‬‏، وهكذا مع توالي الأرقام، درجة. لكن بما أن الزاوية الأصلية معطاة بثلاثة أرقام معنوية، فسنحافظ على هذا العدد في الإجابة. معنى ذلك أننا سنحتفظ بهذا الرقم المعنوي، وهذا، وهذا، وبالتالي فإن الإجابة النهائية هي ‪415‬‏ درجة. يمكننا القول إذن إن الإزاحة الزاوية التي قياسها ‪415‬‏ درجة تساوي الإزاحة الزاوية التي قياسها ‪7.25‬‏ راديان.

لنستعرض الآن مثالًا آخر.

رأس حفار كان في البداية في حالة سكون. عند تشغيل الحفار، يدور الرأس بمعدل ‪47.5‬‏ لفة لكل ثانية. يصل رأس الحفار إلى هذه السرعة في زمن مقداره ‪175‬‏ مللي ثانية. ما العجلة الزاوية لرأس الحفار؟

لنفترض أن هذا هو المنظر من نهاية رأس الحفار. يمكننا إذن أن نقول إن رأس الحفار موجه من الشاشة إلينا. في البداية، كان رأس الحفار في وضع السكون. لكن بعد ذلك، عند بدء تشغيل الحفار، بدأ الرأس في الدوران بمعدل ‪47‬‏ ونصف لفة كل ثانية. بمعلومية أن رأس الحفار يصل إلى سرعة الدوران هذه من السكون خلال زمن مقداره ‪175‬‏ مللي ثانية، نريد معرفة العجلة الزاوية له. عندما نبدأ في الحل، نتذكر أن العجلة الزاوية، ‪𝛼‬‏، تساوي التغير في السرعة الزاوية، ‪𝛥𝜔‬‏، مقسومًا على التغير في الزمن ‪𝛥𝑡‬‏.

من الأمور المهمة التي علينا إدراكها في هذه المعادلة هو أن هذا التغير في السرعة الزاوية، ‪𝛥𝜔‬‏، قائم على افتراض أن السرعة الزاوية معبر عنها بوحدة الراديان لكل ثانية. وبالتالي ستكون العجلة الزاوية التي نحسبها بوحدة الراديان لكل ثانية لكل ثانية، أو الراديان لكل ثانية تربيع. نذكر هذه الملحوظة هنا لأن رأس المسألة يشير إلى أن رأس الحفار يدور ‪47‬‏ ونصف لفة كل ثانية. هذا يعني أنه يدور دورة كاملة واحدة ‪47.5‬‏ مرة كل ثانية. لكن هذا لا يعني أن السرعة الزاوية تساوي ‪47.5‬‏ راديان في الثانية. وذلك لأن الدوران مرة كاملة واحدة، أي اللفة الواحدة حول الدائرة أو الدورة الواحدة، يساوي اثنين ‪𝜋‬‏ راديان.

هذا يعني أن السرعة الزاوية الحقيقية بوحدة الراديان لكل ثانية هي ‪47.5‬‏ في اثنين ‪𝜋‬‏. هذه القيمة هي التي سنستخدمها في معادلة العجلة الزاوية. هذه العجلة تساوي التغير في السرعة الزاوية، ‪𝛥𝜔‬‏. لكن، بما أن رأس الحفار كان في حالة سكون عند البدء، فهذا يعني أن هذه القيمة هنا تساوي هذا التغير مقسومًا على الزمن الذي يحدث فيه هذا التغير. وهو يساوي ‪175‬‏ مللي ثانية. قبل حساب هذا الكسر، علينا تحويل هذا الزمن من المللي ثانية إلى وحدة الثانية. وهذا لكي يكون لدينا وحدة زمنية مشتركة في البسط والمقام.

لعلنا نتذكر أن المللي ثانية الواحدة تساوي جزءًا من ألف من الثانية. وعليه، فإن ‪175‬‏ مللي ثانية تساوي ‪0.175‬‏ ثانية. والآن نحن جاهزون لحساب ‪𝛼‬‏. وبالتأكيد سنحصل على وحدة الراديان لكل ثانية تربيع عندما نفعل ذلك. بتقريب الناتج لأقرب ثلاثة أرقام معنوية، نحصل على الناتج ‪1710‬‏ راديان لكل ثانية تربيع. وهذه هي العجلة الزاوية لرأس الحفار.

هيا نلخص الآن ما تعلمناه عن الكينماتيكا الدورانية. في هذا الدرس، عرفنا أنه مثلما توجد مسافة وسرعة وعجلة خطية، توجد أيضًا مسافة وسرعة وعجلة دورانية أو زاوية. وعادة، نمثل المسافة الدورانية بالرمز ‪𝜃‬‏. أما الرمز الذي يمثل السرعة الدورانية أو الزاوية، فهو ‪𝜔‬‏. ويرمز إلى العجلة الزاوية باستخدام الحرف اليوناني ‪𝛼‬‏.

عرفنا كذلك أنه يمكن التعبير عن المسافات الزاوية بوحدة الدرجات أو بوحدة الراديان. ورأينا أنه للتحويل من وحدة إلى أخرى، نضرب الزاوية بالدرجات في العامل ‪𝜋‬‏ راديان لكل ‪180‬‏ درجة، ونضرب الزاوية المعطاة بالراديان في ‪180‬‏ درجة مقسومة على ‪𝜋‬‏ راديان. ويعتمد عاملا التحويل هذان على حقيقة أن اثنين ‪𝜋‬‏ راديان يساوي ‪360‬‏ درجة. وهذا هو ملخص الكينماتيكا الدورانية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.