نسخة الفيديو النصية
تؤثر قوة مقدارها ستة نيوتن على ﺟ، وهي ممثلة بواسطة متجه في مستوى عمودي على المحور ﺹ، كما هو موضح في الشكل. أوجد متجه العزم حول ﺃ، بالنيوتن سنتيمتر.
بالنظر إلى الشكل، نلاحظ أن لدينا متجه قوة مقداره ستة نيوتن يؤثر على جسم موجود عند مجموعة محاور ثلاثية الأبعاد. يمكننا أن نرى أن المحور ﺱ يشير إلى خارج الشاشة، والمحور ﺹ يشير إلى اليمين، والمحور ﻉ يشير إلى أعلى. توجد ثلاث نقاط محددة على الجسم. هذه النقاط هي ﺃ، وهي النقطة التي نريد إيجاد متجه العزم حولها، وﺏ، التي تقع عند نقطة الأصل للمحاور، وﺟ، وهي النقطة التي يؤثر عندها متجه القوة.
يطلب منا السؤال حساب متجه العزم حول ﺃ، الناتج عن القوة المؤثرة عند ﺟ. لحساب متجه العزم، يمكننا استخدام المعادلة الآتية. وتنص هذه المعادلة على أننا نحصل على متجه العزم ﺝ من خلال الضرب الاتجاهي لمتجه الإزاحة ﺭ ومتجه القوة ﻕ. متجه الإزاحة ﺭ هو تحديدًا متجه الإزاحة الذي تؤثر عنده القوة بالنسبة إلى النقطة التي نحسب العزم حولها. في هذه الحالة، نحسب العزم حول ﺃ لكن القوة المؤثرة عند ﺟ. هذا يعني أن متجه الإزاحة ﺭ الذي نبحث عنه في هذا السؤال هو المتجه الذي يصل من ﺃ إلى ﺟ.
وباستخدام ترميز المتجه، يمكننا القول إن المتجه ﺭ يساوي المتجه 𝐀𝐂. يمكننا الآن رؤية كلا المتجهين ﻕ وﺭ في الشكل. التحدي في هذا السؤال هو أنه لحساب حاصل الضرب الاتجاهي لهذين المتجهين، علينا إيجاد مركباتهما. ويمكننا فعل ذلك باستخدام القياسات الموضحة في الشكل. لنبدأ بإيجاد مركبات متجه الإزاحة ﺭ.
يمكننا فعل ذلك عن طريق التفكير في كيفية الانتقال من ﺃ إلى ﺟ. بدءًا من ﺃ، يمكننا الانتقال بمسافة معينة في الاتجاه الموجب للمحور ﻉ، ثم الانتقال بمسافة معينة في الاتجاه الموجب للمحور ﺹ. وبذلك سنصل إلى النقطة ﺟ. باستخدام القياسات الموضحة في الشكل، نلاحظ أن المسافة التي علينا قطعها في اتجاه المحور ﻉ تساوي ١٦ سنتيمترًا زائد ثمانية سنتيمترات، وهو ما يعطينا ٢٤ سنتيمترًا. نلاحظ بعد ذلك أنه علينا الانتقال ١٦ سنتيمترًا في اتجاه المحور ﺹ.
إذن، متجه الإزاحة ﺭ له مركبة ﺱ تساوي صفر سنتيمتر، ومركبة ﺹ تساوي ١٦ سنتيمترًا، ومركبة ﻉ تساوي ٢٤ سنتيمترًا. يمكننا كتابة ذلك على الصورة: صفر ﺱ زائد ١٦ﺹ زائد ٢٤ﻉ؛ حيث ﺱ، ﺹ، ﻉ هي متجهات الوحدة في الاتجاهات ﺱ، ﺹ، ﻉ، على الترتيب. نلاحظ أيضًا في هذه المرحلة أننا نقيس هذا المتجه بوحدة السنتيمتر.
خطوتنا التالية هي إيجاد مركبات متجه القوة ﻕ. نلاحظ من الشكل أن خط المتجه ﻕ يبعد بزاوية ٦٠ درجة عن الخط المستقيم الموازي للمحور ﺱ، ويبعد بزاوية ٣٠ درجة عن الخط المستقيم الموازي للمحور ﻉ. يمكننا إذن استنتاج أن المتجه ﻕ يقع في المستوى ﺱﻉ؛ ومن ثم فهو عمودي على المحور ﺹ كما ورد في نص السؤال. هذا يعني أن المركبة ﺹ لمتجه القوة تساوي صفرًا.
إذا تخيلنا الآن أننا ننظر إلى هذا المتجه من منظور مختلف، أي عند النظر إلى الاتجاه السالب للمحور ﺹ، فسيبدو مثل الشكل الموضح تقريبًا؛ حيث تكون هذه هي المركبة ﻉ لمتجه القوة، ويمكن أن نسميها ﻕﻉ، وهذه هي المركبة ﺱ لمتجه القوة، وسنسميها ﻕﺱ. بما أن المتجه ﻕ ومركبتيه ﻕﻉ وﻕﺱ تصنع جميعها مثلثًا قائم الزاوية، يمكننا استخدام حساب المثلثات لإيجاد مقداري المركبتين.
