فيديو السؤال: إيجاد متجه العزم الناتج عن قوة مائلة حول نقطة الأصل في ثلاثة أبعاد الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في الشكل الموضح، تؤثر قوة مقدارها ٢٣ جذر اثنين نيوتن عند النقطة ﺃ. أوجد متجه العزم الناتج عن تلك القوة حول نقطة الأصل ﻭ بوحدة النيوتن متر.

بالنظر إلى الشكل الموضح، يمكننا أن نرى جسمًا يتكون من قاعدة وعمودين أحدهما يعلو الآخر. ويصل السلك بين الجزء العلوي من هذا الجسم عند نقطة تسمى ﺃ والنقطة ﺩ؛ التي تبدو أنها على الأرض. ينتج عن الشد في هذا السلك قوة عند النقطة ﺃ مقدارها ٢٣ جذر اثنين نيوتن. وهذا النظام موضوع بالكامل على مجموعة من محاور ثلاثية الأبعاد، حيث يشير المحور ﺱ إلى خارج الشاشة، ويشير المحور ﺹ إلى اليمين، ويشير المحور ﻉ إلى أعلى.

مهمتنا هي إيجاد متجه العزم الناتج عن القوة حول نقطة الأصل ﻭ. بعبارة أخرى، نريد إيجاد المتجه الذي يصف العزم الناتج عن القوة المؤثرة على النقطة ﺃ. لكي نفعل ذلك، يمكننا استخدام هذه المعادلة. تلك المعادلة تخبرنا أن متجه العزم ﺝ، الناتج عن قوة تؤثر على مسافة من نقطة ما، يساوي حاصل الضرب الاتجاهي لمتجه الإزاحة ﺭ ومتجه القوة ﻕ.

حسنًا، متجه القوة ﻕ هو ببساطة متجه القوة الذي ينتج العزم. في هذا السؤال، لدينا قوة مقدارها ٢٣ جذر اثنين نيوتن تؤثر على النقطة ﺃ. والمتجه ﺭ هو متجه إزاحة النقطة التي تؤثر عندها القوة بالنسبة إلى النقطة التي نحسب حولها العزوم.

في هذا السؤال، بما أن القوة تؤثر عند ﺃ ونريد حساب العزوم حول نقطة الأصل ﻭ، فإن المتجه ﺭ الذي يعنينا هو المتجه الذي ينقلنا من ﻭ إلى ﺃ. إذن باستخدام صيغة المتجهات، يمكننا القول إن المتجه ﺭ يساوي المتجه ﻭﺃ.

والآن، لحساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺭ وﻕ، علينا معرفة مركباتهما في اتجاه ﺱ وﺹ وﻉ. ولمعرفة ذلك، يمكننا استخدام المعطيات الموضحة على الشكل. لنبدأ إذن بإيجاد مركبات المتجه ﺭ.

لقد ذكرنا من قبل أن ﺭ يساوي المتجه ﻭﺃ. وقد أوضحنا ذلك على الشكل باللون البرتقالي. يمكننا أن نرى أن هذا المتجه يشير رأسيًّا لأعلى؛ أي في الاتجاه الموجب لـ ﻉ. ونلاحظ أيضًا أن طوله خمسة أمتار. بعبارة أخرى، المركبة ﺱ لهذا المتجه تساوي صفرًا، والمركبة ﺹ تساوي صفرًا، والمركبة ﻉ تساوي موجب خمسة. إذن، بصيغة متجهات الوحدة، يمكننا كتابة هذا المتجه على الصورة: صفر ﺱ زائد صفر ﺹ زائد خمسة ﻉ. وبما أن هذين الحدين يساويان صفرًا، فيمكننا التعبير عن ﺭ بخمسة ﻉ فقط.

بعد ذلك، علينا إيجاد مركبات المتجه ﻕ، الذي أوضحناه باللون الأزرق في هذا الشكل. لكن إيجاد مركبات المتجه ﻕ أصعب قليلًا من إيجاد مركبات المتجه ﺭ. دعونا نبدأ بكتابة ما نعرفه عن المتجه ﻕ. حسنًا، أولًا، علمنا من السؤال أن معيار هذا المتجه يساوي ٢٣ جذر اثنين نيوتن. ونظرًا لأن متجه القوة هذا ينتج عن الشد في السلك الذي يصل بين النقطتين ﺃ وﺩ، فإننا نعلم أن المتجه ﻕ يؤثر في الاتجاه من ﺃ إلى ﺩ. بعبارة أخرى، يمكننا القول إن المتجه ﻕ يوازي المتجه ﺃﺩ.

من المهم هنا أن نلاحظ أنه على الرغم من أن ﻕ يؤثر في اتجاه ﺃﺩ، فإنه لا يساوي ﺃﺩ. ذلك لأن ﻕ متجه قوة، وﺃﺩ متجه إزاحة. وعليه، فإن معيار ﻕ لا علاقة له بمعيار ﺃﺩ.

حسنًا، تصف هاتان العبارتان معيار المتجه ﻕ واتجاهه. لكن لكي نحسب مركبات المتجه ﻕ، علينا أن نحدد رياضيًّا الاتجاه الذي يؤثر فيه ﻕ. نحن نعلم أنه يوازي المتجه ﺃﺩ. إذن، لنبدأ بإيجاد مركبات المتجه ﺃﺩ.

المتجه ﺃﺩ يصف الإزاحة التي يجب حدوثها للانتقال من ﺃ إلى ﺩ. لإجراء هذا الانتقال، علينا التحرك مسافة خمسة أمتار في الاتجاه السالب لـ ﻉ، وثلاثة أمتار في الاتجاه الموجب لـ ﺱ، وأربعة أمتار في الاتجاه الموجب لـ ﺹ. هذا يعني أن المتجه ﺃﺩ به مركبة ﻉ تساوي سالب خمسة، ومركبة ﺱ تساوي ثلاثة، ومركبة ﺹ تساوي أربعة. وباستخدام صيغة متجهات الوحدة، يمكننا كتابة المتجه ﺃﺩ على الصورة ثلاثة ﺱ زائد أربعة ﺹ ناقص خمسة ﻉ. بعد ذلك، نعرف أن ﻕ يشير إلى اتجاه هذا المتجه، لكن معياره يساوي ٢٣ جذر اثنين.

في هذه المرحلة، قد يكون من المفيد التفكير فيما يعنيه المتجهان المتوازيان. إذا كان ﻕ يوازي ﺃﺩ، فهذا يعني في الواقع أنه يمكننا الحصول على ﻕ من خلال ضرب ﺃﺩ في كمية قياسية. بعبارة أخرى، بما أن المتجهين يشيران إلى الاتجاه نفسه، فعند تمديد المتجه ﺃﺩ أو ضربه في الكمية القياسية الصحيحة، سيساوي بالفعل المتجه ﻕ. نفعل ذلك رياضيًّا بضرب المتجه ﺃﺩ في كمية قياسية ثابتة، يمكننا تسميتها ﻙ. بعبارة أخرى، سنضربه في عدد ما.

هذا يعني أنه يمكننا الحصول على ﻕ بضرب هذا المتجه ﺃﺩ في عدد ما بحيث يصبح معياره ٢٣ جذر اثنين. لكن ما هذا العدد؟ ما الكمية القياسية الثابتة التي علينا ضربها في ﺃﺩ للحصول على ﻕ؟ إحدى الطرق التي يمكننا من خلالها تحديد ذلك هي إيجاد متجه الوحدة الذي يشير في نفس اتجاه ﺃﺩ. دعونا نطلق على متجه الوحدة هذا اسم ﻡ.

تذكر أن معيار متجه الوحدة يساوي واحدًا. إذا تمكنا من إيجاد متجه الوحدة هذا ثم ضربناه في ٢٣ جذر اثنين، فسنحصل على المتجه الذي يشير إلى الاتجاه نفسه ولكن معياره يساوي ٢٣ جذر اثنين. بعبارة أخرى، سنحصل على المتجه ﻕ. ولحسن الحظ، يتضح لنا أن إيجاد متجه الوحدة الذي يشير إلى اتجاه ﺃﺩ هو عملية بسيطة نسبيًّا. سنفعل ذلك بقسمة ﺃﺩ على معياره. إذن، يمكننا القول إن متجه الوحدة ﻡ يساوي ﺃﺩ مقسومًا على معيار ﺃﺩ.

يمكننا إيجاد معيار ﺃﺩ باستخدام الصورة الثلاثية الأبعاد لنظرية فيثاغورس. هذا المعيار يساوي الجذر التربيعي لمركبة ﺱ تربيع زائد مركبة ﺹ تربيع زائد مركبة ﻉ تربيع. بتبسيط مقام هذا التعبير، نجد أن ثلاثة تربيع يساوي تسعة، وأربعة تربيع يساوي ١٦، وسالب خمسة تربيع يساوي ٢٥. تسعة زائد ١٦ زائد ٢٥ يساوي ٥٠.

والآن، نجد أن ٥٠ ليس عددًا مربعًا. لذلك، فإن جذر ٥٠ لا يساوي عددًا صحيحًا. ولكن، يمكننا تبسيط المقام أكثر من ذلك. يمكننا كتابة الجذر التربيعي لـ ٥٠ على صورة الجذر التربيعي لـ ٢٥ في اثنين. ويمكننا التعبير عن ذلك على صورة الجذر التربيعي لـ ٢٥ مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين. الجذر التربيعي لـ ٢٥ هو خمسة. وبذلك نكون قد أوضحنا أن متجه الوحدة ﻡ، وهو متجه الوحدة الذي يشير إلى نفس اتجاه المتجه ﺃﺩ، يساوي ﺃﺩ مقسومًا على خمسة جذر اثنين؛ حيث خمسة جذر اثنين هو معيار ﺃﺩ. وبما أننا أوضحنا أن ﻕ يساوي ٢٣ جذر اثنين في ﻡ، فهذا يعني أن ﻕ يساوي ٢٣ جذر اثنين في ﺃﺩ على خمسة جذر اثنين.

يمكننا تبسيط ذلك بكتابة ٢٣ جذر اثنين على خمسة جذر اثنين في ﺃﺩ، ثم حذف العامل جذر اثنين من البسط والمقام، ليصبح لدينا ﻕ يساوي ٢٣ على خمسة في ﺃﺩ. وبهذا نكون قد أوضحنا أنه بضرب المتجه ﺃﺩ في هذه الكمية القياسية الثابتة؛ وهي ٢٣ على خمسة، نحصل على المتجه ﻕ.

دعونا إذن نحسب الآن مركبات ﻕ بضرب كل مركبة من مركبات ﺃﺩ في ٢٣ على خمسة. وبذلك نجد أن مركبة ﺱ تساوي ثلاثة ﺱ في ٢٣ على خمسة، ومركبة ﺹ تساوي أربعة ﺹ في ٢٣ على خمسة، ومركبة ﻉ تساوي سالب خمسة ﻉ في ٢٣ على خمسة. بتبسيط كل من هذه الحدود، نجد أن ثلاثة ﺱ في ٢٣ على خمسة يساوي ١٣٫٨ﺱ. وأربعة ﺹ في ٢٣ على خمسة يساوي ١٨٫٤ﺹ. وسالب خمسة ﻉ في ٢٣ على خمسة يساوي سالب ٢٣ﻉ. وبذلك نكون قد أوجدنا مركبات ﻕ.

إننا علمنا أن معيار ﻕ يساوي ٢٣ جذر اثنين وأنه يشير إلى نفس اتجاه المتجه ﺃﺩ. إذن، بإيجاد متجه الوحدة الذي يشير إلى نفس اتجاه ﺃﺩ وبضربه في ٢٣ جذر اثنين، حصلنا على ﻕ يساوي ١٣٫٨ﺱ زائد ١٨٫٤ﺹ ناقص ٢٣ﻉ.

والآن بعد أن أوجدنا مركبات المتجهين ﺭ وﻕ، كل ما علينا فعله هو حساب حاصل الضرب الاتجاهي لهما. وهذا يمثل متجه العزم ﺝ. نحصل على حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺭ وﻕ من خلال المحدد ثلاثة في ثلاثة؛ حيث إن العناصر في الصف العلوي هي متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ. والعناصر في الصف الأوسط هي مركبات ﺱ وﺹ وﻉ لمتجه الإزاحة ﺭ دون كتابة متجهات الوحدة. والعناصر في الصف السفلي هي مركبات ﺱ وﺹ وﻉ لمتجه القوة ﻕ دون كتابة متجهات الوحدة أيضًا.

لاحظ أنه عند كتابة حاصل الضرب الاتجاهي، يؤثر الترتيب المكتوب به المتجهان على موضعهما في هذا المحدد. فالمتجه الأول ﺭ يكتب في الصف الأوسط، والمتجه الثاني ﻕ يكتب في الصف السفلي. هذا يعني أن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺭ وﻕ لا يساوي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﻕ وﺭ. لذلك، عندما نتذكر هذه الصيغة، علينا الانتباه لترتيب المتجهين ﺭ وﻕ.

هيا نكتب الآن القيم العددية للعناصر في هذا المحدد. بالبدء بمركبات المتجه ﺭ، نلاحظ أن مركبة ﺱ فيه تساوي صفرًا، ومركبة ﺹ تساوي صفرًا، ومركبة ﻉ تساوي خمسة. بعد ذلك، بالنظر إلى المتجه ﻕ، نجد أن مركبة ﺱ فيه تساوي ١٣٫٨، ومركبة ﺹ تساوي ١٨٫٤، ومركبة ﻉ تساوي سالب ٢٣.

يمكننا حساب قيمة هذا المحدد على ثلاثة أجزاء. أولًا، لدينا متجه الوحدة ﺱ مضروبًا في صفر في سالب ٢٣ ناقص خمسة في ١٨٫٤. بعد ذلك، نطرح متجه الوحدة ﺹ مضروبًا في صفر في سالب ٢٣ ناقص خمسة في ١٣٫٨. وأخيرًا، نضيف متجه الوحدة ﻉ مضروبًا في صفر في ١٨٫٤ ناقص صفر في ١٣٫٨.

حسنًا، كل ما علينا فعله الآن هو تبسيط كل حد. عند البدء بالحد ﺱ، نجد أن لدينا صفرًا في سالب ٢٣؛ وهو ما يساوي صفرًا. سنطرح من ذلك خمسة في ١٨٫٤؛ وهو ما يساوي ٩٢. صفر ناقص ٩٢ يساوي سالب ٩٢. إذن، يبسط هذا الحد إلى سالب ٩٢ﺱ. بعد ذلك، بالنظر إلى الحد ﺹ، نجد أن لدينا سالب ﺹ مضروبًا في صفر في سالب ٢٣، وهو ما يساوي صفرًا؛ ناقص خمسة في ١٣٫٨، وهو ما يساوي ٦٩. صفر ناقص ٦٩ يساوي سالب ٦٩، وسالب ﺹ في سالب ٦٩ يساوي موجب ٦٩ﺹ. وأخيرًا، بالنظر إلى الحد ﻉ، نجد أن لدينا ﻉ مضروبًا في صفر في ١٨٫٤، وهو ما يساوي صفرًا؛ ناقص صفر في ١٣٫٨، وهو ما يساوي صفرًا أيضًا. صفر ناقص صفر يساوي صفرًا، وﻉ في صفر يساوي صفرًا. إذن، سيحذف هذا الحد. وبذلك نكون قد أوجدنا الآن مركبات متجه العزم ﺝ.

يمكننا أن نلاحظ أيضًا أنه بما أننا أوجدنا متجه الإزاحة ﺭ بالمتر ومتجه القوة ﻕ بالنيوتن، فإن الإجابة التي حصلنا عليها عن طريق إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺭ وﻕ يعبر عنها بوحدة النيوتن متر كما هو موضح في السؤال.

ومن ثم، هذه هي إجابتنا النهائية. إذن، متجه العزم حول نقطة الأصل الناتج عن القوة الموضحة في الشكل يساوي سالب ٩٢ﺱ زائد ٦٩ﺹ.