فيديو السؤال: حساب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين معطيين على شبكة رسم الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل المتجهين ‪𝚨‬‏ و‪𝚩‬‏. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي واحدًا. احسب ‪𝚨‬‏ مضروبًا ضربًا اتجاهيًّا في ‪𝚩‬‏.

يسألنا هذا السؤال عن الضرب الاتجاهي، ولدينا شكل يوضح متجهين. نعلم أن طول ضلع مربعات شبكة الرسم في هذا الشكل يساوي واحدًا. ومطلوب منا حساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝚨‬‏ و‪𝚩‬‏ في الشكل. لنبدأ بكتابة هذين المتجهين في الصورة المركبة. علينا إيجاد المركبتين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ لكل متجه من الشكل. سنضيف محور ‪𝑥‬‏ ومحور ‪𝑦‬‏ إلى الشكل لجعل هذه العملية أكثر وضوحًا. نلاحظ أن المتجه ‪𝚨‬‏ يمتد موجب أربع وحدات في الاتجاه ‪𝑥‬‏، وموجب وحدة واحدة في الاتجاه ‪𝑦‬‏.

تذكر أن متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑥‬‏ يسمى ‪𝐢‬‏، وأن متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑦‬‏ هو ‪𝐣‬‏. لذا يمكننا كتابة المتجه ‪𝚨‬‏ على صورة المركبة ‪𝑥‬‏، التي تساوي أربعة مضروبة في ‪𝐢‬‏، زائد المركبة ‪𝑦‬‏، التي تساوي واحدًا، مضروبة في ‪𝐣‬‏. بالنسبة للمتجه ‪𝚩‬‏، نلاحظ أنه يمتد موجب ثلاث وحدات في الاتجاه ‪𝑥‬‏، وموجب خمس وحدات في الاتجاه ‪𝑦‬‏. ومن ثم، يمكننا كتابة ‪𝚩‬‏ يساوي المركبة ‪𝑥‬‏، التي تساوي ثلاثة، مضروبة في ‪𝐢‬‏ زائد المركبة ‪𝑦‬‏، التي تساوي خمسة، مضروبة في ‪𝐣‬‏. لدينا الآن صيغتان لكل من المتجه ‪𝚨‬‏ والمتجه ‪𝚩‬‏ في الصورة المركبة.

يطلب منا السؤال حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝚨‬‏ في ‪𝚩‬‏. لذا دعونا نتذكر تعريف الضرب الاتجاهي لمتجهين. للقيام بذلك، سنعرف متجهين عامين يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. وسنشير إلى هذين المتجهين بالحرفين الصغيرين ‪𝐚‬‏ و‪𝐛‬‏؛ حيث نستخدم الحروف الصغيرة لتمييز هذه الحالة العامة عن المتجهين المحددين في السؤال. يمكننا كتابة هذين المتجهين العامين في الصورة المركبة، مع الإشارة إلى مركبتي ‪𝑥‬‏ برمز سفلي ‪𝑥‬‏، وإلى مركبتي ‪𝑦‬‏ برمز سفلي ‪𝑦‬‏. بعد ذلك، يعرف حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐚‬‏ في ‪𝐛‬‏ بأنه يساوي المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐚‬‏ مضروبة في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐛‬‏ ناقص المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐚‬‏ مضروبة في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐛‬‏ الكل مضروب في ‪𝐤‬‏، وهو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑧‬‏.

يمكننا استخدام هذا التعريف لحساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين في السؤال، وهما ‪𝚨‬‏ و‪𝚩‬‏ بالحرفين الكبيرين. نحاول حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝚨‬‏ في ‪𝚩‬‏ بالحرفين الكبيرين. إذن، الحد الأول هو المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝚨‬‏، التي تساوي أربعة، مضروبة في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝚩‬‏، التي تساوي خمسة. ومن هذا، سنطرح الحد الثاني. الحد الثاني هو المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝚨‬‏، التي تساوي واحدًا، مضروبة في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝚩‬‏، التي تساوي ثلاثة. بعد ذلك، سنضرب الكل في متجه الوحدة ‪𝐤‬‏. عند إجراء عمليات الضرب، نجد أن الحد الأول يساوي 20، والحد الثاني يساوي ثلاثة. ثم بطرح ثلاثة من 20، نحصل على إجابة السؤال، وهي أن حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝚨‬‏ في ‪𝚩‬‏ يساوي 17‪𝐤‬‏.