نسخة الفيديو النصية
ﺃﺏ قضيب غير منتظم طوله ٧٧ سنتيمترًا، يرتكز في وضع أفقي على حامل يبعد ٢٦ سنتيمترًا عن الطرف ﺃ. ظل القضيب في حالة اتزان بعد تعليق وزن قدره ١٦ نيوتن عند الطرف ﺃ، ووزن آخر قدره اثنان نيوتن عند الطرف ﺏ. إذا تغيرت المسافة بين الحامل والطرف ﺃ لتصبح ٢٣ سنتيمترًا، فإن القضيب يظل في حالة اتزان من خلال تعليق وزن قدره ١٨ نيوتن عند الطرف ﺃ فقط. أوجد مقدار الوزن ﻭ للقضيب، والمسافة ﻑ بين خط عمل وزن القضيب والنقطة ﺃ. قرب إجابتيك لأقرب منزلتين عشريتين.
في هذا السؤال، لدينا حالتان مختلفتان للقضيب ﺃﺏ. وسنبدأ برسم هاتين الحالتين. علمنا أن طول القضيب ﺃﺏ يساوي ٧٧ سنتيمترًا. في الحالة الأولى، ظل القضيب في وضع أفقي مرتكزًا على حامل يبعد ٢٦ سنتيمترًا عن الطرف ﺃ. سينتج هذا الحامل قوة رد فعل عمودية ﺭ تؤثر رأسيًّا لأعلى. وعلمنا من السؤال أن هذا القضيب ظل في حالة اتزان بعد تعليق وزنين مقدارهما ١٦ نيوتن واثنان نيوتن عند الطرفين ﺃ وﺏ على الترتيب.
في الحالة الثانية، وضع الحامل على بعد ٢٣ سنتيمترًا من الطرف ﺃ. ظل القضيب في حالة اتزان هذه المرة بعد تعليق وزن قدره ١٨ نيوتن عند الطرف ﺃ فقط. المطلوب منا هو حساب مقدار الوزن ﻭ للقضيب، والمسافة ﻑ بين خط عمل وزن القضيب والنقطة ﺃ. من المهم أن نلاحظ هنا أنه نظرًا إلى أن ﺃﺏ قضيب غير منتظم، فلن يؤثر الوزن عند نقطة المنتصف، أما لو كان منتظمًا فإن الوزن كان سيؤثر عند نقطة منتصف ﺃﺏ.
سنجيب على هذا السؤال باستخدام ما نعرفه عن العزوم. عندما يكون جسم في حالة اتزان، كما في هذه الحالة، نعلم أن مجموع العزوم يساوي صفرًا؛ حيث عزم القوة يساوي ﻕ مضروبًا في ﻝ. ﻕ هي قوة تؤثر على نقطة ما، وﻝ هي المسافة العمودية من هذه النقطة إلى النقطة التي نأخذ حولها العزوم. سنفرغ الآن بعض المساحة، ثم نأخذ العزوم حول نقطة في كلتا الحالتين.
لعلنا نتذكر أننا نحاول إيجاد مقدار الوزن ﻭ للقضيب، والمسافة ﻑ بين خط عمل وزن القضيب والنقطة ﺃ، مع تقريب الإجابتين لأقرب منزلتين عشريتين. يمكننا أن نأخذ العزوم حول أي نقطة على القضيب، ويكون هذا غالبًا عند أحد الطرفين. لكن في هذه الحالة، نظرًا إلى أننا لا نعرف قيمة قوة رد الفعل ﺭ، فسنأخذ العزوم حول هذه النقطة في كل حالة. ونتيجة لذلك، يجدر بنا إضافة بعض المسافات إلى الشكل، كما هو موضح. في كلتا الحالتين، سنجعل اتجاه العزوم في عكس اتجاه عقارب الساعة موجبًا. ونظرًا إلى أن قوة رد الفعل ﺭ تؤثر عند النقطة التي نأخذ حولها العزوم، فهذا سيجعل العزم يساوي صفرًا؛ لأن مسافتها من النقطة ﻝ تساوي صفرًا.
تؤثر القوة التي تساوي ١٦ نيوتن عكس اتجاه عقارب الساعة حول هذه النقطة، ومن ثم سيكون لهذه القوة عزم موجب. وهذا يساوي ١٦ مضروبًا في المسافة العمودية التي تساوي ٢٦ سنتيمترًا. تؤثر قوة الوزن في اتجاه عقارب الساعة حول هذه النقطة، إذن سيكون لهذه القوة عزم سالب. وهو يساوي سالب ﻭ مضروبًا في ﻑ ناقص ٢٦. وسيكون أيضًا للقوة التي قدرها اثنان نيوتن عزم سالب، وهو يساوي سالب اثنين مضروبًا في ٥١. مجموع هذه العزوم الثلاثة يساوي صفرًا. تبسط هذه المعادلة إلى ٤١٦ ناقص ﻭﻑ زائد ٢٦ﻭ ناقص ١٠٢ يساوي صفرًا. بإضافة ﻭﻑ إلى كلا طرفي المعادلة وتجميع الحدود المتشابهة، نحصل على ﻭﻑ يساوي ٢٦ﻭ زائد ٣١٤. سنسمي هذه المعادلة «المعادلة واحدًا».
نكرر هذه العملية الآن في الحالة الثانية. مرة أخرى، تؤثر القوة عند النقطة ﺃ عكس اتجاه عقارب الساعة. ولهذا السبب، سيكون لدينا عزم موجب يساوي ١٨ مضروبًا في ٢٣ سنتيمترًا. وكما ذكرنا من قبل، فقوة رد الفعل سيكون لها عزم يساوي صفرًا. إذن القوة الوحيدة الأخرى التي علينا التفكير فيها هي قوة الوزن. تؤثر قوة الوزن هذه باتجاه عقارب الساعة حول هذه النقطة، ما يعطينا عزمًا يساوي سالب ﻭ مضروبًا في ﻑ ناقص ٢٣. مرة أخرى، يساوي مجموع العزوم صفرًا. وتبسط المعادلة إلى ٤١٤ ناقص ﻭﻑ زائد ٢٣ﻭ يساوي صفرًا. مرة أخرى، بجعل ﻭﻑ المتغير التابع، نحصل على ﻭﻑ يساوي ٢٣ﻭ زائد ٤١٤. سنسمي هذه المعادلة «المعادلة اثنين». أصبح لدينا الآن معادلتان آنيتان يمكننا حلهما لحساب قيمتي ﻭ وﻑ.
نظرًا إلى أن الطرفين الأيسرين في كلتا المعادلتين متساويان، فلا بد أن يكون الطرفان الأيمنان فيهما متساويين. ٢٦ﻭ زائد ٣١٤ يساوي ٢٣ﻭ زائد ٤١٤. بطرح ٣١٤ و٢٣ﻭ من كلا الطرفين، نحصل على ثلاثة ﻭ يساوي ١٠٠. إذن، ﻭ يساوي ١٠٠ على ثلاثة. وهذا يساوي ٣٣٫٣ دوري، الذي سيساوي لأقرب منزلتين عشريتين ٣٣٫٣٣. إذن، مقدار وزن القضيب يساوي ٣٣٫٣٣ نيوتن. بإعادة ترتيب «المعادلة واحد» لجعل ﻑ المتغير التابع، نحصل على ﻑ يساوي ٢٦ﻭ زائد ٣١٤ مقسومًا على ﻭ. يمكننا الآن أن نعوض بالقيمة الدقيقة لـ ﻭ في الطرف الأيسر من هذه المعادلة لحساب قيمة ﻑ. وهذا يعطينا ٣٥٫٤٢. إذن، المسافة ﻑ بين خط عمل وزن القضيب والنقطة ﺃ تساوي ٣٥٫٤٢ سنتيمترًا. وهكذا، حصلنا على الإجابتين المطلوبتين لهذا السؤال مقربتين لأقرب منزلتين عشريتين.