فيديو: حساب التكامل المحدد لدالة كثيرة الحدود

احسب ‪∫_(0) ^(1) (8𝑣⁷ + 12𝑣³ + 3)d𝑣‬‏.

٠٣:٢١

‏نسخة الفيديو النصية

احسب التكامل بين واحد وصفر لثمانية 𝑣 مرفوع للقوة الأسية سبعة زائد 12𝑣 تكعيب زائد ثلاثة d𝑣.

إذا أردنا حساب هذا التكامل المحدد، فالخطوة الأولى هي إجراء عملية التكامل للمقدار. وللتذكير بالكيفية التي نفعل بها ذلك، لدينا الصيغة العامة التي تنص على أن تكامل 𝑎𝑢 مرفوعًا للقوة الأسية𝑛 d𝑢 يساوي 𝑎𝑢 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑛 زائد واحد على 𝑛 زائد واحد زائد 𝐶.

فما الذي يعنيه ذلك عمليًا؟ عمليًا، هذا يعني أننا نزيد أس الحد واحدًا، ثم نقسم على الأس الجديد. وجدير بالملاحظة أيضًا أنه بما أننا نتعامل مع تكامل محدد في هذه المسألة، فلسنا بحاجة إلى أن نضيف موجب 𝐶 في النهاية.

حسنًا، رائع! هيا نحسب إذن تكامل المقدار. حدنا الأول سيكون ثمانية على ثمانية 𝑣 مرفوع للقوة الأسية ثمانية. والسبب في ذلك أننا نزيد الأس بمقدار واحد، فتصبح السبعة ثمانية، ثم نقسم على هذا الأس الجديد، أي على ثمانية. وهكذا يصبح لدينا 12 على أربعة 𝑣 مرفوع للقوة الأسية أربعة. ومن ثم يصبح الحد النهائي ثلاثة 𝑣.

حسنًا، رائع! ها قد انتهينا من عملية التكامل. فماذا سنفعل الآن؟ لنتأمل ما يلي: إذا كان لدينا تكامل الدالة 𝑓 في المتغير 𝑢 d𝑢 يساوي الدالة 𝑔 في المتغير 𝑢 زائد 𝐶، يمكننا إذن القول إن التكامل بين 𝑏 و𝑎 للدالة 𝑓 في المتغير 𝑢 d𝑢، يساوي الدالة 𝑔 في المتغير 𝑢، ثم الحدين 𝑏 و𝑎، وهي المرحلة التي نحن فيها، حيث أجرينا عملية التكامل ولدينا الحدان: 𝑏 وهو الحد العلوي، و𝑎 وهو الحد السفلي.

سيساوي ذلك إذن 𝑔 لـ 𝑏 ناقص 𝑔 لـ 𝑎. وهذا يعني قيمة الدالة 𝑔 عند الحد العلوي ناقص قيمة الدالة 𝑔 عند الحد السفلي. حسنًا، رائع! والآن نعرف ما علينا فعله. لنجر الخطوة التالية باستخدام المقدار الذي لدينا. لإتمام هذه الخطوة، ما سنفعله أولًا هو التعويض عن 𝑣 بواحد.

لكن قبل ذلك مباشرة، سنجري تبسيطًا للمقدار من خلال خطوة أخرى إضافية لجعل الأمر أكثر سهولة، ما يعطينا 𝑣 مرفوعًا للقوة الأسية ثمانية زائد ثلاثة 𝑣 مرفوع للقوة الأسية أربعة زائد ثلاثة 𝑣، ثم الحدين واحد وصفر. والآن يمكننا إجراء الخطوة النهائية والتعويض عن 𝑣 بواحد، وعن 𝑣 بصفر، للحصول على قيمة الدالة عند الحدين العلوي والسفلي.

سنحصل إذن على واحد مرفوع للقوة الأسية ثمانية، زائد ثلاثة في واحد مرفوع للقوة الأسية أربعة، زائد ثلاثة في واحد، ثم ناقص صفر مرفوع للقوة الأسية ثمانية، زائد ثلاثة في صفر مرفوع للقوة الأسية أربعة، زائد ثلاثة في صفر. ونرى أن قيمة الدالة عند الحد السفلي ستكون صفرًا، حيث كنا نضرب في صفر خلال العملية بأكملها.

لذا سنحصل على واحد زائد ثلاثة زائد ثلاثة، ما يساوي سبعة. ومن ثم يمكننا القول إنه إذا أجرينا حساب التكامل لثمانية 𝑣 مرفوع للقوة الأسية سبعة زائد 12𝑣 تكعيب زائد ثلاثة d𝑣، بين الحدين واحد وصفر، فالإجابة إذن ستساوي سبعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.