تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد قيمة نقطة الانقلاب على منحنى الدالة التربيعية إذا كانت موجودة الرياضيات

أوجد نقاط انقلاب المنحنى ﺹ = ﺱ^٢ + ٢ﺱ − ٥.

٠٣:١٤

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد نقاط انقلاب المنحنى ﺹ يساوي ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص خمسة.

أولًا، دعونا نذكر أنفسنا بالمقصود بنقطة الانقلاب. إنها نقطة يتغير عندها التقعر. ننتقل من التقعر لأعلى إلى التقعر لأسفل أو من التقعر لأسفل إلى التقعر لأعلى. ولتحديد نقاط الانقلاب، نستخدم المشتقة الثانية. دعونا نتخيل لماذا تساعدنا المشتقة الثانية في إيجاد نقاط الانقلاب.

إذا كان هذا منحنى لدالة ما ﺩ، وليس بالضرورة هذه الدالة، يمكننا ملاحظة أن هذا الجزء من المنحنى مقعر لأسفل وأن هذا الجزء مقعر لأعلى. إذن، فالنقطة التي تقع بينهما هي نقطة انقلاب. عندما يكون المنحنى مقعرًا لأسفل، فإن الميل يتناقص. وعندما يكون مقعرًا لأعلى، فإن الميل يتزايد. ولذلك، إذا رسمنا مشتقة هذه الدالة، أي ﺩ شرطة، وهي دالة الميل، فستبدو بهذا الشكل. فهي تناقصية، عندما يكون منحنى الدالة ﺩ مقعرًا لأسفل. وبعد نقطة الانقلاب، فإنها تزايدية حيث يصبح منحنى الدالة ﺩ مقعرًا لأعلى.

ماذا عن المشتقة الثانية؟ حسنًا، إن ميل منحنى ﺩ شرطة ﺱ يكون سالبًا قبل نقطة الانقلاب، وموجبًا بعدها. ماذا يعني ذلك؟ تحدث نقطة الانقلاب عندما تتغير إشارة المشتقة الثانية من سالبة إلى موجبة أو من موجبة إلى سالبة. ولهذا السبب، تساعدنا المشتقة الثانية في إيجاد نقاط الانقلاب. لنواصل ونوجد المشتقة الثانية.

لفعل ذلك، دعونا نتذكر قاعدة القوة العامة التي تنص على أن مشتقة ﺃ ﺱ أس ﻥ تساوي ﻥﺃ ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. ومن ثم، للدالة في المتغير ﺱ، ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص خمسة، ﺩ شرطة ﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد اثنين. هذا لأن ﺱ وحدها تساوى ