فيديو الدرس: مساحة سطح متوازي المستطيلات والمكعب الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب مساحة سطح متوازي المستطيلات والمكعب، ونستخدمها لحل مسائل من الحياة اليومية. سنبدأ بتذكر كيف يبدو في الواقع شكل متوازي المستطيلات، والذي أحيانًا ما يطلق عليه اسم منشور مستطيلي قائم، وكذلك شكل المكعب. وكيف يمكن أن تساعدنا خصائصهما في إيجاد مساحة السطح، والتي هي عبارة عن المساحة الكلية لجميع أوجههما. سنتعلم أيضًا كيف يمكننا استخدام المعلومات عن مساحة سطح المكعب لحساب الأبعاد الناقصة.

لذا فإن السؤال الأول هو: ما هو المنشور؟ المنشور هو شكل ثلاثي الأبعاد له قطاع عرضي ثابت. بمعنى آخر، القطاع العرضي له نفس الشكل والقياس على مدى طوله. المنشور الثلاثي، على سبيل المثال، يحتوي على قطاع عرضي ثلاثي. يمكن أن أقوم بتقطيع الشكل هنا أو بالأسفل هنا، وسيظل قياس هذا المثلث وشكله كما هو. وبالمثل، تحتوي الأسطوانة على قطاع عرضي ثابت وهو شكل دائرة. والآن، في هذا الفيديو، نحن مهتمون فقط بمتوازي المستطيلات، مثل هذا الشكل هنا، وبالمكعبات.

المكعب هو عبارة عن منشور مستطيلي أبعاده كلها متساوية. نلاحظ أن الأوجه، وهي الأسطح المسطحة للمكعب، في الواقع، كلها مربعات. ماذا نعرف أيضًا عن متوازي المستطيلات والمكعب؟ حسنًا، دعونا الآن نتخيل أننا نفكك متوازي مستطيلات إلى شبكته. قد تبدو الشبكة هكذا. يمكننا أن نلاحظ أن هذه الشبكة لها واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة أوجه. ربما هذه هي الحقيقة الأهم عن متوازي المستطيلات وكذلك المكعب عندما يتعلق الأمر بحساب مساحة السطح. وهي مجموع المساحات الكلية لجميع الأوجه. إذن، لإيجاد مساحة السطح لمتوازي مستطيلات أو مكعب، نحسب ببساطة مساحات الستة أوجه ثم نوجد مجموعها. دعونا نرى كيف سيبدو ذلك.

أوجد مساحة سطح متوازي المستطيلات الموضح.

في هذا السؤال، لدينا متوازي مستطيلات. ويسمى بهذا الاسم لأن قطاعه العرضي عبارة عن مستطيل. ولكن في هذه الحالة، جميع أوجهه عبارة عن مستطيلات أيضًا. والآن، المطلوب في المسألة هو إيجاد مساحة سطح المنشور. حسنًا، مساحة السطح هي المساحة الكلية لجميع أوجهه. ولذلك، نبدأ بتذكر أن متوازي المستطيلات، والذي يسمى أحيانًا المنشور المستطيلي القائم، لديه ستة أوجه تحديدًا. ومهمتنا إذن هي تحديد هذه الأوجه وحساب مساحة كل وجه. دعونا نحدد أحد أوجه متوازي المستطيلات.

ماذا عن هذا الوجه في مقدمة الشكل. من الواضح تمامًا أنه مستطيل، ونلاحظ أن طول قاعدته هو ٢٩ مترًا. ونعرف أيضًا أن مساحة المستطيل هي حاصل ضرب قاعدته في ارتفاعه. إذن، ما ارتفاع هذا المستطيل؟ نعلم أن ارتفاع هذا المنشور هو ١٥ مترًا، لذا فإن هذا البعد هنا لا بد أن يساوي ١٥ مترًا أيضًا. هذا هو ارتفاع المستطيل. إذن، مساحة هذا المستطيل هي ٢٩ مضروبًا في ١٥. لدينا عدد من الطرق لحساب ذلك. يمكننا استخدام طريقة الضرب العمودي أو الضرب الشبكي أو حتى استخدام الآلة الحاسبة. لنلق نظرة على طريقة الضرب العمودي.

