تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: حساب نهايات الدوال جبريًّا باستخدام خصائص النهايات

سوزان فائق

يوضِّح الفيديو خصائص النهايات، ويوضِّح مفهوم الدوال الثابتة والدالة المحايدة، وكيفية حساب النهايات للدوال باستخدام هذه الخصائص بالطريقة الجبرية.

١٦:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلم على حساب النهايات للدوال جبريًّا، باستخدام خصائص النهايات. هنشوف إزاي هنحسب النهاية للدوال جبريًّا؛ يعني الجمع والطرح والضرب والقسمة والأُس. هنستخدم الخصائص بتاعة النهايات إزاي عشان نعرف نحسب النهايات بالطرق الجبرية.

فيه نوعين من الدوال، بنستفيد منهم لحساب النهايات، باستخدام خصائص النهايات. اللي همّ الدوال الثابتة، والدالة المحايدة.

الدوال الثابتة اللي هي لكل قيم س بيبقى فيه قيمة ثابتة، اللي هو هنا قيمته ل. طيب، لما بنجيب نهاية الدالة الثابتة، بتبقى هي نفس القيمة للدالة كلها، اللي هي قيمتها ل. يعني نهاية الدالة اللي بتساوي ل، لما س تقترب من الـ ك، بتساوي ل.

النوع التاني اللي هو الدالة المحايدة. والدالة المحايدة اللي هي بتبقى د س تساوي س. يعني قيمة س أي قيمة لها هتساوي نفس قيمة الدالة. يعني لو كانت الـ س بتساوي واحد، يبقى قيمة الدالة بتساوي واحد. لو تساوي اتنين، يبقى قيمة الدالة بتساوي اتنين. وبالتالي النهاية للدالة اللي هي د س تساوي س لما س بتقترب من ك، دايمًا هتبقى قيمتها ك.

الدالتين دول بنستخدمهم عشان نعرف نجيب النهايات للدوال باستخدام خصائص النهايات. هي تظهر أهمية نهايات الدوال الثابتة والدالة المحايدة في خصائص النهايات.

هنقلب الصفحة ونشوف إيه هي خصائص النهايات. إذا كان ك وَ ل عددين حقيقيين، وَ ن عدد صحيح موجب. وكانت نهاية د س لما الـ س بتقترب من الـ ك، ونهاية ر س لما الـ س بتقترب من الـ ك موجودتين. فإن كل من الخصائص الآتية صحيحة.

يوجد سبع خصائص للنهايات. أول خاصية اللي هي خاصية المجموع. بعدين خاصية الفرق. خاصية الضرب في ثابت. خاصية الضرب. خاصية القسمة. خاصية القوة. خاصية الجذر النوني.

أول خاصية اللي هي خاصية المجموع. د س زائد ر س، عايزين نجيب النهاية لهم. يبقى هنجيب نهاية د س لوحدها، وهنجمع عليها نهاية ر س، لما الـ س بتقترب من الـ ك.

خاصية الفرق. عندنا د س ناقص ر س. يبقى هنجيب نهاية د س لما الـ س بتقترب من الـ ك، وهنطرح منها نهاية ر س لما الـ س بتقترب من الـ ك.

خاصية الضرب فى ثابت. ل في الدالة س. هنسحب الـ ل بره اللي هو عدد الثابت. هنسحبه لوحدة بره، ونجيب نهاية د س لما الـ س بتقترب من الـ ك، وبعد كده هنضربهم في الـ ل.

خاصية الضرب. لما الـ د س في ر س. هنجيب نهاية د س لوحدها لما الـ س بتقترب للـ ك، وبعد كده هنضربها في نهاية ر س لما الـ س بتقترب من الـ ك.

خاصية القسمة. نهاية د س على ر س. هنحسب نهاية د س لما الـ س بتقترب من الـ ك، على نهاية ر س لما الـ س بتقترب من الـ ك. ونبقى عارفين إن ر س لازم لا تساوي الصفر.

خاصية القوة. لما الـ د س تكون مرفوعة للأُس ن. هنجيب نهاية د س لوحدها. وبعد كده هنرفع القيمة اللي هتطلع للأُس ن.