مقدار المتجه ﻕ يساوي ستة نيوتن. إذن، يمكننا القول إن طول وتر المثلث هو ستة. هذا يعني أن مقدار المركبة ﻉ يساوي ستة جا ٦٠ درجة، ومقدار المركبة ﺱ يساوي ستة جتا ٦٠ درجة. من المهم ملاحظة أن هذه القيم مجرد مقادير للمركبات. وبما أن ﻕﻉ تشير إلى الاتجاه السالب للمحور ﻉ، فهذا يعني أن المركبة ﻉ للمتجه ﻕ تساوي سالب ستة جا ٦٠ ﻉ. وبما أن ﻕﺱ تشير إلى الاتجاه الموجب للمحور ﺱ، فإن المركبة ﺱ للمتجه ﻕ تساوي ستة جتا ٦٠ ﺱ. إننا نعلم أن جا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين، وجتا ٦٠ درجة يساوي نصفًا. هذا يعني أنه يمكن تبسيط المركبتين ﻉ وﺱ إلى سالب ثلاثة جذر ثلاثة ﻉ وثلاثة ﺱ، على الترتيب.
وبما أننا نعلم أن المركبة ﺹ تساوي صفرًا، نجد أن ﻕ تساوي ثلاثة ﺱ زائد صفر ﺹ ناقص ثلاثة جذر ثلاثة ﻉ. ونلاحظ هذه المرة أن وحدة قياس هذا المتجه هي النيوتن. الآن، يمكننا حساب الضرب الاتجاهي للمتجهين. إننا نحصل على حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺭ وﻕ من خلال محدد هذه المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة؛ حيث تكون عناصر الصف العلوي هي متجهات الوحدة ﺱ، ﺹ، ﻉ. والعناصر الموجودة في الصف الأوسط هي المركبات ﺱ، ﺹ، ﻉ لمتجه الإزاحة ﺭ، وتكتب دون متجهات الوحدة. والعناصر الموجودة في الصف السفلي هي مركبات المتجه ﻕ، والتي تكتب أيضًا دون متجهات الوحدة.
من المهم ملاحظة أن ترتيب كتابة هذين المتجهين يؤثر على موضعيها في المصفوفة، وهو ما يؤثر بدوره على الناتج الذي سنحصل عليه. بعبارة أخرى، حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺭ وﻕ لا يساوي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﻕ وﺭ. هذا يعني أن علينا أن ننتبه للحفاظ على الترتيب الصحيح عند حساب حاصل الضرب الاتجاهي. بما أننا قد حسبنا جميع مركبات ﺭ وﻕ، يمكننا الآن كتابة هذه المركبات في المصفوفة. بالنسبة للمتجه ﺭ، المركبة ﺱ تساوي صفرًا، والمركبة ﺹ تساوي ١٦، والمركبة ﻉ تساوي ٢٤. وبالنسبة للمتجه ﻕ، المركبة ﺱ تساوي ثلاثة، والمركبة ﺹ تساوي صفرًا، والمركبة ﻉ تساوي سالب ثلاثة جذر ثلاثة.
يمكن إيجاد قيمة محدد أي مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة في ثلاث خطوات. أولًا: نضرب متجه الوحدة ﺱ في ١٦ في سالب ثلاثة جذر ثلاثة ناقص ٢٤ في صفر. ويمكن تبسيط المقدار الموجود داخل القوسين ليصبح سالب ٤٨ جذر ثلاثة ناقص صفر. إذن، الحد الأول هو سالب ٤٨ جذر ثلاثة ﺱ.
بعد ذلك، نطرح متجه الوحدة ﺹ مضروبًا في صفر مضروبًا في سالب ثلاثة جذر ثلاثة ناقص ٢٤ مضروبًا في ثلاثة. هذه المرة، يمكن تبسيط المقدار داخل القوسين إلى صفر ناقص ٧٢. وبما أن هذا يساوي سالب ٧٢، فإن الحد الثاني يصبح موجب ٧٢ﺹ. وأخيرًا، لدينا متجه الوحدة ﻉ مضروبًا في صفر مضروبًا في صفر ناقص ١٦ مضروبًا في ثلاثة. المقدار الموجود داخل القوسين يساوي سالب ٤٨. إذن، الحد الثالث في المتجه هو سالب ٤٨ﻉ.
حصلنا الآن على الإجابة النهائية للسؤال. متجه العزم للقوة المؤثرة عند ﺟ حول النقطة ﺃ هو سالب ٤٨ جذر ثلاثة ﺱ زائد ٧٢ﺹ ناقص ٤٨ﻉ. وفي هذه الحالة، بما أن متجه الإزاحة كان مقيسًا بالسنتيمتر ومتجه القوة كان مقيسًا بالنيوتن، فإن وحدة قياس متجه العزم ستكون بالنيوتن سنتيمتر.
