نسخة الفيديو النصية
انظر المعادلة ﺹ يساوي ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ زائد ثلاثة. فيما يلي، أوجد الحل بملء الفراغ. الجزء (١) الإحداثيان اثنان، فراغ، الجزء (٢) الإحداثيان سالب واحد، فراغ، الجزء (٣) الإحداثيان صفر، فراغ، والجزء (٤) الإحداثيان أربعة، فراغ. تلك الحلول على الصورة ﺱ، ﺹ يمكن تمثيلها كما في الشكل الموضح. ما الصحيح لتمثيل أي حلول أخرى في المستوى؟ الخيار (أ) ستقع في نفس الربع. الخيار (ب) لن تقع في نفس الربع. الخيار (ج) لن تقع على المنحنى. الخيار (د) ستقع على المحور ﺱ. أم الخيار (هـ) ستقع على المنحنى.
في هذا السؤال، نتناول المعادلة التربيعية المعطاة: ﺹ يساوي ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ زائد ثلاثة. ولدينا رسم لهذا التمثيل البياني. علينا استخدام هاتين المعلومتين للإجابة عن خمسة أسئلة حول هذه المعادلة. وتتعلق الأجزاء الأربعة الأولى بإيجاد حلول لهذه المعادلة. أي قيمتي ﺱ وﺹ اللتين تحققان المعادلة. ويمكننا البدء بتذكر أنه في أي زوج مرتب مثل هذا، تمثل القيمة الأولى قيمة ﺱ، وتمثل القيمة الثانية قيمة ﺹ.
إذن، الجزء الأول من هذا السؤال يطلب منا تحديد قيمة ﺹ عند ﺱ يساوي اثنين. يمكننا التعويض بـ ﺱ يساوي اثنين في المعادلة التربيعية. فنحصل على ﺹ يساوي اثنين تربيع ناقص خمسة في اثنين زائد ثلاثة. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة هذا المقدار. اثنان تربيع يساوي أربعة، وخمسة في اثنين يساوي ١٠. وبذلك، نحصل على أربعة ناقص ١٠ زائد ثلاثة، وهو ما يساوي سالب ثلاثة. ومن ثم، نكون قد أوضحنا أنه إذا كان ﺱ يساوي اثنين، فإن ﺹ لا بد أن يساوي سالب ثلاثة. وهذه هي القيمة الناقصة في الزوج المرتب المطلوب لإيجاد الحل. إذن، إجابة الجزء الأول من هذا السؤال هي: اثنان، سالب ثلاثة.
يمكننا اتباع الطريقة نفسها لإيجاد القيم الثلاث الناقصة الأخرى. هيا نتناول الجزء الثاني. قيمة ﺱ هنا هي سالب واحد. نعوض بهذه القيمة في المعادلة التربيعية لنحصل على ﺹ يساوي سالب واحد تربيع ناقص خمسة في سالب واحد زائد ثلاثة، وهو ما يمكننا إيجاد قيمته. سالب واحد تربيع يساوي واحدًا، وسالب خمسة في سالب واحد يساوي خمسة. إذن، يصبح لدينا واحد زائد خمسة زائد ثلاثة، وبحساب ذلك نجد أنه يساوي تسعة. ومن ثم، نكون قد أوضحنا أنه عند ﺱ يساوي سالب واحد، فإن قيمة ﺹ يجب أن تساوي تسعة. إذن، إجابة الجزء الثاني من هذا السؤال هي: سالب واحد، تسعة.
يمكننا متابعة هذه الطريقة في الجزء الثالث من السؤال. نعوض بـ ﺱ يساوي صفرًا في المعادلة التربيعية. يصبح لدينا ﺹ يساوي صفرًا تربيع ناقص خمسة في صفر زائد ثلاثة. ونجد أن الحدين الأولين لهما عامل مشترك يساوي صفرًا. إذن، قيمة هذا تساوي ثلاثة. ومن ثم، يكون حل الجزء الثالث من هذا السؤال هو: صفر، ثلاثة. وأخيرًا، في الجزء الرابع من هذا السؤال، نعوض بـ ﺱ يساوي أربعة في المعادلة التربيعية. يصبح لدينا ﺹ يساوي أربعة تربيع ناقص خمسة في أربعة زائد ثلاثة، وهو ما يساوي سالب واحد، ما يعطينا إجابة الجزء الرابع من هذا السؤال وهي: أربعة، سالب واحد.
في الجزء التالي من هذا السؤال، نرسم الأزواج المرتبة لقيم ﺱ وﺹ على محورين. وهذا يعني أننا سنرسم جميع حلول المعادلة ﺹ يساوي ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ زائد ثلاثة. ومن ثم، يجب أن يمثل الإحداثيان ﺱ وﺹ لأي نقطة تقع على هذا المنحنى حلًّا للمعادلة التربيعية. على سبيل المثال، بما أن النقطة التي إحداثياتها خمسة، ثلاثة تقع على المنحنى، فيمكننا استنتاج أن الزوج المرتب ﺱ يساوي خمسة، وﺹ يساوي ثلاثة يحل المعادلة التربيعية. وهذا يعد نتيجة مباشرة لرسم كل النقاط التي تحل المعادلة. وهذا يكفي للإجابة عن السؤال. علينا تحديد أي حل آخر يمكن رسمه على المستوى.
بما أن المنحنى يضم جميع حلول المعادلة التربيعية، فيمكننا استنتاج أن أي حل آخر لا بد أن يقع أيضًا على المنحنى. وهذا هو الخيار (هـ)، أي أنها ستقع على المنحنى.
