فيديو الدرس: تبسيط المقادير المثلثية

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نبسط مقادير لدوال مثلثية. سنراجع مقلوب الدوال المثلثية، ونتذكر أي الدوال فردية وأيها زوجية. بعد ذلك، سنتناول متطابقات فيثاغورس ومتطابقات الزاويتين المتتامتين، وسنتعلم كيفية استخدامها لتبسيط المقادير. لنبدأ بتذكر مقلوب بعض الدوال المثلثية التي ينبغي أن نكون على علم بها بالفعل.

‏قتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃، وقا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃. يمكن بالطبع أن نجد أيًّا من هذه الدوال أو المتطابقات مكتوبة بدلالة المتغير ﺱ بدلًا من 𝜃، لكن تنطبق عليها القاعدة نفسها. لدينا أيضًا الدالتان ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃 وظتا 𝜃 يساوي واحدًا على ظا 𝜃. وبما أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃، فيمكن أيضًا كتابة ظتا 𝜃 على الصورة جتا 𝜃 مقسومًا على جا 𝜃.

يمكن أن نتذكر أيضًا متطابقات الزوايا السالبة. بما أن دالتي الجيب وظل الزاوية فرديتان، فإن جا سالب 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃، وظا سالب 𝜃 يساوي سالب ظا 𝜃. دالة جيب التمام زوجية، إذن جتا سالب 𝜃 يساوي جتا 𝜃.

سنتناول الآن بعض الأسئلة التي نستخدم فيها هذه المتطابقات المثلثية لتبسيط المقادير.

أوجد قيمة ثمانية على جا 𝜃 مضروبًا في سالب خمسة على قتا 𝜃.

عندما يكون لدينا مقدار مثل هذا يتضمن قاطع تمام، فمن المفيد دائمًا أن نتذكر متطابقة المقلوب. وهي قتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃. إذن، عند تبسيط هذا المقدار، نعوض عن قتا 𝜃 بواحد على جا 𝜃. وعند تبسيط الكسر سالب خمسة على واحد على جا 𝜃، يجب أن نتذكر أن هذا يساوي سالب خمسة مقسومًا على واحد على جا 𝜃. ولكي نقسم على كسر، فإننا نضرب في مقلوب هذا الكسر. إذن، نضرب سالب خمسة في جا 𝜃 على واحد، وهو ما يعطينا سالب خمسة جا 𝜃.

سنرجع الآن إلى العملية الحسابية الأصلية، ونضرب ثمانية على جا 𝜃 في سالب خمسة جا 𝜃. ونظرًا لأن القيمة الثانية هي كسر مقامه واحد، نجد أنه يمكننا الاختزال بالقسمة على جا 𝜃. ومن ثم، يتبقى لدينا ثمانية مضروبًا في سالب خمسة مقسومًا على واحد، وهو ما يعطينا سالب ٤٠ على واحد أو ببساطة سالب ٤٠. وبهذا نكون قد أجبنا عن السؤال. إذن، قيمة ثمانية على جا 𝜃 مضروبًا في سالب خمسة على قتا 𝜃 تساوي سالب ٤٠.

هيا نتناول سؤالًا آخر.

بسط جتا تربيع 𝜃 قا 𝜃 قتا 𝜃.

عندما يكون لدينا سؤال كهذا يتضمن عددًا كبيرًا من الدوال، قد يكون الأمر مربكًا في البداية. لكن أفضل ما يمكننا فعله هو التفكير في الدوال المختلفة التي يتكون منها هذا المقدار وتحديد إذا ما كنا نعرف أي متطابقات لهذه الدوال. بما أن لدينا قا 𝜃 وقتا 𝜃، فقد يكون من المفيد أن نتذكر أن قا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃، وقتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃. يمكننا إذن التعويض عن هاتين الدالتين بدالتي مقلوبهما، وهو ما يعطينا جتا تربيع 𝜃 مضروبًا في واحد على جتا 𝜃 مضروبًا في واحد على جا 𝜃.

عند تبسيط هذا المقدار، نحصل على جتا تربيع 𝜃 على جتا 𝜃 جا 𝜃. قد يكون من المفيد هنا أن نتذكر أن جتا تربيع 𝜃 يساوي جتا 𝜃 مضروبًا في جتا 𝜃. وبالنظر إلى هذا المقدار، يجب ملاحظة أنه يمكننا حذف العامل المشترك جتا 𝜃 من البسط والمقام. بذلك، يتبقى لدينا جتا 𝜃 على جا 𝜃، ويبدو هذا المقدار مألوفًا. ‏ظتا 𝜃 يساوي جتا 𝜃 على جا 𝜃. إذن، الكسر هنا يساوي ظتا 𝜃. وعليه، فإن الإجابة هي أن جتا تربيع 𝜃 قا 𝜃 قتا 𝜃 يبسط إلى ظتا 𝜃.

في السؤال التالي، علينا استخدام بعض المتطابقات الفردية والزوجية لتساعدنا في تبسيط مقدار يحتوي على دوال مثلثية.

بسط ظا سالب 𝜃 قتا 𝜃.

عند تبسيط مقادير تحتوي على دوال مثلثية، إذا نظرنا إلى السؤال، فسنجد أنه يعطينا تلميحًا عن المتطابقة التي علينا استخدامها. ينبغي أن توضح الزاوية سالب 𝜃 هنا أنه ربما يجب علينا استخدام المتطابقات الزوجية والفردية، أو ما يعرف عادة باسم متطابقات الزاوية السالبة. دالة الظل هي دالة فردية. وهذا يعني أن ظا سالب 𝜃 يساوي سالب ظا 𝜃. وبما أن هذه الدالة تتضمن أيضًا قتا 𝜃، فمن المفيد أن نتذكر متطابقة المقلوب. ‏قتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃.

يمكننا بعد ذلك التعويض بهاتين القيمتين. ‏ظا سالب 𝜃 يساوي سالب ظا 𝜃، وقتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃. وفي بعض الأحيان عندما نبسط مقادير تحتوي على دوال مثلثية، فإن أفضل ما يمكننا فعله هو معرفة إذا ما كان من الممكن كتابة هذه المقادير بدلالة الجيب أو جيب التمام. إذا نظرنا إلى سالب ظا 𝜃، فسنجد أنه يمكننا التعويض عنه بقيمة أخرى. ‏ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃.

يمكننا إذن التعويض بهذه القيمة عن ظا 𝜃، مع مراعاة عدم حذف إشارة السالب هذه. قبل أن نبسط سالب جا 𝜃 على جتا 𝜃 مضروبًا في واحد على جا 𝜃، لاحظ أنه يمكننا حذف العامل المشترك جا 𝜃 من البسط والمقام. وبضرب ما تبقى لدينا، نحصل على سالب واحد على جتا 𝜃.

علينا أن نتذكر هنا أن قا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃. ولكن بما أن لدينا سالب واحد على جتا 𝜃، فإن الإجابة ستكون سالب قا 𝜃. وبذلك نكون قد بسطنا ظا سالب 𝜃 قتا 𝜃 إلى سالب قا 𝜃.

قبل أن نتناول أي أسئلة أخرى، دعونا نلق نظرة على متطابقة فيثاغورس لحساب المثلثات. إنها أكثر المتطابقات المثلثية استخدامًا. وتنص على أن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. يمكننا بالطبع إعادة ترتيب هذا المقدار بصور مختلفة. على سبيل المثال، بطرح جتا تربيع 𝜃 من كلا الطرفين، نجد أن جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا ناقص جتا تربيع 𝜃. ويمكننا أيضًا إعادة صياغة ذلك بقسمة كلا الطرفين على جتا تربيع 𝜃.

بتبسيط الحد الأول جا تربيع 𝜃 على جتا تربيع 𝜃، نحصل على ظا تربيع 𝜃. ويبسط الحد التالي جتا تربيع 𝜃 على جتا تربيع 𝜃 إلى واحد. وفي الطرف الأيسر، يبسط واحد على جتا تربيع 𝜃 إلى قا تربيع 𝜃. ونعرف هذا لأن واحدًا على جتا 𝜃 يساوي قا 𝜃. إن معرفة هاتين المتطابقتين عن ظهر قلب ستساعدنا في إعادة كتابة المقادير التي تحتوي على دوال مثلثية وتبسيطها سريعًا.