ونفس الكلام للجذر النوني. بدل ما نجيب جذر النوني لـ د س، هنجيب نهاية د س. وبعد كده نجيب الجذر النوني لكل القيمة اللي هتطلع لنا، ونبقى عارفين إن لمّا تكون ن عدد زوجي، ونهاية د س أكبر من الصفر؛ يبقى دي قيمة النهاية.

لكن لو كانت ن عدد فردي، يبقى الجذر النوني لنهاية د س لما الـ س بتقترب من الـ ك. ومافيش الشرط بتاع إن نهاية د س أكبر من الصفر. يبقى الشرط ده بس بيكون موجود لمّا ن بتكون عدد زوجي.

طيب لو كانت الـ ن عدد زوجي لكن نهاية د س أصغر من أو تساوي صفر؛ يبقى النهاية غير موجودة. إذا كانت نهاية د س لما الـ س بتقرب من الـ ك أصغر من أو تساوي الصفر، وَ ن عدد زوجي؛ فإن نهاية الجذر النوني لـ د س، لما س بتقترب من ك؛ غير موجودة.

يبقى خاصية الجذر النوني للعدد الزوجي؛ يعني الجذر النوني الزوجي، بس بنستخدمها لمّا تكون الدالة نهايتها أكبر من الصفر.

خصائص النهايات للدوال من الناحيتين، بنستخدمها كمان لو بنجيب النهاية من ناحية واحدة بس. يعني نفس الخصائص هنا، بنستخدمها في حالة جهة واحدة فقط؛ يبقى خصائص النهايات صحيحة في حال كون النهايات من جهة واحدة، وفي حال كونها عند المالانهاية شرط وجود هذه النهايات. يعني لازم النهايات دي تكون موجودة؛ علشان نستخدم الخصائص. وده كان فعلًا من ضمن الشروط اللي إحنا بنحطها عشان نستخدم خصائص النهايات.

نقلب الصفحة، ونشوف هنستخدم إزاي خصائص النهايات لحساب نهايات الدوال جبريًّا.

استخدم خواص النهايات لحساب ما يأتي: نهاية س تربيع ناقص سنة س زائد تلاتة، لما الـ س بتقترب من الأربعة.

هنعتبر إن الـ س تربيع دي دالة لوحدها، والسالب ستة س دالة لوحدها، والتلاتة دالة لوحدها. التلاتة دي دالة ثابتة. سالب ستة س دي عبارة عن عدد ثابت مضروب في دالة محايدة، اللي هي قيمتها س. وَ الـ س تربيع دي اللي هي الـ س كلها أُس اتنين، اللي هو خاصية القوة.

هنشوف هنجيب النهاية للكلام ده إزاي. هنقسّم الدالة، هتبقى نهاية س تربيع لما الـ س بتقترب من الأربعة، ناقص نهاية ستة س لما الـ س بتقترب من الأربعة، زائد نهاية تلاتة لما س بتقترب من الأربعة. ده باستخدام خاصيتا المجموع والفرق.

تاني خطوة. نهاية س تربيع دي هنعتبرها دالة مرفوعة للقوة اتنين؛ يعني هتبقى نهاية الـ س لما الـ س تقترب مِ الأربعة، الكل ده تربيع. ناقص نهاية ستة س؛ يعني ده عدد ثابت مضروب في دالة يبقى هنسحب الستة، بره وهنضربها في قيمة نهاية الدالة س، لما الـ س بتقترب مِ الأربعة. زائد نهاية التلاتة لما الـ س تقترب من الأربعة.

يبقى هنا استخدمنا خاصيتا القوة والضرب في ثابت. بعد كده الدالة الأولانية نهاية دالة س دي دالة محايدة؛ يبقى قيمتها هو نفس قيمة الـ س اللي هنقترب منها، يعني هي الأربعة. يبقى كده أربعة ده نهاية دالة س لما الـ س بتقترب من الأربعة. وهنرفع الكلام ده كله للأُس اتنين. ناقص … الستة زي ما هي، وهنجيب نهاية دالة س، لما الـ س بتقترب من الأربعة. قُلنا إن دي دالة محايدة، يبقى هتبقى مضروبة في القيمة اللي لما الـ س هتقترب منها، اللي هي أربعة. زائد … نهاية التلاتة لما س بتقترب مِ الأربعة، دي دالة ثابتة؛ يبقى قيمة النهاية هي نفس قيمة الدالة، اللي هي تلاتة.