نبدأ بضرب تسعة في خمسة لنحصل على ٤٥. نضع الخمسة في خانة الآحاد ونحتفظ بالأربعة في أذهاننا. وبعد ذلك نحسب اثنان مضروبًا في خمسة، وهو ما يساوي ١٠. ونضيف أربعة الذي نحتفظ به لنحصل على ١٤. والآن، قد يبدو أن العملية التي سنقوم بها بعد ذلك هي أن نضرب تسعة في واحد. ولكن في الواقع، نحن نضرب تسعة في ١٠. إذن، نضيف صفرًا هنا. تسعة مضروبًا في واحد يساوي تسعة. اثنان مضروبًا في واحد يساوي اثنين. ولم يتبق لنا سوى أن نجمع هذين العددين. وعندما نقوم بذلك، نجد أن حاصل ضرب ٢٩ في ١٥ هو ٤٣٥. وبما أننا نتعامل بالأمتار، فإن مساحة هذا الوجه الأمامي الذي ظللناه باللون الأصفر هي ٤٣٥ مترًا مربعًا.

والآن، إذا نظرنا في الواقع إلى شكل هذا المنشور، نعرف أنه يوجد وجه آخر مطابق لهذا الوجه. وسوف يكون في الجانب الخلفي من الشكل. وبذلك يكون لدينا مستطيلان بمساحة ٤٣٥ مترًا مربعًا. لذا، يمكننا إضافة هذا القياس هنا، أو يمكننا ضرب ٤٣٥ في اثنين بدلًا من ذلك. هيا نوجد مساحة وجه آخر. سننتقل إلى الوجه الذي على جانب الشكل. نعرف أن طول قاعدة هذا المستطيل هو ١٤ مترًا وأن ارتفاعه هو ١٥ مترًا. إذن باستخدام صيغة مساحة المستطيل تساوي القاعدة مضروبة في الارتفاع، فإن مساحة هذا المستطيل تساوي ١٤ في ١٥.

وفي هذه المرة دعونا نستخدم طريقة الضرب الشبكي. نقسم ١٤ و١٥ إلى الآحاد والعشرات المكونة لهما. ١٠ في ١٠ يساوي ١٠٠، وأربعة في ١٠ يساوي ٤٠، وخمس في ١٠ يساوي ٥٠، وخمسة في أربعة يساوي ٢٠. حاصل ضرب ١٤ في ١٥ هو مجموع هذه القيم الأربعة. وهو ما يساوي ٢١٠ أو ٢١٠ أمتار مربعة. ومجددًا، نعرف أن الوجه الموازي لهذا الوجه في المنشور، الذي في الخلف هنا، سيكون له نفس المساحة. وبذلك نضيف قياسًا آخر وهو ٢١٠ أمتار مربعة. والآن، قمنا بحساب مساحات الأوجه الأربعة. لدينا وجهان آخران علينا إيجادهما.

هيا بنا ننظر إلى وجه المستطيل في أعلى الشكل. نعلم أن هذا الخط يوازي هذا الخط، ولذلك لا بد أن طول هذا البعد يساوي ٢٩ مترًا. وبالمثل، فإن هذا البعد يجب أن يساوي ذلك البعد. إنه ١٤ مترًا. وبذلك فإن مساحة الوجه في أعلى المنشور هي ٢٩ مضروبًا في ١٤، وهو ما يساوي ٤٠٦ أمتار مربعة. ونعرف أنه لا بد للوجه الموازي لهذا الوجه، وهو الوجه في الأسفل، أن يكون له نفس المساحة. وذلك قياس آخر وهو ٤٠٦ أمتار مربعة. والآن لدينا واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة قياسات كما هو مطلوب.