دعونا الآن نتناول بعض الأسئلة التي سنستخدم فيها هاتين المتطابقتين، بالإضافة إلى المتطابقات الأخرى التي نعرفها بالفعل.

بسط جا 𝜃 زائد جتا 𝜃 تربيع ناقص اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃.

عندما ننظر إلى هذا السؤال للوهلة الأولى، فإنه قد يبدو معقدًا بعض الشيء لأننا لا نعرف أي المتطابقات علينا استخدامها. لكن دعونا نعرف إذا ما كان بإمكاننا إجراء أي شيء بالمقدار جا 𝜃 زائد جتا 𝜃 تربيع. عند تربيع أي قيمة، فهذا يعني أننا نضربها في نفسها. يمكننا إذن فك هذين القوسين باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. ‏جا 𝜃 مضروبًا في جا 𝜃 يساوي جا تربيع 𝜃. ولدينا جا 𝜃 مضروبًا في جتا 𝜃 مرتين. وأخيرًا جتا 𝜃 في جتا 𝜃 يساوي جتا تربيع 𝜃.

وبدلًا من فك القوسين باستخدام هذه الطريقة، نتذكر أنه عندما يكون لدينا هذا القوس الذي يعني الكل تربيع، فإننا نقوم بتربيع الحد الأول، ثم نضيف مربع الحد الثاني، ثم نضيف ضعف حاصل ضرب كلا الحدين. وبكلتا الطريقتين، نحصل على جا تربيع 𝜃 زائد اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 ناقص اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃. وعندما ننظر إلى هذا المقدار، يمكننا ملاحظة أنه لدينا اثنان جا 𝜃 جتا 𝜃 ناقص اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃، وهو ما يساوي صفرًا.

والآن، لا يتبقى لدينا سوى جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃. يجب أن يكون هذا المقدار مألوفًا. تنص متطابقة فيثاغورس على أن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. وهذا بالضبط ما عرفناه أثناء الحل. وبذلك، يمكننا الإجابة بأن جا 𝜃 زائد جتا 𝜃 تربيع ناقص اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃 يبسط إلى واحد.

لنتناول سؤالًا آخر يتضمن متطابقة فيثاغورس.

بسط جا 𝜃 قتا 𝜃 ناقص جتا تربيع 𝜃.

عندما نفكر في سؤال كهذا، قد يكون من الأفضل البدء بمعرفة إذا ما كان بإمكاننا إعادة كتابة قتا 𝜃 بطريقة مختلفة. إننا نعرف أن قتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃. عندما نعوض عن قتا 𝜃 بواحد على جا 𝜃، نحصل على المقدار جا 𝜃 مضروبًا في واحد على جا 𝜃 ناقص جتا تربيع 𝜃. بضرب جا 𝜃 في واحد على جا 𝜃، نحصل على جا 𝜃 على جا 𝜃. وبالطبع يمكن تبسيط هذا إلى واحد. كيف يمكننا إذن تبسيط واحد ناقص جتا تربيع 𝜃 أكثر من ذلك؟

حسنًا، يمكننا تذكر متطابقة فيثاغورس التي تنص على أن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. وبإعادة ترتيب هذه المعادلة من خلال طرح جتا تربيع 𝜃 من كلا الطرفين، نحصل على جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا ناقص جتا تربيع 𝜃. وهذا بالضبط ما توصلنا إليه في المقدار المبسط. واحد ناقص جتا تربيع 𝜃 يساوي جا تربيع 𝜃. وبذلك، نكون قد حصلنا على الإجابة؛ وهي أنه يمكن تبسيط جا 𝜃 قتا 𝜃 ناقص جتا تربيع 𝜃 إلى جا تربيع 𝜃.

