فيديو: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية

بسط ‪(1 − cos 2𝑥)/(1 + cos 2𝑥)‬‏.

٠٥:١٣

‏نسخة الفيديو النصية

بسط واحد ناقص cos 2𝑥 على واحد زائد cos 2𝑥.

لنكتب هذا الكسر مرة أخرى. لكي نبسط هذا الكسر، يبدو أن علينا إعادة كتابة cos 2𝑥. توجد بالأساس ثلاث طرق لإعادة كتابة cos 2𝑥، واحدة منها تحتوي على cos 𝑥 وsin 𝑥، والثانية لا تحتوي إلا على cos 𝑥، والأخيرة لا تحتوي إلا على sin 𝑥. يمكننا استخدام أي من هذه المتطابقات، لكننا سنستخدم الأولى. وسنرى فيما بعد كيف أنه كان بإمكاننا تبسيط الأمور على أنفسنا باختيار إعادة كتابة cos 2𝑥 بطرق أخرى، لكننا سنستبدل حاليًا cos 2𝑥 بمتطابقة cos تربيع 𝑥 ناقص sin تربيع 𝑥.

والآن علينا فك الأقواس، مع الانتباه إلى تحويل سالب سالب sin تربيع 𝑥 في البسط لتصبح موجب sin تربيع 𝑥. لا تبدو النتيجة التي أصبحت لدينا الآن أبسط من شكل المسألة الذي بدأنا به، لكن يمكننا تطبيق متطابقة أخرى. تتمثل في sin تربيع 𝑥 زائد cos تربيع 𝑥 يساوي واحدًا؛ وعند إعادة ترتيب هذا نحصل على واحد ناقص cos تربيع 𝑥 يساوي sin تربيع 𝑥، وواحد ناقص sin تربيع 𝑥 يساوي cos تربيع 𝑥. والآن نلاحظ وجود واحد ناقص cos تربيع 𝑥 في بسط الكسر الذي لدينا، ويمكننا استبدال هذا بـ sin تربيع 𝑥. والآن يمكننا جمع sin تربيع 𝑥 الذي حصلنا عليه مع sin تربيع 𝑥 الموجود في البسط لنحصل على اثنين sin تربيع 𝑥.

وينطبق الأمر نفسه على المقام، إذ يوجد واحد وسالب sin تربيع 𝑥. وباستخدام واحدة من المتطابقات الموجودة لدينا، يمكننا استبدال هذين الحدين بـ cos 𝑥 تربيع. والآن نجمع cos تربيع 𝑥 مع cos تربيع 𝑥 الأخرى الموجودة في مقام الكسر، فنحصل على اثنين cos تربيع 𝑥. والآن، يبدو الكسر أبسط إلى حد ما، ولكن يمكننا تبسيطه أكثر من ذلك. وقبل أن نواصل تبسيطه، دعونا نشر إلى أنه كان في مقدورنا الوصول إلى هذه الخطوة بسرعة أكبر عن طريق إعادة كتابة cos اثنين 𝑥 بطريقة أخرى.

لو كنا كتبنا cos اثنين 𝑥 في البسط من البداية واحد ناقص اثنين sin تربيع 𝑥، لكنا قد حصلنا في البسط على اثنين sin تربيع 𝑥 مباشرة بعد التبسيط. وعندها ما كنا لنضطر إلى استخدام المتطابقة واحد ناقص cos تربيع 𝑥 تساوي sin تربيع 𝑥. وهذا لأن المتطابقة sin تربيع 𝑥 زائد cos تربيع 𝑥 تساوي واحدًا متضمنة بالفعل في المتطابقة cos اثنين 𝑥 تساوي واحد ناقص اثنين sin تربيع 𝑥. ويمكننا الحصول على هذه المتطابقة عن طريق استبدال cos تربيع 𝑥 في المتطابقة الأولى بواحد ناقص sin تربيع 𝑥.

وبالمثل، لو كنا أعدنا كتابة cos اثنين 𝑥 باستخدام اثنين cos تربيع 𝑥 ناقص واحد، لأصبح المقام لدينا واحد زائد اثنين cos تربيع 𝑥 ناقص واحد، أو اثنين cos تربيع 𝑥 فحسب. فاضطررنا إلى بذل قدر من الجهد من أجل الوصول إلى هذا المقام، عند استخدام متطابقة واحد ناقص sin تربيع 𝑥 تساوي cos تربيع 𝑥. ولو تصرفنا بذكاء أكثر قليلًا بشأن اختيار المتطابقة التي نستخدمها لاستبدال cos اثنين 𝑥، لكنا توصلنا إلى هذا الحل مباشرة.

على أية حال، سيصبح الكسر لدينا اثنين sin تربيع 𝑥 على اثنين cos تربيع 𝑥. ويمكننا حذف العامل المشترك اثنين من البسط والمقام. فيتبقى لدينا sin تربيع 𝑥 على cos تربيع 𝑥، والتي تساوي sin 𝑥 على cos 𝑥 الكل تربيع. وبما أن sin 𝑥 على cos 𝑥 تساوي tan 𝑥، فإن هذا يساوي tan تربيع 𝑥. ولأننا لا نستطيع تبسيط هذا أكثر من ذلك، فإن إجابتنا النهائية هي: واحد ناقص cos اثنين 𝑥 على واحد زائد cos اثنين 𝑥 في أبسط صورها تساوي tan تربيع 𝑥.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.