هنبسّط الكلام ده، هيبقى ستاشر ناقص أربعة وعشرين زائد تلاتة، هيساوي سالب خمسة. يبقى نهاية الدالة اللي ادّالنا قيمتها، اللي هي س تربيع ناقص ستة س زائد تلاتة، لما س بتقترب مِ الأربعة، هي سالب خمسة.

عايزين نتأكد إن الحل بتاعنا سليم. بنتأكّد بالتمثيل البياني. نرسم الدالة اللي هو مديهالنا. من الرسم اللي قدامنا، لما الدالة بتقترب من الـ س تساوي أربعة، هيبقى قيمة الدالة د س هتساوي سالب خمسة. وده اللي يأكد النتيجة اللي إحنا حسبناها جبريًّا.

نقلب الصفحة وناخد مثال كمان. استخدم خواص النهايات لحساب ما يأتي: نهاية أربعة س تكعيب زائد واحد على س ناقص خمسة، لما الـ س تقترب مِ السالب اتنين.

هنقسم الدالة باستخدام خصائص النهايات. فتبقى دالة بسط ودالة مقام. لازم نتأكد إن نهاية الدالة س ناقص خمسة اللي في المقام لا يساوي صفر. هنيجي في الجنب كده، نحسب نهاية س ناقص خمسة، لما الـ س تئول للسالب اتنين، دي عبارة عن دالة نهايتها نهاية الدالة س، ناقص نهاية الدالة خمسة. يعني نهاية س، لما س تئول للسالب اتنين، ناقص نهاية الخمسة لما الـ س تئول للسالب اتنين.

نهاية الـ س زي ما قُلنا دي دالة محايدة، يبقى إن هي نفس القيمة اللي هي سالب اتنين. ناقص نهاية الخمسة اللي هي عدد ثابت، هتبقى خمسة. يبقى دي قيمتها سالب سبعة. يبقى هي فعلًا لا تساوي صفر.

يبقى نقدر نحسب نهاية الدالة اللي هو مديهالنا باستخدام خصائص النهايات. خاصية القسمة. هنوزع النهاية على البسط وعلى المقام. هتبقى نهاية أربعة س تكعيب زائد الواحد، لما الـ س بتقترب من سالب اتنين، على نهاية الـ س لما تقترب من سالب اتنين، لـ س ناقص خمسة.

يبقى كده استخدمنا خاصية القسمة، بعد ما اتأكدنا إن نهاية س ناقص خمسة لا تساوي صفر، لما الـ س تقترب مِ السالب اتنين.

بعد ما قسَمنا النهاية على البسط والمقام، هنمسك البسط لوحده ونقسّم عليه النهاية. هنا نهاية أربعة س تكعيب زائد الواحد، يعني أربعة س تكعيب زائد الواحد، هنجيب نهاية كل واحدة فيهم. هتبقى نهاية أربعة س تكعيب، لما الـ س بتقترب من السالب اتنين؛ زائد نهاية واحد، لما الـ س بتقترب للسالب اتنين؛ على نهاية س ناقص خمسة، لما الـ س بتقترب من سالب اتنين اللي إحنا لسه جايبين قيمتها هنا دي، هتبقى سالب سبعة.

نحسب قيمة البسط. نهاية أربعة س تكعيب لما الـ س بتقترب من سالب اتنين، عبارة عن … الأربعة ده عدد ثابت، هنسحبه بره النهاية، هيبقى الأربعة فى نهاية س تكعيب لما الـ س بتئول للسالب اتنين، زائد نهاية الواحد لما الـ س بتئول للسالب اتنين؛ على سالب سبعة.

البسط هيبقى الأربعة مضروبة … نهاية الـ س الكل تكعيب، اللي هو خاصية القوة، لما الـ س بتقترب للسالب اتنين، زائد نهاية الواحد لما الـ س بتقترب مِ السالب اتنين، على السالب سبعة.

