فيديو السؤال: حل المعادلات المثلثية باستخدام القانون العام | نجوى فيديو السؤال: حل المعادلات المثلثية باستخدام القانون العام | نجوى

فيديو السؤال: حل المعادلات المثلثية باستخدام القانون العام الرياضيات • الصف الأول الثانوي

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في حصص الرياضيات المباشرة على نجوى كلاسيز وتعلم المزيد حول هذا الدرس من أحد مدرسينا الخبراء!

أوجد مجموعة القيم التي تحقق ٣ جا^٢ 𝜃 − ٢ جا 𝜃 جتا 𝜃 = ٠؛ حيث ٠° ≤ 𝜃 < ٣٦٠°.

٠٦:٣٥

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة القيم التي تحقق المعادلة ثلاثة جا تربيع 𝜃 ناقص اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃 يساوي صفرًا؛ حيث 𝜃 أكبر من أو يساوي صفر درجة وأقل من ٣٦٠ درجة. اكتب الإجابات لأقرب دقيقة.

لدينا هنا معادلة تتضمن دوال مثلثية. ليس من السهل حل هذه المعادلة؛ حيث لدينا جا 𝜃 وجتا 𝜃 في المعادلة نفسها. بدلًا من ذلك، نلاحظ أن المعادلة تساوي صفرًا، وهو ما يجعلها تبدو كمعادلة تربيعية نوعًا ما. ولحل أي معادلة تربيعية، نبدأ بالتحليل. إذن، دعونا نتناول كيفية تحليل التعبير ثلاثة جا تربيع 𝜃 ناقص اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃.

علينا ملاحظة أن الحدين، ثلاثة جا تربيع 𝜃 وسالب اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃، بينهما عامل مشترك وهو جا 𝜃. يعني هذا أنه يمكننا التحليل بإخراج العامل المشترك جا 𝜃. بعد ذلك، نقسم كل حد على جا 𝜃. ثلاثة جا تربيع 𝜃 مقسومًا على جا 𝜃 يساوي ثلاثة جا 𝜃. وسالب اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃 مقسومًا على جا 𝜃 يساوي سالب اثنين جتا 𝜃. وبذلك، تصبح المعادلة هي جا 𝜃 في ثلاثة جا 𝜃 ناقص اثنين جتا 𝜃 يساوي صفرًا. ماذا سنفعل بعد ذلك إذن؟

حسنًا، نسترجع سويًّا أنه لأي قيمة لـ 𝜃، فإن جا 𝜃 وثلاثة جا 𝜃 ناقص اثنين جتا 𝜃 هي مجرد أعداد. ومن ثم، لكي يكون حاصل ضرب عددين يساوي صفرًا، يجب أن يكون أحد هذين العددين أو كلاهما معًا يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، إما جا 𝜃 يساوي صفرًا وإما ثلاثة جا 𝜃 ناقص اثنين جتا 𝜃 يساوي صفرًا. يمكننا حل هذه المعادلة الأولى عن طريق إجراء عملية عكسية. سنوجد الدالة العكسية لـ جا صفر، وهذا يعطينا صفرًا.

لكن هذا ليس الحل الوحيد للمعادلة جا 𝜃 يساوي صفرًا. تذكر أن ما يعنينا هو قيم 𝜃 الأكبر من أو تساوي صفرًا والأقل من ٣٦٠ درجة. وبذلك، يمكننا إيجاد الحل الآخر بالنظر إلى المنحنى ﺹ يساوي جا ﺱ. ونلاحظ أنه يساوي صفرًا هنا، وهنا، وهنا. الحل الأول يكون عند 𝜃 تساوي صفرًا أو صفر درجة. والحل الثاني يكون عند 𝜃 تساوي ١٨٠ درجة. أما الحل الثالث، فيكون عند 𝜃 تساوي ٣٦٠ درجة. ولكننا ذكرنا أن 𝜃 يجب أن تكون أقل من ٣٦٠، لذا، نتجاهل الحل الثالث.

بدلًا من استخدام التمثيل البياني، يمكننا ببساطة تذكر أن جا 𝜃 يساوي جا ١٨٠ ناقص 𝜃. وبمعلومية أحد الحلين لـ 𝜃، يمكننا إيجاد الحل الآخر بالطرح من ١٨٠ درجة. ومن ثم، يمكن إيجاد أي حلول أخرى عن طريق جمع مضاعفات ٣٦٠ أو طرحها. هذا لأن المنحنى دوري وطول دورته ٣٦٠ درجة. وبهذا، نكون قد أوجدنا حلين للمعادلة الأصلية. ولكن، ماذا سنفعل بشأن المعادلة ثلاثة جا 𝜃 ناقص اثنين جتا 𝜃 يساوي صفرًا؟

حسنًا، علينا هنا استرجاع إحدى المتطابقات المثلثية؛ وهي تنص على أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃. دعونا نضف اثنين جتا 𝜃 إلى طرفي هذه المعادلة. هذا يعطينا ثلاثة جا 𝜃 يساوي اثنين جتا 𝜃. بعد ذلك، علينا ملاحظة أنه إذا قسمنا الطرفين على جتا 𝜃، فسنحصل على تعبير يشبه إلى حد ما التعبير الذي يمثل ظل الزاوية. نحصل على ثلاثة جا 𝜃 على جتا 𝜃 يساوي اثنين، وهو ما يمكننا كتابته على الصورة ثلاثة ظا 𝜃 يساوي اثنين. بعد ذلك، نقسم الطرفين على ثلاثة لإيجاد تعبير لـ ظا 𝜃. وهكذا، نجد أن ظا 𝜃 يساوي ثلثين.

نحن الآن مستعدون لحل هذه المعادلة بنفس الطريقة التي استخدمناها لحل المعادلة السابقة لإيجاد قيمة جا 𝜃. هذه المرة، 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ ظا ثلثين. هذا يعطينا 𝜃 تساوي ٣٣٫٦٩ وهكذا مع توالي الأرقام. باستخدام زر الدرجات والدقائق والثواني على الآلة الحاسبة، نحصل على ٣٣ درجة و٤١ دقيقة و٢٤ ثانية. وبالتقريب لأقرب دقيقة، نحصل على ٣٣ درجة و٤١ دقيقة. تذكر أنه إذا لم يكن لدينا هذا الزر على الآلة الحاسبة، فإنه يمكننا ضرب الجزء العشري في ٦٠. وهذا يعطينا ٤١٫٤، أي ٤١ دقيقة بالتقريب لأقرب دقيقة.

لإيجاد الحلول الأخرى التي تقع في الفترة المطلوبة لـ 𝜃، نتذكر أن دالة الظل دورية وطول دورتها ١٨٠ درجة. لذا، يمكننا إيجاد حل آخر بإضافة ١٨٠ درجة إلى ٣٣٫٦٩ وهكذا مع توالي الأرقام. وهذا يعطينا ٢١٣٫٦٩ أو ٢١٣ درجة و٤١ دقيقة. يمكننا استخدام الأقواس المعقوفة لتمثيل المجموعة التي تحتوي على القيم المطلوبة. ومن ثم، يكون لدينا 𝜃 تساوي صفر درجة، و٣٣ درجة و٤١ دقيقة، و١٨٠ درجة، و٢١٣ درجة و٤١ دقيقة.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية