نسخة الفيديو النصية
ابحث قابلية الاشتقاق للدالة ﺩﺱ تساوي سالب أربعة ﺱ زائد واحد على ﺱ عند ﺱ يساوي سالب سبعة.
لدينا الدالة ﺩﺱ تساوي سالب أربعة ﺱ زائد واحد على ﺱ. والمطلوب منا هو بحث قابلية اشتقاق هذه الدالة عند ﺱ يساوي سالب سبعة.
حسنًا، أول ما يجب التحقق منه عند التفكير في قابلية اشتقاق دالة عند نقطة هو ما إذا كانت هذه الدالة متصلة عند هذه النقطة أم لا. وذلك لأنه إذا كانت لدينا دالة، ﺩﺱ، قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي ﺃ، فإن ﺩ تكون متصلة عند ﺱ يساوي ﺃ. هذا يعني أنه لكي تكون الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة، فلا بد أن تكون متصلة عند هذه النقطة. وإذا لم تكن متصلة عند هذه النقطة، فلن تكون قابلة للاشتقاق. لكن العكس ليس صحيحًا بالضرورة. يمكن لدالة أن تكون متصلة عند نقطة دون أن تكون قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة.
إذن، يجب أن تكون الدالة لدينا متصلة عند ﺱ يساوي سالب سبعة. وبمجرد التحقق من ذلك، سنحدد إذا ما كانت المشتقة موجودة عند هذه النقطة. حسنًا، توجد ثلاثة شروط يجب تحققها لكي تكون الدالة متصلة عند نقطة. هذه الشروط هي: أن تكون الدالة ﺩ عند ﺱ يساوي ﺃ موجودة، وأن تكون نهاية الدالة ﺩﺱ موجودة عندما يقترب ﺱ من ﺃ، وأن تكون نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ تساوي ﺩ عند ﺱ يساوي ﺃ.
الدالة ﺩﺱ لدينا تساوي سالب أربعة ﺱ زائد واحد على ﺱ. بالنظر إلى الشرط الأول، نجد أن علينا التحقق مما إذا كانت ﺩ لسالب سبعة موجودة أم لا. بالتعويض بسالب سبعة في الدالة لدينا، نحصل على سالب أربعة في سالب سبعة زائد واحد على سالب سبعة. وهذا يساوي ٢٨ ناقص واحد على سبعة، ما يساوي ٢٤ على سبعة. إذن ﺩ لسالب سبعة موجودة وتساوي ٢٤ على سبعة. وبذلك يتحقق شرط الاتصال الأول.
علينا الآن التحقق من الشرط الثاني الذي يوضح أن نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ يجب أن تكون موجودة. في الحالة لدينا، هذا يعني التحقق من أن نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب سبعة موجودة. عندما يقترب ﺱ من سالب سبعة، فإن الدالة لدينا تقترب من سالب أربعة في سالب سبعة زائد واحد على سالب سبعة. ونحن نعلم بالفعل أن هذا يساوي ٢٤ على سبعة، ما يعني أن نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب سبعة موجودة. وبذلك يتحقق الشرط الثاني الخاص بالاتصال عند نقطة محددة.
وبالنسبة إلى الشرط الثالث، فإننا نريد معرفة أن نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ تساوي ﺩﺃ. ونحن نعلم أن هذا صحيح بالنظر إلى الشرطين الأول والثاني. نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب سبعة تساوي ٢٤ على سبعة، والتي تساوي قيمة ﺩﺃ. وبذلك يتحقق شرط الاتصال الثالث.
وبما أننا نعلم أن الدالة لدينا متصلة عند ﺱ يساوي سالب سبعة، يمكننا التحقق من قابلية الاشتقاق عند هذه النقطة. حسنًا، شرط قابلية الاشتقاق عند نقطة هو أن تكون ﺩﺱ قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي ﺃ، إذا كانت ﺩ شرطة ﺃ موجودة. إذن، إذا تمكنا من إثبات أن مشتقة ﺩﺱ تساوي سالب سبعة موجودة، فهذا يعني أن الدالة لدينا قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة.
يمكننا كتابة المشتقة على الصورة ﺩ شرطة ﺱ أو ﺩﺩ على ﺩﺱ، وهو ترميز ليبنتز. وهذا يساوي ﺩ على ﺩﺱ لسالب أربعة ﺱ زائد واحد على ﺱ. وبما أن واحدًا على ﺱ يساوي ﺱ أس سالب واحد، يصبح لدينا ﺩ على ﺩﺱ لسالب أربعة ﺱ زائد ﺱ أس سالب واحد.
والآن، سنشتق الحد الأول لدينا، أي سالب أربعة ﺱ، ونحن نعلم أن مشتقة ﺱ مضروبة في أي ثابت تساوي هذا الثابت. إذن، ﺩ على ﺩﺱ لسالب أربعة ﺱ تساوي سالب أربعة. وبالنسبة إلى الحد الثاني لدينا، ﺱ أس سالب واحد، يمكننا استخدام قاعدة القوة. وهي توضح أن ﺩ على ﺩﺱ لـ ﺃﺱ أس ﻥ تساوي ﻥ في ﺃ في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. بعبارة أخرى، نضرب في الأس ونطرح واحدًا من هذا الأس. إذن، ﺩ على ﺩﺱ لـ ﺱ أس سالب واحد تساوي سالب ﺱ أس سالب اثنين، وبذلك يكون لدينا سالب أربعة ناقص واحد على ﺱ تربيع.
حسنًا، سؤالنا هو: هل ﺩ شرطة لسالب سبعة موجودة؟ بالتعويض بسالب سبعة في المشتقة ﺩ شرطة، أي ﺩﺩ على ﺩﺱ، نحصل على سالب أربعة ناقص واحد على سالب سبعة تربيع. وهذا يساوي سالب ٤٫٠٢ لأقرب منزلتين عشريتين، ما يعني أن ﺩ شرطة ﺃ موجودة، وبذلك يتحقق شرط قابلية الاشتقاق. يمكننا إذن قول إن ﺩﺱ تساوي سالب أربعة ﺱ زائد واحد على ﺱ قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب سبعة؛ لأن ﺩ شرطة عند ﺱ يساوي سالب سبعة موجودة.
وجدير بالذكر أننا إذا كنا نبحث عن قابلية اشتقاق الدالة ﺩﺱ عند ﺱ يساوي صفرًا، كانت النتيجة مختلفة. وذلك لأنه بما أن لدينا الحد واحدًا على ﺱ في هذه الدالة، فعند ﺱ يساوي صفرًا، هذا الحد يكون غير معرف. إذن، ﺩ لصفر غير موجودة، والدالة ليست متصلة عند تلك النقطة، ما يعني أنها ستكون غير قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي صفرًا.