أربعة في نهاية الـ س دي دالة محايدة؛ يعني قيمتها هتبقى هو نفس قيمة الـ س اللي بنقترب منها، اللي هي سالب اتنين. وهنرفع الكلام ده كله لأُس تلاتة. يبقى هتساوي أربعة في سالب اتنين الكل تكعيب، زائد … نهاية الواحد ده دالة ثابتة؛ يعني قيمتها هي نفس القيمة، اللي هي الواحد على سالب سبعة.

دي هتساوي تقريبًا أربعة وأربعة من عشرة. يبقى نهاية الدالة اللي هو مدّيهالنا هتبقى تقريبًا أربعة وأربعة من عشرة. هنلاحظ هنا إن إحنا استخدمنا خصائص كتيرة لخصائص النهايات. أول حاجة خاصية القسمة. تاني حاجة خاصية المجموع. وخاصية الفرق. خاصية الضرب في عدد ثابت. خاصية القوة. وهنا الدالة الثابتة. وهنا الدالة المحايدة اللي هي س. كل الخصائص دي استخدمناها علشان نعرف نحسب نهاية دالة أربعة س تكعيب زائد واحد على س ناقص خمسة.

ممكن نتأكد إن الحل بتاعنا صحيح، باستخدام جدول القيم. باستخدام جدول القيم بإن إحنا نعمل جدول لقيم س تقترب من سالب اتنين من ناحية اليمين ومن اليسار. هنلاقى فعلًا إن من ناحية اليمين أو من ناحية اليسار القيمة اللي بنقترب منها، هتبقى في حدود أربعة وأربعة من عشرة.

يبقى من الواضح أنه كلما تقترب س من سالب اتنين؛ فإن د س تقترب من العدد أربعة وأربعة من عشرة.

نقلب الصفحة، وناخد مثال كمان. لغاية دلوقتي ما خدناش في الأمثلة الجذر النوني. فالمثال ده هيبقى فيه الجذر النوني.

استخدم خواص النهايات لحساب ما يأتي: نهاية جذر تمنية ناقص س، لما الـ س بتئول للتلاتة.

هنا الجذر التربيعي لتمنية ناقص س. ده جذر نوني زوجي؛ يبقى لازم نتأكد إن الدالة اللي تحت الجذر قيمتها أكبر من الصفر. يبقى هنجيب نهاية تمنية ناقص س، لما الـ س تقترب من التلاتة. هنشوف قيمتها كام، ولو كانت قيمتها أكبر من الصفر؛ يبقى نقدر نستخدم خاصية الجذر النوني.

نهاية تمنية ناقص س، لما س بتقترب من التلاتة. دالتين مطروحين من بعض. الدالة الأولانية دالة ثابتة، والدالة التانية دالة محايدة. يبقى قيمتها هتبقى تمنية ناقص تلاتة هتساوي خمسة. دي قيمة أكبر من الصفر. يبقى نقدر نستخدم خاصية الجذر النوني.

يبقى قيمة النهاية دي، هتبقى الجذر نهاية تمنية ناقص س، لمّا الـ س بتقترب من التلاتة. وإحنا بيبقى قيمة الدالة دي اللي هي خمسة؛ يبقى النتيجة هتبقى جذر خمسة.

يبقى دي خاصية الجذر النوني. وهنا خاصية الفرق. وهنا الـ س دي دالة محايدة. والتمنية دالة ثابتة.

فيه ملحوظة مهمة جدًّا: نهاية كل دالة في هذة الأمثلة عندما تقترب س من الـ ك تساوي قيمة الـ د ك، لكن هذا ليس صحيح لجميع الدوال؛ لأن النهاية هي قيمة الدالة عندما تقترب من الـ ك، وليس قيمة الدالة عند الـ ك. لكن الكلام ده صحيح في دوال كثيرات الحدود، والدوال النسبية التي مقاماتها لا تساوي صفر عند الـ س تساوى ك.

يعني معنى كده إن لو د س لما هنجيب النهاية، لما الـ س تقترب من الـ ك، مش لازم يكون شرط إنها تساوي د ك. لكن الكلام ده صحيح بس في حالة دوال كثيرات الحدود، والدوال النسبية اللي مقامها لا يساوى صفر.

يبقى اتكلمنا في الفيديو ده، إزاي هنستخدم خصائص النهايات اللي همّ السبع خصائص اللي اتكلمنا عنهم في حساب النهايات للدوال