فيديو: إيجاد مجموع متتابعة هندسية غير منتهية

أوجد مجموع المتتابعة الهندسية غير المنتهية ‪49, −21, 9, …‬‏.

٠٣:٥٠

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموع المتتابعة الهندسية غير المنتهية 49، سالب 21، تسعة، إلخ.

أولًا، عند حل هذه المسألة، نذكر أنفسنا أن المتتابعة الهندسية تعني وجود متتابعة لها أساس. وهذا يعني أن النسبة بين الحدود المتتالية متساوية. وعندما نقول: متتابعة غير منتهية، فإن هذا يعني أن المتتابعة لن يكون لها حد أخير، إذن لن يكون لدينا حد أخير.

وحتى نوجد مجموع هذه المتتابعة الهندسية غير المنتهية، علينا استخدام هذه الصيغة، حيث 𝑆 هو المجموع، و𝑎 هو الحد الأول في المتتابعة، و𝑟 هو أساس المتتابعة الهندسية. لكن أساس المتتابعة الهندسية لدينا له بعض الشروط.

إذ لا نريد أن يكون أساس المتتابعة الهندسية أكبر من سالب واحد أو أصغر من واحد، أو بطريقة أخرى للتفكير فيه، لا نريد أن تكون القيمة المطلقة أو مقياس 𝑟 أصغر من واحد؛ وذلك لأن قيمة 𝑟 إذا كانت أصغر من سالب واحد أو أكبر من واحد، فستظل المتتابعة تزيد وتزيد؛ وستصبح كل قيمة أكبر وأكبر وأكبر. وبذلك لن نستطيع الوصول إلى قيمة للمجموع.

الآن سنوجد مجموع المتتابعة الهندسية. لقد وضعت رتب الحدود: هذا هو الحد الأول، والثاني، والثالث من المتتابعة الهندسية. ما سنفعله أولًا هو إيجاد قيمة 𝑟 عند الواحد؛ لأنه من الواضح أننا نحتاجها لحساب المجموع، وأيضًا حتى يمكننا التأكد من أنها تحقق الخصائص التي تحدثنا عنها.

لإيجاد قيمة 𝑟، سأقسم الحد الثاني على الحد الأول، وهو ما يعطينا سالب 21 على 49. ثم نقسم البسط والمقام على سبعة. بمزيد من التبسيط، نحصل على سالب ثلاثة على سبعة، إذن يمكننا القول: إن أساس المتتابعة الهندسية هو سالب ثلاثة على سبعة.

الآن وقد أوجدنا أساس المتتابعة الهندسية، يمكننا التحقق منه سريعًا. ننظر إلى سالب ثلاثة على سبعة، وسنجد أنه بالفعل عدد أكبر من سالب واحد وأقل من واحد. إذن، يمكننا استخدام الصيغة. حسنًا لدينا 𝑟 يساوي سالب ثلاثة على سبعة. علينا فقط أن نعرف قيمة 𝑎.

حسنًا 𝑎 هو الحد الأول، وهو في هذه المتتابعة 49. إذن يمكننا التعويض بهذه القيم في 𝑆 يساوي 𝑎 على واحد ناقص 𝑟، وهو ما يعطينا 𝑆 يساوي 49 على واحد ناقص سالب ثلاثة على سبعة، أي 49 على 10 على سبعة. ثم نستخدم قانون قسمة الكسور، وهو ما يعطينا 49 مضروبًا في سبعة على 10. بعد ذلك نحسب هذا، ونحصل على مجموع المتتابعة الهندسية غير المنتهية، وهو 𝑆 يساوي 343 على 10.

رائع، عرفنا الإجابة النهائية، ولكن يمكننا مراجعة ما فعلناه سريعًا. حسنًا، أولًا، سنوجد أساس المتتابعة الهندسية، وهو 𝑟، وذلك بقسمة أي حد على الحد الذي يسبقه. بعد أن نعرف أساس المتتابعة الهندسية، نتأكد من أن قيمته تقع بين سالب واحد وواحد، حسنًا هو أكبر من سالب واحد وأقل من واحد، وذلك حتى نعرف إن كان يمكننا استخدام الصيغة بالفعل.

القيمة الأخرى التي نحتاجها للصيغة هي 𝑎، وهي الحد الأول، فلنوجدها. بمجرد أن يكون لدينا هذه القيم، نعوض بها في الصيغة: 𝑆 يساوي 𝑎 على واحد ناقص 𝑟. إذن، مرة أخرى، بعد الانتهاء من ذلك، نجد أننا حصلنا على الإجابة النهائية، وهي مجموع المتتابعة الهندسية غير المنتهية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.