فيديو السؤال: إيجاد فترة تسارع جسيم يتحرك في اتجاه المحور ﺱ | نجوى فيديو السؤال: إيجاد فترة تسارع جسيم يتحرك في اتجاه المحور ﺱ | نجوى

فيديو السؤال: إيجاد فترة تسارع جسيم يتحرك في اتجاه المحور ﺱ الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في حصص الرياضيات المباشرة على نجوى كلاسيز وتعلم المزيد حول هذا الدرس من أحد مدرسينا الخبراء!

يتحرك جسيم في اتجاه المحور ﺱ. سرعته ﻉ بوحدة متر لكل ثانية تعطى بالعلاقة: ﻉ = ٩(ﻥ − ٤) − ١٢(ﻥ − ٤)^٣؛ حيث ﻥ هو الزمن بالثانية. أوجد الفترة التي تكون فيها عجلته في الاتجاه الموجب من المحور ﺱ.

٠٦:٥٤

نسخة الفيديو النصية

يتحرك جسيم في اتجاه المحور ﺱ. سرعته ﻉ بوحدة متر لكل ثانية تعطى بالعلاقة ﻉ يساوي تسعة في ﻥ ناقص أربعة ناقص ١٢ في ﻥ ناقص أربعة الكل تكعيب؛ حيث ﻥ هو الزمن بالثانية. أوجد الفترة التي تكون فيها عجلته في الاتجاه الموجب من المحور ﺱ.

حسنًا، علمنا من المعطيات أن لدينا جسيمًا يتحرك في اتجاه المحور ﺱ. وهذا يعني أنه يتحرك في خط مستقيم. وعلمنا أيضًا أن سرعة هذا الجسيم بوحدة متر لكل ثانية تعطى بالعلاقة: ﻉ يساوي تسعة في ﻥ ناقص أربعة ناقص ١٢ في ﻥ ناقص أربعة الكل تكعيب. ومرة أخرى، قياس ﻥ هنا بالثانية. علينا أن نوجد الفترة التي تكون فيها عجلة الجسيم في الاتجاه الموجب من المحور ﺱ. تذكر أولًا أنه لإيجاد عجلة جسيم يتحرك في خط مستقيم، علينا إيجاد معدل تغير السرعة بالنسبة إلى الزمن. وفي الحالة لدينا، هذا يساوي ﺩﻉ على ﺩﻥ. وهذا يعطينا دالة عجلة الجسيم عند الزمن ﻥ.

لكن تذكر أننا نبحث عن الفترة التي تكون فيها عجلة الجسيم في الاتجاه الموجب من المحور ﺱ. وبالطبع، لكي يتحرك الجسيم بعجلة في الاتجاه الموجب من المحور ﺱ، يجب أن يكون معدل تغير السرعة بالنسبة إلى الزمن موجبًا. إذن، ﺃ لـ ﻥ أكبر من صفر. دعونا إذن نوجد تعبيرًا لعجلة الجسيم. تذكر أن هذا التعبير هو مشتقة دالة السرعة بالنسبة إلى الزمن. هذا يعطينا مشتقة تسعة في ﻥ ناقص أربعة ناقص ١٢ مضروبًا في ﻥ ناقص أربعة الكل تكعيب بالنسبة إلى ﻥ.

سنوجد قيمة هذه المشتقة حدًّا تلو الآخر. سنبدأ بفك أول قوسين، ونحصل بذلك على ٩ﻥ ناقص ٣٦. وإذا اشتققنا ذلك، فسنجد أن مشتقة ٩ﻥ بالنسبة إلى ﻥ تساوي تسعة، وأن مشتقة الثابت سالب ٣٦ تساوي صفرًا. إذن، مشتقة الحد الأول تساوي تسعة. والآن، لإيجاد قيمة الحد الثاني، يمكننا استخدام قاعدة السلسلة. لكننا سنستخدم القاعدة العامة للقوة. إننا نعلم أن القاعدة العامة للقوة تنص على أنه لأي دالة قابلة للاشتقاق ﺩ ﺱ ولأي ثابت ﻥ، فإن مشتقة ﺩ ﺱ مرفوعة للقوة ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻥ في ﺩ شرطة ﺱ مضروبًا في ﺩ ﺱ مرفوعًا للقوة ﻥ ناقص واحد.

