فيديو الدرس: خاصية التوزيع في الضرب الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

سنتعرف في هذا الفيديو على خاصية التوزيع في الضرب، والتي تعرف أحيانًا باسم قانون التوزيع. وسننظر في عدة أمثلة.

بداية، دعونا ننظر إلى عملية الضرب باعتبارها عمليات جمع متكررة، ونتصورها في صورة صفوف من الأشياء. أمامنا أربع شمعات. هذا صف واحد من أربع شمعات. إذن، واحد في أربعة. وبإضافة صف آخر من الشمعات، يصبح لدينا صفان في كل منهما أربع شمعات. إذن اثنان في أربع شمعات. وبإضافة صف ثالث، يصبح لدينا ثلاثة في أربع شمعات. أما إذا أضفت شمعتين إلى كل صف، يصبح لدينا ثلاث مجموعات من أربع شمعات، زائد شمعتين. ويمكنني كتابة ذلك بالصورة ثلاثة في أربعة زائد اثنين، أو كما نكتبها عادة، ثلاثة خارج القوس في أربعة زائد اثنين. لكن هناك طريقة أخرى للتعامل مع الأمر وهي التفكير في أن لدينا ثلاثة في أربع شمعات، وثلاثة في شمعتين. ومن ثم أوزع الثلاثة على القوس: ثلاثة في أربعة وثلاثة في اثنين.

إذن خاصية التوزيع في الضرب تعني أنه عند التعامل مع مقدار مثل هذا، يمكنك كتابته على الصورة: ثلاثة خارج القوس في أربعة زائد اثنين، أي ثلاثة في أربعة زائد ثلاثة في اثنين. ويمكننا جمع أربعة زائد اثنين، ما يساوي ستة. فيصبح لدينا ثلاثة في ستة. إذن لدينا ثلاثة في ستة. ومن ثم فقد حصلنا على الإجابة نفسها في النهاية، وهي ١٨ شمعة. ولكن هذه ليست خاصية التوزيع. خاصية التوزيع هي أن نقول إن الثلاثة خارج القوس توزع على كل حد داخله.

إذن خاصية توزيع الضرب على الجمع هي أنه عندما يكون لدينا ﺃ في ﺏ زائد ﺟ، فهذا يعني أن نضرب ﺃ في ﺏ، ثم نضيف ﺃ في ﺟ. وخاصية توزيع الضرب على الطرح تعني أنه إذا كان لدينا ﺃ خارج القوس وﺏ ناقص ﺟ داخله، فإن هذا يساوي ﺃ في ﺏ ناقص ﺃ في ﺟ. إذن، خاصية التوزيع أو قانون التوزيع في الضرب يستخدم مع الجمع والطرح. فلننظر في عدة أمثلة عددية، ونر كيف يمكن حلها.

أعد كتابة المقدار خمسة في تسعة زائد سبعة باستخدام خاصية التوزيع.

خمسة في تسعة زائد سبعة يعني خمسة في تسعة زائد خمسة في سبعة. في الواقع، هذا هو الحل! لقد انتهينا. أعدنا كتابة المقدار باستخدام خاصية التوزيع. لم تطلب منا المسألة إيجاد قيمة المقدار أو تبسيطه. بل المطلوب فقط هو إعادة كتابته باستخدام خاصية التوزيع. وتوجد طريقة أخرى بديلة للتعبير عن هذه الإجابة، وهي الإبقاء على التسعة والسبعة بين قوسيهما هكذا.

إليك مسألة أخرى: أعد كتابة المقدار ثلاثة في ثمانية ناقص اثنين باستخدام خاصية التوزيع.

ثلاثة في ثمانية ناقص اثنين يعني ثلاثة في ثمانية ناقص ثلاثة في اثنين. إذن يمكننا كتابته في صورة ثلاثة في ثمانية ناقص ثلاثة في اثنين، وهذه هي الإجابة. مرة أخرى، أعدنا كتابة المقدار باستخدام خاصية التوزيع. ولم نحسب قيمته أو نبسطه. ويمكننا هنا أيضًا ترك الثمانية والاثنين كل في قوسه. إذن لدينا ثلاثة في ثمانية ناقص ثلاثة في اثنين بهذا الشكل.

والآن، أعد كتابة المقدار ﺱ في سبعة ناقص أربعة باستخدام خاصية التوزيع.

رغم وجود رمز هنا في المقدار، وهو ﺱ — ما يعني أننا سنجري بعض العمليات الجبرية — فإن المبدأ المستخدم هو نفسه. وهذا يعني ﺱ في سبعة ناقص ﺱ في أربعة. إذن الإجابة هي ﺱ في سبعة ناقص ﺱ في أربعة. ولكن تبعًا لقواعد الجبر، نكتب العدد أولًا ثم الرمز، ما يعطينا سبعة ﺱ ناقص أربعة ﺱ.

