فيديو: إيجاد المساحة تحت منحنى دالة تربيعية

احسب مساحة المنطقة المستوية المحددة بمنحنى الدالة 𝑦 = 𝑥² + 6𝑥 − 7 والمحور 𝑥.

٠٦:١٣

‏نسخة الفيديو النصية

احسب مساحة المنطقة المستوية المحددة بمنحنى الدالة 𝑦 يساوي 𝑥 تربيع زائد ستة 𝑥 ناقص سبعة والمحور 𝑥.

حسنًا، في البداية، يمكننا أن نرى أننا نبحث عن المنطقة التي يحدها المنحنى والمحور 𝑥. نعلم أنه عند المحور 𝑥، ‏𝑦 يساوي صفرًا. ولذا، فإن أول ما سنفعله هو إيجاد جذور الدالة. وحتى نفعل ذلك، نجعل الدالة مساوية لصفر. إذن، 𝑥 تربيع زائد ستة 𝑥 ناقص سبعة يساوي صفرًا.

وأول ما نفعله بعد ذلك لإيجاد الجذور هو تحليل الدالة التربيعية. إذن لدينا 𝑥 زائد سبعة في 𝑥 ناقص واحد. وعلى سبيل التذكير بالطريقة التي أوجدنا بها ذلك، فإننا بحثنا عن عددين حاصل ضربهما يساوي سالب سبعة. موجب سبعة زائد سالب واحد يساوي سالب سبعة. ثم بحثنا عن عددين حاصل جمعهما يساوي موجب ستة. موجب سبعة زائد سالب واحد يساوي موجب ستة.

حسنًا، علينا الآن إيجاد الجذور. هكذا، يمكننا القول بأن 𝑥 يساوي سالب سبعة أو واحدًا. وذلك ما أوجدناه لأننا ساوينا كلًا من القوسين بصفر من أجل إيجاد قيمة الجذور. إذن، إذا كان القوس الأول سالب سبعة زائد سبعة، فإن ذلك يعطينا صفرًا. وعند ضرب أي شيء في صفر فإن الناتج يكون صفرًا، وفي القوس الثاني، واحد ناقص واحد يعطينا صفرًا، وهكذا نحصل على القيمة صفر للدالة.

حسنًا، الآن لدينا الجذور. ماذا سنفعل بعد ذلك؟ ما يتعين علينا فعله الآن هو رسم المنحنى البياني. لدينا بالفعل رسم للمنحنى 𝑦 يساوي 𝑥 تربيع زائد ستة 𝑥 ناقص سبعة 𝑦. يمكننا رؤية الجذور على المحور 𝑥. ونعلم أن المنحنى قطع مكافئ على شكل حرف 𝑈 لأنه بالعودة إلى المقدار، سنجد أن لدينا حد 𝑥 تربيع موجبًا. ومن ثم، نعلم أنه سيكون على شكل حرف 𝑈. وإذا كان سالب 𝑥 تربيع، فسيكون على شكل حرف 𝑈 مقلوبًا.

حسنًا، هيا نر الآن المنطقة التي نحاول إيجادها. حسنًا، إننا نبحث عن هذه المنطقة هنا؛ لأننا نبحث عن المنطقة التي يحدها منحنى الدالة 𝑦 يساوي 𝑥 تربيع زائد ستة 𝑥 ناقص سبعة، والمحور 𝑥 نفسه. لكن كيف نستطيع إيجاد مساحة هذه المنطقة؟ حسنًا، نوجد مساحة هذه المنطقة باستخدام تكامل محدد. ويمكننا القول إن التكامل المحدد للدالة بين الحدين 𝑏 و𝑎.

لكن لنبحث السبب في ذلك. إذا كان لدينا جزء صغير هنا، وهو ذلك الجزء المميز باللون الأزرق، فيمكننا القول إن عرض المستطيل — فهذا الجزء الصغير يشكل مستطيلًا — يساوي 𝑑𝑥. إذن هو جزء صغير جدًا من 𝑥. والارتفاع حتى تلك النقطة سيكون مساويًا للدالة؛ أي قيمة 𝑓 في المتغير 𝑥. وهكذا، إذا أردنا إيجاد مساحة المستطيل الذي رسمناه، فما سنفعله هو ضرب طولي الضلعين معًا — أي حاصل ضرب 𝑓 𝑥، وهي الدالة لدينا، في 𝑑𝑥. حسنًا، هذا سيعطينا مساحة المستطيل الصغير فقط.

