فيديو السؤال: إيجاد المشتقة الأولى لدالة معرفة ضمنيًّا باستخدام الاشتقاق الضمني الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان أربعة ﺱ تكعيب ناقص اثنين ﺹ تكعيب زائد ١٨ يساوي صفرًا، فأوجد دﺹ على دﺱ.

إذن ما سنفعله هنا هو اشتقاق الدالة. ولنفعل ذلك، سنستخدم الاشتقاق الضمني. الآن تتمثل المرحلة الأولى للاشتقاق ضمنيًّا في اشتقاق كل حد في الدالة بالنسبة إلى ﺱ. وإذا أردنا اشتقاق كل حد بالنسبة إلى ﺱ، فسنفعل ذلك بطريقة مباشرة للغاية مع الحدود التي تتضمن ﺱ أو قيمة عددية فقط. لكن دعني أوضح لك أن الأمر سيختلف قليلًا عند التعامل مع الحد الذي يتضمن ﺹ.

حسنًا، الحد الأول سيكون ١٢ﺱ تربيع. بعد ذلك، سنترك الحد الثاني على الصورة سالب دﺹ على دﺱ لاثنين ﺹ تكعيب؛ لأن ما أريد فعله هو التعامل معه بشكل منفصل. بعد ذلك، نحصل على زائد صفر، لأننا إذا اشتققنا ١٨، نحصل على صفر، كل هذا يساوي صفرًا؛ لأنه مرة أخرى إذا اشتققنا صفرًا، فإننا نحصل على صفر.

حسنًا، رائعًا، لنشتق الآن الحد الذي يتضمن ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا الآن شرح كيفية اشتقاق الحد اثنين ﺹ تكعيب بالنسبة إلى ﺱ. إذن، أولًا، إذا كانت لدينا دالة في ﺹ، أو حد في ﺹ، وأردنا اشتقاقها بالنسبة إلى ﺱ، فيمكننا في الواقع تطبيق قاعدة السلسلة والقول إنها سوف تساوي الدالة نفسها مشتقة بالنسبة إلى ﺹ مضروبة في دﺹ على دﺱ.

والآن، ما سنفعله هو تطبيقها على الحد في ﺹ. إذن، سيصبح لدينا مشتقة اثنين ﺹ تكعيب بالنسبة إلى ﺱ. وهي سوف تساوي ستة ﺹ تربيع. وذلك لأننا إذا اشتققنا اثنين ﺹ تكعيب بالنسبة إلى ﺹ، نحصل على ستة ﺹ تربيع لأننا ضربنا الأس ثلاثة في المعامل اثنين، لنحصل على ستة. ثم نطرح من الأس واحدًا، ما يعطينا ﺹ تربيع. ثم نضرب هذا في دﺹ على دﺱ. حسنًا نعلم الآن أن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لاثنين ﺹ تكعيب تساوي ستة ﺹ تربيع دﺹ على دﺱ.

حسنًا، ما سنفعله الآن هو الانتقال إلى المرحلة الثانية من الاشتقاق الضمني. وما سنفعله هو إعادة الترتيب لجعل دﺹ على دﺱ المتغير التابع؛ لأن هذا هو ما نبحث عنه.

إذن أول شيء سنفعله هو طرح ١٢ﺱ تربيع من كلا الطرفين. من ثم نحصل على سالب ستة ﺹ تربيع دﺹ على دﺱ يساوي سالب ١٢ﺱ تربيع. وبعد ذلك، ما سنفعله هو قسمة الطرفين على سالب ستة ﺹ تربيع لكي يتبقى دﺹ على دﺱ في طرف بمفرده. إذن، نحصل على دﺹ على دﺱ يساوي سالب ١٢ﺱ تربيع على سالب ستة ﺹ تربيع. والآن نقسم البسط والمقام على سالب ستة. هكذا يتبقى لدينا اثنان ﺱ تربيع على ﺹ تربيع.

إذن يمكننا القول إنه إذا كان أربعة ﺱ تكعيب ناقص اثنين ﺹ تكعيب زائد ١٨ يساوي صفرًا، فإن دﺹ على دﺱ يساوي اثنين ﺱ تربيع على ﺹ تربيع.