في الحالة لدينا، إننا نشتق بالنسبة إلى ﻥ. الدالة الداخلية ﺩ ﻥ ستساوي ﻥ ناقص أربعة. وسنرفع ذلك للقوة ثلاثة. إذن، لدينا ﻥ يساوي ثلاثة ونجد أن المشتقة ﺩ شرطة ﻥ تساوي واحدًا. إذن، بتطبيق القاعدة العامة للقوة، نجد أن مشتقة الحد الثاني تساوي سالب ١٢ في ثلاثة مضروبًا في واحد في ﻥ ناقص أربعة الكل تربيع. ويمكننا تبسيط المعامل الرئيسي ليصبح سالب ٣٦. وبذلك نكون قد أوضحنا أن عجلة الجسيم عند الزمن ﻥ تساوي تسعة ناقص ٣٦ في ﻥ ناقص أربعة تربيع.

تذكر أننا نريد إيجاد قيم ﻥ حيث ﺃ لـ ﻥ أكبر من صفر. لذا، علينا حل هذا عندما يكون المقدار أكبر من صفر. هناك طرق مختلفة لإجراء ذلك. سنبدأ بإضافة ٣٦ في ﻥ ناقص أربعة تربيع إلى طرفي المتباينة. هذا يعني أن علينا حل المتباينة تسعة أكبر من ٣٦ في ﻥ ناقص أربعة تربيع. بعد ذلك، سنقسم طرفي المتباينة على ٣٦. ويمكننا تبسيط تسعة مقسومًا على ٣٦، ما يجعلنا نحصل على ربع. ومن ثم، علينا إيجاد قيم ﻥ حيث ربع أكبر من ﻥ ناقص أربعة الكل تربيع.

يمكننا فعل ذلك جبريًّا. لكننا سنفعل ذلك بيانيًّا. لإيجاد قيم ﻥ، سنبدأ برسم تمثيل بياني للمنحنى ﺹ يساوي ﺱ ناقص أربعة الكل تربيع. لرسم هذا التمثيل البياني، تذكر أن طرح أربعة من قيم ﺱ هو نفسه الانتقال أربع وحدات إلى اليمين. إذن، سيكون الرسم مجرد قطع مكافئ انتقل أربع وحدات إلى اليمين.

حسنًا، سنرسم أيضًا المستقيم ﺹ يساوي ربعًا. تذكر أننا نبحث عن قيم حيث ربع أكبر من ﻥ ناقص أربعة الكل تربيع. ويمكننا إيجاد هذه القيم من الرسم. يمكننا ملاحظة أن ذلك يتحقق عندما يكون المستقيم ﺹ يساوي ربعًا أعلى المنحنى ﺱ ناقص أربعة الكل تربيع. وهذا يقع بين نقطتي تقاطع المستقيمين. لذا، دعونا نوجد نقطتي التقاطع. علينا حل ﺱ ناقص أربعة تربيع يساوي ربعًا. سنأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة. الجذر التربيعي لربع يساوي نصفًا. لكن تذكر أننا سنحصل على جذر تربيعي موجب وآخر سالب.

إذن، نحصل على ﺱ ناقص أربعة يساوي موجب أو سالب نصف. ولإيجاد قيمة ﺱ، سنضيف أربعة إلى طرفي المعادلة. إذن، قيمتا الإحداثي ﺱ لنقطتي التقاطع هما أربعة زائد نصف وأربعة ناقص نصف. سنكتب هاتين القيمتين على الصورة: سبعة على اثنين وتسعة على اثنين. إذن من الرسم، يكون لدينا ربع أكبر من ﺱ ناقص أربعة الكل تربيع عندما يقع ﺱ بين تسعة على اثنين وسبعة على اثنين. وهذا يخبرنا أن الجسيم يتحرك في الاتجاه الموجب من المحور ﺱ عندما يكون ﻥ بين تسعة على اثنين وسبعة على اثنين.

تذكر أن المطلوب منا في السؤال هو كتابة ذلك على صورة فترة. إذن، سنكتب ذلك على صورة الفترة المفتوحة من سبعة على اثنين إلى تسعة على اثنين. لقد علمنا من السؤال أن لدينا جسيمًا يتحرك في اتجاه المحور ﺱ ودالة السرعة ﻉ تساوي تسعة في ﻥ ناقص أربعة ناقص ١٢ مضروبًا في ﻥ ناقص أربعة الكل تكعيب. وهذا يعني أن الجسيم يتحرك بعجلة في الاتجاه الموجب من المحور ﺱ عندما يكون ﻥ في الفترة المفتوحة من سبعة على اثنين إلى تسعة على اثنين.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية