فيديو: إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات

إذا كان ‪𝐴 = 〈−5, −9, −1〉‬‏، ‪𝐵 = 〈2, −1, −7〉‬‏، فأوجد ‪𝐴 × 𝐵‬‏.

٠٣:٣٥

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان المتجه ‪𝐴‬‏ له المركبات سالب خمسة، سالب تسعة، سالب واحد؛ والمتجه ‪𝐵‬‏ له المركبات اثنان، سالب واحد، سالب سبعة؛ فأوجد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏.

يمكن كتابة حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في صورة محدد مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة حيث تكون مدخلات الصف الأول من المصفوفة هي متجهات الوحدة ‪𝑖‬‏ و‪𝑗‬‏ و‪𝑘‬‏، التي تشير إلى الاتجاهات ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ و‪𝑧‬‏ على الترتيب. مدخلات الصف الثاني من المصفوفة هي مركبات المتجه الأول في حاصل الضرب الاتجاهي، أي مركبات المتجه ‪𝐴‬‏ وهي سالب خمسة، سالب تسعة، سالب واحد. ويحتوي الصف الثالث والأخير من المصفوفة على مركبات المتجه الثاني في حاصل الضرب الاتجاهي، أي مركبات المتجه ‪𝐵‬‏ وهي اثنان، سالب واحد، سالب سبعة.

لدينا الآن محدد ثلاثة في ثلاثة. يمكننا إيجاد قيمة ذلك من خلال الفك باستخدام الصف الأول. المدخل الأول في الصف الأول هو المتجه ‪𝑖‬‏ والمحدد الأصغر للعنصر ‪𝑖‬‏، أي محدد العناصر التي تحصل عليها إذا حذفت الصف والعمود اللذين يحتويان على ‪𝑖‬‏ من المصفوفة. وهو المحدد سالب تسعة، سالب واحد، سالب واحد، سالب سبعة. وبالتالي الحد الأول في المفكوك هو المحدد سالب تسعة، سالب واحد، سالب واحد، سالب سبعة في المتجه ‪𝑖‬‏.

يأتي الحد التالي من المدخل التالي في الصف الأول من المصفوفة، وهو المتجه ‪𝑗‬‏ مضروبًا في المحدد الأصغر للعنصر ‪𝑗‬‏، أي المحدد سالب خمسة، سالب واحد، اثنان، سالب سبعة. نتذكر أن علينا طرح هذا الحد.

ويأتي الحد الأخير من المدخل الأخير في الصف الأول من المصفوفة، وهو ‪𝑘‬‏ مضروبًا في المحدد الأصغر له، أي المحدد سالب خمسة، سالب تسعة، اثنان، سالب واحد. علينا إضافة هذا الحد.

لقد فككنا المحدد ثلاثة في ثلاثة باستخدام الصف الأول، ويمكننا الآن فك كل حد في هذا المفكوك. نوجد أولًا قيمة المحدد الأول ونضرب المدخلين في القطر الرئيسي، وهو سالب تسعة وسالب سبعة معًا، هكذا. نطرح من ذلك حاصل ضرب المدخلين الآخرين، سالب واحد وسالب واحد، هكذا. إذن هذا هو مفكوك المحدد. تذكر أن الحد الأول هو هذا المحدد في ‪𝑖‬‏. ويمكننا إيجاد قيمة سالب تسعة في سالب سبعة ناقص سالب واحد في سالب واحد، وهو ما يساوي ‪62‬‏. إذن، الحد الأول هو ‪62𝑖‬‏.

وبالمثل نحصل على الحل النهائي: ‪62𝑖‬‏ ناقص ‪37𝑗‬‏ زائد ‪23𝑘‬‏. بالصورة الإحداثية، فإن ذلك يساوي المركبات ‪62‬‏، سالب ‪37‬‏، ‪23‬‏.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.