نسخة الفيديو النصية
في الشكل التالي، إذا كان ﺹ يساوي ﺱ ناقص اثنين، وﻉ يساوي اثنين ﺱ زائد اثنين، فأوجد قيمة ﺱ.
لنلق نظرة على الشكل. لدينا دائرة. نلاحظ أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ مماس لهذه الدائرة لأنها تقطع الدائرة عند نقطة واحدة فقط. والقطعة المستقيمة ﺃﺩ هي قاطع الدائرة؛ لأنها تقطع الدائرة عند نقطتين. يتقاطع ﺃﺏ وﺃﺩ عند نقطة خارج الدائرة. ولدينا قياس الزاوية المحصورة بينهما.
لدينا أيضًا تعبيران لقياسي القوسين المحصورين بين المماس والقاطع. قياس القوس ﺏﺟ يساوي ﺹ درجة، وقياس القوس ﺏﺩ يساوي ﻉ درجة. لكن معطى أيضًا في السؤال تعبيران يتضمنان متغيرين بدلالة المجهول ﺱ، وهو المتغير الذي علينا إيجاد قيمته. إذن، يمكننا إضافة هذين التعبيرين بدلالة ﺱ إلى الشكل.
والآن، لحل هذه المسألة، علينا الرجوع إلى النظرية المتعلقة بالزاوية المحصورة بين مماس وقاطع يتقاطعان خارج الدائرة. وتنص هذه النظرية على أن قياس الزاوية التي يكونها قاطع ومماس يتقاطعان عند نقطة خارج الدائرة، يساوي نصف الفرق الموجب بين قياسي القوسين اللذين يحصرهما ضلعا هذه الزاوية. قياس الزاوية يساوي ٥٠ درجة. والقوسان المقابلان للزاوية هما القوسان ﺏﺩ وﺏﺟ. ويمكننا أن نلاحظ من الشكل أن القوس ﺏﺩ هو القوس الأكبر؛ لذا يمكننا كتابة معادلة. ٥٠ درجة يساوي نصفًا في قياس القوس ﺏﺩ ناقص قياس القوس ﺏﺟ.
لكن تذكر أن لدينا تعبيرين لقياسي القوسين بدلالة ﺱ. قياس القوس ﺏﺩ، وهو ﻉ درجة، يساوي اثنين ﺱ زائد اثنين درجة. وقياس القوس ﺏﺟ، وهو ﺹ درجة، يساوي ﺱ ناقص اثنين درجة. بذلك أصبحت لدينا معادلة بدلالة ﺱ. ومن ثم، ٥٠ درجة يساوي نصفًا في اثنين ﺱ زائد اثنين درجة ناقص ﺱ ناقص اثنين درجة. وفي الواقع، بما أن القيم جميعها في هذه المعادلة مقيسة بالدرجات، فلسنا بحاجة إلى وضع رمز الدرجة في المعادلة بأكملها.
والآن، يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. الخطوة الأولى هي ضرب كلا الطرفين في اثنين، وهو ما يعطينا ١٠٠ في الطرف الأيمن، ويحذف الكسر الموجود في الطرف الأيسر. في الوقت نفسه، يمكننا أيضًا فك القوسين بتوزيع السالب على حدي القوس الثاني. وتصبح لدينا المعادلة ١٠٠ يساوي اثنين ﺱ زائد اثنين ناقص ﺱ زائد اثنين. بعد ذلك، علينا تجميع الحدود المتشابهة في الطرف الأيسر. اثنان ﺱ ناقص ﺱ يساوي ﺱ، واثنان زائد اثنين يساوي أربعة. من ثم، نحصل على المعادلة ١٠٠ يساوي ﺱ زائد أربعة. يمكننا حل هذه المعادلة في خطوة واحدة بطرح أربعة من كلا الطرفين، فنحصل على ٩٦ يساوي ﺱ.
إذن، بالرجوع إلى نظرية الزاوية المحصورة بين قاطع ومماس متقاطعين، ثم كتابة معادلة جبرية وحلها، وجدنا أن قيمة ﺱ تساوي ٩٦.