والآن، أعد كتابة المقدار ١١ في ﺱ ناقص خمسة باستخدام خاصية التوزيع.

هذه المرة، الرمز داخل القوس، ولكن طريقة الحل لن تتغير: ١١ في ﺱ ناقص ١١ في خمسة. ومرة أخرى نرتب المقدار الجبري، فيصبح ١١ﺱ ناقص ١١ في خمسة. ويمكننا التبسيط لنحصل على ١١ﺱ ناقص ٥٥. ولكن تذكر أنه لم يطلب منا في رأس المسألة أن نبسط بالكامل. طلب منا فقط إعادة كتابة المقدار. إذن فهذا يكفي.

والآن لدينا مسألة عن خاصية التوزيع ولكن بطريقة عكسية: أعد كتابة المقدار سبعة في ١٥ زائد سبعة في ١١ باستخدام خاصية التوزيع.

لدينا العامل المشترك سبعة. سبعة في ١٥. ثم نضيف سبعة في ١١. ويمكننا كتابته على هذه الصورة: سبعة في ١٥ زائد سبعة في ١١. بهذه البساطة. وهذه هي الإجابة.

أما في هذه المسألة، مطلوب إيجاد قيمة المقدار ستة في تسعة ناقص سبعة باستخدام خاصية التوزيع.

توزيع الستة على القوس يعطينا ستة في تسعة ناقص ستة في سبعة. ستة في تسعة يساوي ٥٤، وستة في سبعة يساوي ٤٢. إذن يصبح لدينا ٥٤ ناقص ٤٢، ما يساوي ١٢. وهناك طريقة أخرى بديلة لإيجاد قيمة المقدار، وهي أن نوجد قيمة ما بين القوسين أولًا. إذن تسعة ناقص سبعة يساوي اثنين. فيصبح لدينا ستة في اثنين، ومرة أخرى فهذا يساوي ١٢. كان هذا الحل أسرع وأعطانا الإجابة الصحيحة. إلا أن المطلوب في رأس المسألة هو أن نستخدم خاصية التوزيع. وقد كان علينا أن نفعل ذلك لنحصل على الدرجات كاملة.

دعونا نلخص ما تعلمناه هنا: خاصية التوزيع في الضرب أو قانون توزيع الضرب يستخدم مع الجمع والطرح. وصيغتها العامة هي أن ﺃ في ﺏ زائد ﺟ يعني ﺃ في ﺏ زائد ﺃ في ﺟ. وﺃ في ﺏ ناقص ﺟ يعني ﺃ في ﺏ ناقص ﺃ في ﺟ. وبالطبع نكتبهما على الصورة ﺃﺏ زائد ﺃﺟ وﺃﺏ ناقص ﺃﺟ. أود التنبيه سريعًا لشيء واحد قبل الانتهاء. انتبه للإشارات.

إذا رأينا مثلًا سالب ثلاثة في اثنين زائد خمسة، فهذا يساوي سالب ثلاثة في اثنين زائد سالب ثلاثة في خمسة. وسالب ثلاثة في اثنين يساوي سالب ستة، وسالب ثلاثة في خمسة يساوي سالب ١٥. إذن، نجمع سالب ١٥، ما يعني في الواقع أننا نطرح ١٥. وفي حالة ستة في سالب سبعة ناقص اثنين — لدينا هنا سالب سبعة. إذن، هذا يساوي ستة في سالب سبعة ناقص ستة في اثنين. وستة في سالب سبعة يساوي سالب ٤٢. ونطرح ستة في اثنين. أي إننا نطرح ١٢.

فلننظر الآن إلى هذا المثال الغريب: سالب خمسة في سالب اثنين ناقص سالب أربعة. وهو يساوي سالب خمسة في سالب اثنين ناقص سالب خمسة في سالب أربعة. في الواقع، سأضع زوجًا من الأقواس حول سالب خمسة أيضًا حتى نعرف أن إشارة سالب هذه تخص الخمسة. لدينا سالب خمسة في سالب اثنين، وسالب في سالب يساوي موجب؛ إذن يصبح لدينا موجب ١٠. وسالب خمسة في سالب أربعة — سالب في سالب يساوي موجب، وخمسة في أربعة يساوي ٢٠. إذن هذا يساوي موجب ٢٠. ونطرح موجب ٢٠ هذا. أي ١٠ ناقص ٢٠.