فيديو السؤال: حل المعادلات المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة الرياضيات

أوجد مجموعة الحلول الممكنة لـ جا^٢ 𝜃 − جتا^٢ 𝜃 = ٠؛ حيث 𝜃 ∈ [٠°‎، ٣٦٠°).

٠٥:٢٨

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة الحلول الممكنة لـ جا تربيع 𝜃 ناقص جتا تربيع 𝜃 يساوي صفرًا؛ حيث 𝜃 أكبر من أو تساوي صفر درجة وأقل من ٣٦٠ درجة.

حسنًا، لحل هذه المسألة، سنستخدم إحدى المتطابقات المثلثية. والمتطابقة التي سنستخدمها هي جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا ناقص جا تربيع 𝜃. وسنستخدم هذه المتطابقة لأننا نريد أن يتبقى لدينا نسبة الجيب أو جيب التمام فقط في المعادلة. عند التعويض بهذا في المعادلة لدينا، نحصل على جا تربيع 𝜃 ناقص واحد ناقص جا تربيع 𝜃 يساوي صفرًا. وبالتبسيط، نحصل على اثنين جا تربيع 𝜃 ناقص واحد يساوي صفرًا.

من الجدير بالذكر أن هناك خطأ شائعًا قد نقع فيه هنا؛ إذ لا بد من الانتباه إلى السالب الموجود أمام القوسين، لأن هذا يعني أن لدينا سالب واحد، ثم سالب واحد مضروبًا في سالب جا تربيع 𝜃، وهو ما يساوي موجب جا تربيع 𝜃. إذن يصبح لدينا اثنان جا تربيع 𝜃 ناقص واحد يساوي صفرًا. بإضافة واحد إلى كلا طرفي المعادلة، نحصل على اثنين جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. وبقسمة الطرفين على اثنين، نحصل على جا تربيع 𝜃 يساوي نصفًا.

والآن، لإيجاد قيمة جا 𝜃، سنأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. ونجد من ذلك أن جا 𝜃 يساوي موجب أو سالب جذر نصف. حسنًا، إن الجذر التربيعي لواحد على اثنين، أو الجذر التربيعي لنصف، يساوي الجذر التربيعي لواحد على الجذر التربيعي لاثنين. وفي هذه الحالة، يمكننا ملاحظة أن لدينا جذرًا أصم في المقام. ونحن بالطبع لا نريد أن يكون لدينا جذر أصم في المقام، لذلك نقوم بإنطاق المقام عن طريق الضرب في جذر اثنين على جذر اثنين، وهو ما يعطينا جذر اثنين على اثنين.

حسنًا رائع، لكن لماذا نريد ذلك؟ أو لماذا نفعل ذلك من الأساس؟ إن ما يتبقى لدينا الآن هو إحدى القيم المثلثية الدقيقة. والقيمة المثلثية الدقيقة التي نعرف أنها تتعلق بما لدينا هي أن جا ٤٥ يساوي جذر اثنين على اثنين. رائع، إذا استخدمنا هذه القيمة المثلثية، فسنجد أن لدينا قيمتين لـ 𝜃، وهما ٤٥ درجة وسالب ٤٥. وذلك لأن لدينا جا 𝜃 يساوي موجب أو سالب جذر اثنين على اثنين. لكن بالتأكيد يمكننا استبعاد سالب ٤٥ درجة مباشرة. وذلك لأنه لا يقع في الفترة الموجودة لدينا، وهي 𝜃 أكبر من أو تساوي صفرًا وأقل من ٣٦٠.

حسنًا، ما نريده الآن هو إيجاد القيم الممكنة الأخرى لـ 𝜃. لنفعل ذلك، سنستخدم مخطط إشارات النسب المثلثية. وينقسم هذا المخطط إلى أربعة أرباع. ويوضح كل ربع النسبة المثلثية الموجبة فيه. بالنسبة إلى الربع الأول، وهو الربع العلوي الأيمن، تكون جميع النسب فيه موجبة؛ وبالنسبة إلى الربع الثاني، وهو الربع العلوي الأيسر، تكون نسبة الجيب فقط هي الموجبة؛ وبالنسبة إلى الربع الثالث؛ أي الربع السفلي الأيسر، تكون نسبة الظل فقط هي الموجبة؛ وبالنسبة إلى الربع الرابع، تكون نسبة جيب التمام فقط هي الموجبة. حسنًا، أول قيمة يمكننا إضافتها إلى المخطط هي ٤٥ درجة. وذلك لأن هذه القيمة هي إحدى القيم الأساسية التي حصلنا عليها.

القيمة التالية التي يمكننا إضافتها هي ١٣٥ درجة. وذلك لأننا نلاحظ وجود تماثل في مخطط إشارات النسب المثلثية، ولدينا زاوية قياسها ٤٥ درجة من الخط الأفقي هنا. ونعرف أن هذه القيمة ستقع في هذا الربع لأنه بالنظر إلى قيمة جا 𝜃، نجد أنها قد تكون موجبة أو سالبة. وفي هذا الربع، ستكون قيم جا 𝜃 موجبة. وبما أننا نريد القيم الموجبة والسالبة لـ جا 𝜃، فإن هذا يعني أنه يمكننا التفكير في القيم الموجودة في كل ربع ما دام أن قيم 𝜃 المقابلة تقع في الفترة لدينا، وهو ما يعني أن القيمة التالية ستكون ٢٢٥ درجة، وهي أكبر بمقدار ٤٥ درجة من الزاوية التي قياسها ١٨٠. إذن، لدينا زاوية قياسها ٤٥ درجة من الخط الأفقي.

آخر قيمة في الفترة التي لدينا هي ٣١٥ درجة. ومرة أخرى، هذه زاوية قياسها ٤٥ من الخط الأفقي. إذن، يمكننا القول إن مجموعة الحلول الممكنة لـ جا تربيع 𝜃 ناقص جتا تربيع 𝜃 يساوي صفرًا؛ حيث 𝜃 أكبر من أو تساوي صفر درجة وأقل من ٣٦٠ درجة؛ هي ٤٥ درجة و١٣٥ درجة و٢٢٥ درجة و٣١٥ درجة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.