فيديو: إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة تكعيبية في فترة مغلقة

أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة ‪𝑦 = −2𝑥³‬‏ في الفترة ‪[−1, 2]‬‏.

٠٤:٣٩

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة 𝑦 تساوي سالب اثنين 𝑥 تكعيب في الفترة سالب واحد، اثنين.

لقد رسمت مخططًا سريعًا لمساعدتنا في فهم المطلوب إيجاده في المسألة، وهو أيضًا رسم سريع للدالة لدينا. في هذه المسألة، علينا إيجاد القيم العظمى والصغرى في الفترة من سالب واحد إلى اثنين. وللقيام بذلك، سنستخدم إحدى طرق الحل. وهذه الطريقة تسمى طريقة الفترة المغلقة. وهي تسمى بذلك لأننا نتعامل مع فترة محددة للغاية، والتي هي هنا بين سالب واحد واثنين.

إذن، ما الخطوة الأولى؟ حسنًا، الخطوة الأولى هي إيجاد قيم الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 عند النقاط الحرجة. ويمكننا إيجاد النقاط الحرجة عن طريق اشتقاق الدالة وجعل الاشتقاق يساوي صفرًا؛ لأن النقاط الحرجة هي النقاط التي يكون عندها الميل صفرًا.

ومن ثم، وكما قلنا، سنشتق أولًا الدالة 𝑦 يساوي سالب اثنين 𝑥 تكعيب. وعندها نحصل على سالب ستة 𝑥 تربيع؛ لأننا ضربنا الأس ثلاثة في المعامل سالب اثنين، وهو ما يعطينا سالب ستة. ثم طرحنا واحدًا من قيمة الأس. فحصلنا على 𝑥 تربيع.

حسنًا، رائع، هكذا نكون انتهينا من عملية الاشتقاق. وكما قلنا من قبل، علينا الآن جعل هذا يساوي صفرًا؛ لأننا نريد إيجاد القيم الحرجة الموجودة في المواضع التي يساوي فيها الميل صفرًا. وعليه، نقول: إن صفرًا يساوي سالب ستة 𝑥 تربيع. وبالتالي، نحصل على 𝑥 يساوي صفرًا. إذن، 𝑥 يساوي صفرًا — وهو النقطة الحرجة.

ولكننا لم ننته من هذه الخطوة الأولى بعد لأننا نريد إيجاد قيمة الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 عند هذه النقطة الحرجة. وهذا يعني أننا سنعوض بالقيمة 𝑥 يساوي صفرًا في الدالة الأصلية، وهو ما يعطينا 𝑓 في صفر يساوي سالب اثنين في صفر تكعيب، وهو ما يساوي صفرًا. حسنًا، عظيم، هكذا نكون قد استكملنا الخطوة الأولى.

والخطوة الثانية الآن هي إيجاد قيمتي الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 عند طرفي الدالة. وطرفا الدالة هما سالب واحد واثنان. إذن، سنبدأ بسالب واحد. فإذا عوضنا بسالب واحد عن 𝑥 في الدالة، فسنحصل على سالب اثنين في سالب واحد تكعيب، وهو ما يعطينا سالب اثنين في سالب واحد. وناتج هذا هو اثنان؛ لأننا إذا ضربنا سالب اثنين في سالب واحد، فسنحصل على اثنين. وهذا لأن سالب في سالب يساوي موجبًا.

حسنًا، رائع، فقد أوجدنا قيمة الدالة عند إحدى طرفيها. والآن فلنوجد القيمة الأخرى. ولفعل هذا نعوض بـ 𝑥 يساوي اثنين في الدالة. وعندها، نحصل على سالب اثنين في اثنين تكعيب، وهو ما يعطينا سالب اثنين في ثمانية، وهذا يساوي سالب 16. إن ما فعلناه حتى الآن هو أننا أوجدنا نقاط الحل الثلاثة في المنحنى والقيم المرتبطة بها؛ إذ أوجدنا القيمة عندما 𝑥 يساوي سالب واحد، وعندما 𝑥 يساوي اثنين، وعندما 𝑥 يساوي صفرًا.

لننتقل إذن إلى الخطوة الثالثة، والتي فيها أكبر القيم هي القيمة العظمى المطلقة، وأصغر القيم هي القيمة الصغرى المطلقة. فإذا عدنا إلى القيم التي أوجدناها، فسنجد أنه عندما 𝑥 يساوي سالب واحد، حصلنا على اثنين، وهي أكبر قيمة؛ إذن هذه هي القيمة العظمى المطلقة. ثم عندما 𝑥 يساوي اثنين، حصلنا على سالب 16، وهي أصغر قيمة؛ إذن، فهي القيمة الصغرى المطلقة.

وعليه، فإن القيمة الصغرى المطلقة للدالة 𝑦 تساوي سالب اثنين 𝑥 تكعيب في الفترة سالب واحد، اثنين هي سالب 16. والقيمة العظمى المطلقة هي اثنان.

ويمكننا التأكد من الإجابة بالرجوع إلى الشكل؛ إذ يمكننا بالنظر إلى منحنى الدالة أن نرى النقطة التي فيها 𝑥 يساوي سالب واحد، ومن ثم، تكون هذه هي القيمة العظمى، بينما تمثل النقطة التي فيها 𝑥 يساوي اثنين القيمة الصغرى. وعليه تتطابق القيمتان على المنحنى مع القيمتين اللتين أوجدناهما.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.