سنتناول الآن مجموعة مختلفة من المتطابقات المثلثية؛ وهي متطابقات الزاويتين المتتامتين، أي عندما نعبر عن الدوال المثلثية بدلالة متمماتها. لدينا جتا 𝜃 يساوي جا 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃، وجا 𝜃 يساوي جتا 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃، وظتا 𝜃 يساوي ظا 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃، وظا 𝜃 يساوي ظتا 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃، وقتا 𝜃 يساوي قا 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃، وأخيرًا قا 𝜃 يساوي قتا 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃.

تجدر الإشارة هنا إلى أن كل هذه الزوايا معبر عنها بالراديان. ولكن يمكننا التعبير عنها أيضًا بالدرجات. على سبيل المثال، جتا 𝜃 يساوي جا ٩٠ درجة ناقص 𝜃. قد يكون من المفيد إيقاف الفيديو مؤقتًا لكتابة هذه المتطابقات، حيث سنستخدم بعضها في السؤال الأخير.

بسط قا 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃 على ظتا 𝜋 ناقص 𝜃.

عندما يكون لدينا مقدار لدالة مثلثية يتضمن زاوية قياسها 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃، فهذا مؤشر جيد على أننا قد نستخدم متطابقات الزاويتين المتتامتين. توضح لنا متطابقة الزاويتين المتتامتين لـ قا 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃 أن هذا يساوي قتا 𝜃. ومن ثم، عند تبسيط هذا المقدار، نجد أن البسط يساوي قتا 𝜃. فماذا عن المقام؟

حسنًا، إحدى الطرق الممكنة لتبسيط المقام هي تذكر أن ظتا 𝜃 يساوي جتا 𝜃 على جا 𝜃. إذن، القيمة ظتا 𝜋 ناقص 𝜃 ستصبح جتا 𝜋 ناقص 𝜃 على جا 𝜋 ناقص 𝜃.

نستخدم بعد ذلك حقيقة أن جتا 𝜋 ناقص 𝜃 يساوي سالب جتا 𝜃، وجا 𝜋 ناقص 𝜃 يساوي جا 𝜃. ومن ثم، يتكون المقدار لدينا من قتا 𝜃 في البسط وسالب جتا 𝜃 على جا 𝜃 في المقام. قبل أن نرتب هذا الكسر الموجود في المقام، دعونا نحدد إذا ما كان بإمكاننا إجراء أي خطوة إضافية مع قتا 𝜃 في البسط.

علينا أن نتذكر هنا إحدى متطابقات المقلوب التي توضح لنا أن قتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃. ومن ثم، يمكننا التعويض عن قتا 𝜃 بواحد على جا 𝜃 في البسط. يبدو هذا المقدار مربكًا للغاية مع وجود كسر في كل من البسط والمقام. وقد يكون من المفيد أن نتذكر أن الكسر يعني ببساطة أن البسط مقسوم على المقام.

تذكر أنه عند قسمة الكسور، فإننا ببساطة نضرب في مقلوب الكسر الثاني. نلاحظ قبل إجراء عملية الضرب أنه يمكننا حذف العامل المشترك جا 𝜃 من البسط والمقام. إذن، بضرب هاتين القيمتين، نحصل على واحد على سالب جتا 𝜃. يمكننا استخدام متطابقة مثلثية أخيرة. وهي قا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃. بما أن لدينا واحدًا على سالب جتا 𝜃، تبسط القيمة إلى سالب قا 𝜃. وبذلك نكون قد أجبنا عن السؤال المطلوب منا فيه تبسيط قا 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃 على ظتا 𝜋 ناقص 𝜃.

يمكننا الآن تلخيص بعض المتطابقات التي تناولناها في هذا الفيديو. بدأنا هذا الفيديو باسترجاع بعض متطابقات المقلوب. بعد ذلك، ذكرنا أنفسنا بالزاوية السالبة أو متطابقات الدوال الفردية والزوجية. تناولنا متطابقة فيثاغورس جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. وعرفنا أيضًا كيف يمكننا استخدام هذا لاستنتاج أن قا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا زائد ظا تربيع 𝜃. وأخيرًا، تناولنا أيضًا متطابقات الزاويتين المتتامتين. وختامًا، يجب أن نتذكر أنه علينا عادة استخدام أكثر من متطابقة واحدة أو نوع واحد من المتطابقات لتبسيط مقدار يحتوي على دوال مثلثية.