تذكر أن مساحة السطح تساوي إجمالي مساحة جميع الأوجه لدينا، لذا سنحصل على الإجابة بجمع كل هذه القيم. مجموع إجمالي هذه القيم الستة هو ٢١٠٢، إذن مساحة سطح متوازي المستطيلات هي ٢١٠٢ متر مربع. والآن، الوحدات مهمة للغاية. وثمة خطأ شائع هنا ألا وهو استخدام وحدة قياس مكعبة، مثل متر مكعب أو سنتيمتر مكعب. ولكن تذكر أنه عندما نحسب المساحات فإن الوحدات تكون مربعة. إذن هنا نحن نحسب بالأمتار المربعة.

سنتناول الآن مثالًا آخر. ولكن في هذه المرة سنتناول حساب مساحة السطح لمكعب.

أوجد مساحة سطح مكعب طول حرفه ١١ سنتيمترًا.

في هذا السؤال، لدينا بعض المعلومات عن المكعب. نتذكر هنا أن المكعب هو متوازي مستطيلات جميع أحرفه متساوية في الطول. وفي الواقع هو متوازي مستطيلات جميع أوجهه عبارة عن مربعات. كما نعلم أيضًا أن مساحة السطح تحسب بجمع مساحات جميع أوجه الشكل الثلاثي الأبعاد. ونعرف أنه لكل من متوازي المستطيلات والمكعب ستة أوجه. وهذا يعني أنه إذا تمكنا من إيجاد مساحة السطح لأحد أوجه المكعب، فيمكننا إيجاد مساحة السطح الكلية بضرب ذلك في عدد الأوجه، وهو ستة. هذه المربعات أبعادها عبارة عن ١١ سنتيمترًا في ١١ سنتيمترًا. ويمكننا إيجاد مساحة المربع بضرب طول قاعدته في ارتفاعه أو بإيجاد مربع طول القاعدة بدلًا من ذلك.

وفي هذه الحالة إذن، مساحة أحد الأوجه، وهي مساحة أحد المربعات، تساوي ١١ في ١١. وهو ما يساوي ١٢١. والآن نحن نحسب بالسنتيمترات، لذا فإن الوحدات هنا بالسنتيمتر المربع. إذن يمكننا القول إن مساحة السطح الكلية لهذا المكعب هي ستة مضروبًا في ١٢١. دعونا نستخدم الضرب العمودي. حاصل ضرب واحد في ستة، هو ستة. اثنان مضروبًا في ستة يساوي ١٢، إذن نضع اثنين هنا ونحتفظ بواحد في أذهاننا. بعد ذلك، واحد مضروبًا في ستة يساوي ستة مجددًا. وعندما نضيف الواحد، نحصل على سبعة. وهذا يعني أن ستة في ١٢١ يساوي ٧٢٦. وعلى ذلك، فإن مساحة سطح المربع الذي طول حرفه ١١ سنتيمترًا هي ٧٢٦ سنتيمترًا مربعًا.

والآن، من شأن إيجاد مساحة سطح المنشور في سياق الحياة اليومية أن يجعل هذا السيناريو أكثر صعوبة قليلًا. دعونا نرى كيف يمكن أن يبدو ذلك.

بفرض أن طول كل حافة من حواف مكعب ثلج هو ١٩ سنتيمترًا. وبعد ذلك قطعنا المكعب أفقيًّا من منتصفه إلى متوازيي مستطيلات أصغر. أوجد مساحة سطح أحد متوازيي المستطيلات.

في هذا السؤال، لدينا بعض المعلومات عن مكعب. ونتذكر هنا أن المكعب هو مستطيل جميع أحرفه متساوية في الطول. وفي الواقع هو متوازي مستطيلات جميع أوجهه عبارة عن مربعات. وفي هذه الحالة، طول كل بعد هو ١٩ سنتيمترًا. ولكن المشكلة هي أن هذا الشكل ليس هو ما نريد إيجاد مساحة سطحه. الشكل مقطوع أفقيًّا إلى نصفين. وبذلك يصبح لدينا متوازيا مستطيلات، أو منشوران مستطيلان قائمان، متطابقان. إذن ما هي أبعاد كل من متوازيي المستطيلات هذين؟