لكن إذا كنا نريد إيجاد المساحة الكلية للمنطقة، فما سنحتاج إليه هو الكثير من هذه المستطيلات الصغيرة. وما يفعله التكامل المحدد هو أنه يعطينا مساحة عدد لا نهائي من هذه المستطيلات. نقول إنه عدد لا نهائي؛ لأنه إذا كان عددًا نهائيًا، فإننا كنا سنحصل فقط على القيمة بالتقريب. في الحقيقة، يعطينا التكامل المحدد المساحة الكاملة لهذه المنطقة.

بهذا نكون قد علمنا ما يتعين علينا فعله. لنستخدمه الآن في إيجاد مساحة المنطقة. نعلم أن مساحة المنطقة ستساوي التكامل المحدد لـ 𝑥 تربيع زائد ستة 𝑥 ناقص سبعة بين الحدين واحد وسالب سبعة. حسنًا، لكن كيف نحسب تكاملًا محددًا؟

لإيجاد تكامل محدد، فإننا نقول إنه إذا كنا نبحث عن تكامل محدد لدالة بين الحدين 𝑏 و𝑎، فهذا يساوي قيمة تكامل الدالة عند التعويض بـ 𝑏 عن 𝑥 ناقص قيمة تكامل الدالة عند التعويض عن 𝑥 بـ 𝑎، أي الحد السفلي. حسنًا، لنستخدم ذلك في إيجاد قيمة التكامل المحدد.

المرحلة الأولى هي إجراء عملية تكامل الدالة. إذن لدينا 𝑥 تكعيب على ثلاثة زائد ستة 𝑥 تربيع على اثنين ناقص سبعة 𝑥. وعلى سبيل التذكير بالطريقة التي توصلنا بها لذلك، نلقي نظرة على الحد الثاني. فإذا كنا سنجري عملية تكامل لستة 𝑥، فما سنحصل عليه هو ستة 𝑥 أس واحد زائد واحد؛ لأننا نضيف واحدًا إلى الأس. وذلك يعطينا ستة 𝑥 تربيع. وبعد ذلك، نقسم على الأس الجديد — فنقسم على واحد زائد واحد، أي نقسم على اثنين، وهو ما يساوي ستة 𝑥 تربيع على اثنين.

ثم نبسط ذلك، فيصبح لدينا 𝑥 تكعيب على ثلاثة زائد ثلاثة 𝑥 تربيع ناقص سبعة 𝑥، وذلك بين الحدين واحد وسالب سبعة. حسنًا، هيا ننتقل إلى المرحلة التالية.

الآن، المرحلة التالية هي التعويض بالحدين عن 𝑥. وهكذا، سنحصل على واحد تكعيب على ثلاثة زائد ثلاثة في واحد تربيع ناقص سبعة في واحد، هذا ناقص سالب سبعة الكل تكعيب على ثلاثة زائد ثلاثة في سالب سبعة تربيع ناقص سبعة في سالب سبعة، الذي سيساوي سالب ثلاثة واثنين على ثلاثة ناقص سالب 343 على ثلاثة. علينا أن ننتبه هنا إلى أنه ثمة خطأ شائع، فحين حصلنا على سالب سبعة تكعيب ظل قيمة سالبة وهي سالب 343 زائد 147 زائد 49؛ حيث كان لدينا سالب سبعة في سالب سبعة وهو ما يساوي قيمة موجبة، وهذا كله يساوي سالب 256 على ثلاثة.

لكنها قيمة سالبة، فهل هذا صحيح؟ حسنًا، في الواقع، يمكننا أن نرى أن المنطقة التي نبحث عنها تقع تحت المحور 𝑥. إذن سنتوقع أن نحصل على قيمة سالبة لأنه — كما قلنا — يقع تحت المحور 𝑥. ومن ثم، يمكننا القول إن مساحة المنطقة التي يحدها منحنى الدالة 𝑦 يساوي 𝑥 تربيع زائد ستة 𝑥 ناقص سبعة والمحور 𝑥 تساوي 256 على ثلاث وحدات مساحة. وقد حذفنا علامة السالب؛ لأننا نريد مساحة ذلك الشكل. إذن المساحة تساوي 256 على ثلاثة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.