نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل المتجهين 𝚨 و𝚩. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي واحدًا. احسب 𝚨 مضروبًا ضربًا اتجاهيًّا في 𝚩.
يسألنا هذا السؤال عن الضرب الاتجاهي، ولدينا شكل يوضح متجهين. نعلم أن طول ضلع مربعات شبكة الرسم في هذا الشكل يساوي واحدًا. ومطلوب منا حساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين 𝚨 و𝚩 في الشكل. لنبدأ بكتابة هذين المتجهين في الصورة المركبة. علينا إيجاد المركبتين 𝑥 و𝑦 لكل متجه من الشكل. سنضيف محور 𝑥 ومحور 𝑦 إلى الشكل لجعل هذه العملية أكثر وضوحًا. نلاحظ أن المتجه 𝚨 يمتد موجب أربع وحدات في الاتجاه 𝑥، وموجب وحدة واحدة في الاتجاه 𝑦.
تذكر أن متجه الوحدة في الاتجاه 𝑥 يسمى 𝐢، وأن متجه الوحدة في الاتجاه 𝑦 هو 𝐣. لذا يمكننا كتابة المتجه 𝚨 على صورة المركبة 𝑥، التي تساوي أربعة مضروبة في 𝐢، زائد المركبة 𝑦، التي تساوي واحدًا، مضروبة في 𝐣. بالنسبة للمتجه 𝚩، نلاحظ أنه يمتد موجب ثلاث وحدات في الاتجاه 𝑥، وموجب خمس وحدات في الاتجاه 𝑦. ومن ثم، يمكننا كتابة 𝚩 يساوي المركبة 𝑥، التي تساوي ثلاثة، مضروبة في 𝐢 زائد المركبة 𝑦، التي تساوي خمسة، مضروبة في 𝐣. لدينا الآن صيغتان لكل من المتجه 𝚨 والمتجه 𝚩 في الصورة المركبة.
يطلب منا السؤال حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝚨 في 𝚩. لذا دعونا نتذكر تعريف الضرب الاتجاهي لمتجهين. للقيام بذلك، سنعرف متجهين عامين يقعان في المستوى 𝑥𝑦. وسنشير إلى هذين المتجهين بالحرفين الصغيرين 𝐚 و𝐛؛ حيث نستخدم الحروف الصغيرة لتمييز هذه الحالة العامة عن المتجهين المحددين في السؤال. يمكننا كتابة هذين المتجهين العامين في الصورة المركبة، مع الإشارة إلى مركبتي 𝑥 برمز سفلي 𝑥، وإلى مركبتي 𝑦 برمز سفلي 𝑦. بعد ذلك، يعرف حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐚 في 𝐛 بأنه يساوي المركبة 𝑥 للمتجه 𝐚 مضروبة في المركبة 𝑦 للمتجه 𝐛 ناقص المركبة 𝑦 للمتجه 𝐚 مضروبة في المركبة 𝑥 للمتجه 𝐛 الكل مضروب في 𝐤، وهو متجه الوحدة في الاتجاه 𝑧.
يمكننا استخدام هذا التعريف لحساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين في السؤال، وهما 𝚨 و𝚩 بالحرفين الكبيرين. نحاول حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝚨 في 𝚩 بالحرفين الكبيرين. إذن، الحد الأول هو المركبة 𝑥 للمتجه 𝚨، التي تساوي أربعة، مضروبة في المركبة 𝑦 للمتجه 𝚩، التي تساوي خمسة. ومن هذا، سنطرح الحد الثاني. الحد الثاني هو المركبة 𝑦 للمتجه 𝚨، التي تساوي واحدًا، مضروبة في المركبة 𝑥 للمتجه 𝚩، التي تساوي ثلاثة. بعد ذلك، سنضرب الكل في متجه الوحدة 𝐤. عند إجراء عمليات الضرب، نجد أن الحد الأول يساوي 20، والحد الثاني يساوي ثلاثة. ثم بطرح ثلاثة من 20، نحصل على إجابة السؤال، وهي أن حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝚨 في 𝚩 يساوي 17𝐤.