حسنًا، نعرف أن بعدين سيظلان ١٩ سنتيمترًا. ولكننا قسمنا البعد الثالث إلى نصفين؛ وسوف يكون ١٩ مقسومًا على اثنين سنتيمتر. تلك عملية حسابية يمكننا القيام بها ذهنيًّا، أو يمكننا استخدام طريقة القسمة المختصرة. نقول، كم اثنان في العدد ١؟ حسنًا، إنه صفر. لذا بدلًا من ذلك نقول، كم اثنان في العدد ١٩؟ إنه تسعة، ولكن يتبقى لدينا واحد. إذن أين نضع هذا الباقي؟ نضيف علامة عشرية وصفرًا. تذكر أن ١٩ و١٩٫٠ هما نفس العدد. نضع العلامة العشرية هنا بالأعلى. والسؤال الآن هو: كم اثنان في العدد ١٠؟ حسنًا، إنه خمسة. إذن، نرى أن البعد الثالث لمتوازي المستطيلات هذا يساوي ٩٫٥ سنتيمترات.

نريد أن نحسب مساحة سطحه. إنها مجموع إجمالي مساحات جميع أوجهه. وفي الواقع نتذكر أن متوازي المستطيلات له ستة أوجه، لذا علينا إيجاد ستة قياسات مساحة. لنبدأ بالتفكير في الوجه الأمامي لمتوازي المستطيلات. نعرف أن مساحة المستطيل هي حاصل ضرب طول قاعدته في ارتفاعه. وطول قاعدة هذا المستطيل هو ١٩ سنتيمترًا. وارتفاعه هو طول هذا الحرف. حسنًا، وهذا مواز لهذا الحرف، إذن هو ٩٫٥ سنتيمترات. إذن، مساحة هذا المستطيل الأول تساوي ١٩ مضروبًا في ٩٫٥، وهو ما يساوي ١٨٠٫٥. والآن نحن نحسب بالسنتيمترات، لذا فإن الوحدات هنا هي ١٨٠٫٥ سنتيمترًا مربعًا.

يوجد وجه آخر مطابق لهذا الوجه تمامًا، وهو في خلفية هذا المنشور. وبذلك فإن مساحة الوجهين مجتمعين لا بد أن تساوي اثنين مضروبًا في ١٨٠٫٥. وهو ما يساوي ٣٦١ سنتيمترًا مربعًا. هيا ننتقل إلى مساحة هذا الوجه. ومجددًا فإن مساحته هي ١٩ مضروبًا في ٩٫٥. إذن لدينا ١٨٠٫٥ سنتيمترًا مربعًا مرة أخرى. ويوجد وجه آخر مطابق في خلفية هذا الشكل. وبذلك يمكننا مضاعفة هذا القياس مجددًا لنحصل على ٣٦١ سنتيمترًا مربعًا. لاحظ أنه كان بمقدورنا ضرب ١٨٠٫٥ في أربعة من البداية. أوجدنا مساحة الأوجه الأربعة. نريد إيجاد مساحة اثنين آخرين. لنلق نظرة على الوجه في الأعلى والوجه المطابق له في الأسفل.

وهذه المرة، أبعاده هي ١٩ سنتيمترًا و١٩ سنتيمترًا. تذكر أنه ذلك الوجه المربع من العملية السابقة. ١٩ في ١٩ يساوي ٣٦١. وبما أنه يوجد وجهان، فإننا نضرب هذا الناتج في اثنين. ونجد أن المساحة المجمعة للوجهين العلوي والسفلي هي ٧٢٢ مترًا مربعًا. مساحة السطح هي مجموع هذه القيم الأربع. إنها ٣٦١ زائد ٣٦١ زائد ٧٢٢، وهو ما يساوي ١٤٤٤ سنتيمترًا مربعًا. والآن، يوجد خطأ شائع هنا هو أن نحسب مساحة سطح المكعب ثم نقسمه على اثنين. هذا لن يعطينا إجابة صحيحة حيث إننا لم نقسم كل الأوجه على اثنين، فقد قسمنا أربعة من الستة فقط على اثنين.

سنرى الآن كيف أنه يمكن للمعطيات عن محيط قاعدة المكعب أن تساعدنا على إيجاد مساحة سطحه.

إذا كان محيط قاعدة مكعب يساوي ٥٤٫٤ سنتيمترًا، فأوجد مساحة سطحه الكلية.

نبدأ بتذكر أن المكعب هو شكل ثلاثي الأبعاد جميع أوجهه عبارة عن مربعات. لدينا معلومة عن محيط أحد هذه المربعات. إنه ٥٤٫٤ سنتيمترًا. والآن، نعلم أن المحيط هو إجمالي المسافة حول الشكل، ونعلم أيضًا أن جميع أضلاع المربع متساوية. والآن، بما أن المربع به أربعة أضلاع، يمكننا حساب طول ضلع المربع بقسمة ٥٤٫٤ على أربعة. وعندما نفعل ذلك، نجد أن طول ضلع المربع يساوي ١٣٫٦ سنتيمترًا. لكن المطلوب في السؤال هو أن نوجد مساحة سطح المكعب. والآن نعلم أن جميع أبعاد المكعب ١٣٫٦ سنتيمترًا، وأن مساحة سطح الشكل الثلاثي الأبعاد هي مجموع إجمالي جميع مساحات أوجهه.

نبدأ بحساب مساحة أحد أوجه المكعب. حسنًا، مساحة المربع تساوي القاعدة في الارتفاع أو طول ضلعه تربيع. إنها ١٣٫٦ مضروبًا في ١٣٫٦، وهو ما يساوي ١٨٤٫٩٦ سنتيمترًا مربعًا. تذكر أن للمكعب ستة أوجه متطابقة، وهذا يعني أن مساحة السطح هي مساحة أحد الأوجه مضروبة في ستة. وهو ما يساوي ستة في ١٨٤٫٩٦، وهو ما يعطينا مساحة السطح الكلية ١١٠٩٫٧٦ سنتيمترات مربعة.

في السؤال الأخير، سوف نتناول كيفية حساب أبعاد مكعب بمعلومية مساحة سطحه.

مكعب مساحته ١٠٢٠ سنتيمترًا مربعًا. ما مساحة وجه واحد للمكعب؟

تذكر أن مساحة سطح شكل ثلاثي الأبعاد هي المساحة الكلية لجميع أوجهه. نحن نريد إيجاد مساحة سطح مكعب. والآن، نعرف أن المكعب هو شكل ثلاثي الأبعاد جميع أوجهه عبارة عن مربعات. لديه ستة أوجه متطابقة. وبما أن جميع هذه الأوجه لها نفس المساحة، يمكننا حساب مساحة أحد الأوجه بقسمة مساحة السطح على ستة. يمكننا استخدام القسمة المختصرة لإجراء هذه العملية. نقول: كم ستة في العدد واحد؟ حسنًا، إنه صفر. وبدلًا عن ذلك، نسأل أنفسنا كم ستة في العدد ١٠؟ إنه واحد والباقي أربعة.

وبعد ذلك، نسأل أنفسنا، كم ستة في العدد ٤٢؟ إنه سبعة. وكم ستة في العدد صفر؟ إنه صفر. وهذا يعني أن ١٠٢٠ مقسومًا على ستة يساوي ١٧٠. وقياس مساحة السطح معطى بالسنتيمتر المربع. والآن، ما زلنا نتناول المساحات، ولذلك فإن الوحدات لدينا بالسنتيمتر المربع أيضًا. وبذلك يمكننا القول إن مساحة أحد أوجه المكعب هي ١٧٠ سنتيمترًا مربعًا.

في هذا الفيديو، تعلمنا أن المنشور هو شكل ثلاثي الأبعاد له قطاع عرضي ثابت. رأينا أن متوازي المستطيلات تحديدًا لديه قطاع عرضي مستطيلي ولكن كذلك لديه ستة أوجه مستطيلة وأن المكعب هو متوازي مستطيلات جميع أبعاده متساوية، وجميع أوجهه عبارة عن مربعات. تعلمنا أنه يمكننا حساب مساحة سطح متوازي المستطيلات بجمع مساحات جميع الأوجه. ومن المهم أن نتذكر أنه عندما نحسب المساحة ومساحة السطح، علينا أن نستخدم وحدات مربعة، مثل السنتيمتر المربع والمتر المربع.