نسخة الفيديو النصية
أي مما يأتي دالة أحادية؟ هل هي (أ) د ﺱ تساوي ﺱ أس أربعة زائد ﺱ تربيع، أم (ب) د ﺱ تساوي ﺱ تربيع، أم (ج) د ﺱ تساوي جتا ﺱ، أم (د) د ﺱ تساوي ﺱ تكعيب؟
نبدأ بتذكر ما يعنيه أن تكون الدالة أحادية. تكون الدالة أحادية إذا كان كل عنصر من عناصر مدى الدالة يناظر عنصرًا واحدًا فقط في المجال، والعكس بالعكس. تتمثل إحدى طرق اختبار الدالة الأحادية في النظر إلى شكل التمثيل البياني. فنلاحظ إذا ما كان سيجتاز اختبار الخط الرأسي، وهو خط رأسي في أي مكان على التمثيل البياني يقطع المنحنى مرة واحدة فقط؛ واختبار الخط الأفقي، وهو خط أفقي يقطع المنحنى مرة واحدة فقط. عندئذ، يمكننا القول إن الدالة أحادية. وهكذا، فإن أسهل طريقة للتحقق مما إذا كانت الدوال أحادية هي من خلال رسم منحنياتها.
لنبدأ بمنحنى ﺱ أس أربعة زائد ﺱ تربيع. يسمى هذا أحيانًا منحنى من الدرجة الرابعة. فهو يحتوي على معامل رئيسي موجب لـ ﺱ. وإذا أردنا تحليل التعبير، فسنجد أنه يحتوي على جذر واحد فقط، وذلك عند ﺱ يساوي صفرًا. لذا، سيبدو التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺱ أس أربعة زائد ﺱ تربيع بهذا الشكل. ويجتاز هذا التمثيل بالفعل اختبار الخط الرأسي، وهو خط رأسي يقطع المنحنى مرة واحدة فقط. ولكن إذا أضفنا خطًّا أفقيًّا هنا، فسنرى أنه يقطع المنحنى مرتين. وهو ما يعني أن الدالة ليست أحادية. في هذه الحالة، يمكن أن يناظر عنصر في مدى الدالة أكثر من عنصر في مجالها.
في الواقع، منحنى د ﺱ يساوي ﺱ تربيع يبدو مشابهًا جدًّا. وللسبب نفسه، لا يمكن أن تكون هذه الدالة أحادية. سننتقل الآن إلى التمثيل البياني لـ د ﺱ يساوي جتا ﺱ. نعلم أن الدورة الكاملة لمنحنى ﺹ يساوي جتا ﺱ تبدو بهذا الشكل. مرة أخرى، هذا التمثيل يجتاز بالفعل اختبار الخط الرأسي. لكنه بالتأكيد لا يجتاز اختبار الخط الأفقي. فبما أن منحنى ﺹ يساوي جتا ﺱ هو منحنى دوري، نلاحظ أن الخط الأفقي سيقطع منحنى ﺹ يساوي جتا ﺱ عددًا لا نهائيًّا من المرات. وعليه، لا يمكن أن تكون د ﺱ تساوي جتا ﺱ دالة أحادية.
سنختبر الآن د ﺱ يساوي ﺱ تكعيب. يبدو منحنى ﺹ يساوي ﺱ تكعيب هكذا. ونرى بوضوح أنه يجتاز اختبار الخط الرأسي. ويجتاز، هذه المرة، اختبار الخط الأفقي أيضًا. عندما نضيف خطًّا أفقيًّا إلى هذا التمثيل البياني، فإنه يقطع المنحنى مرة واحدة فقط. إذن، يمكننا القول إن الإجابة الصحيحة هي (د). الدالة الأحادية هي د ﺱ تساوي ﺱ تكعيب.
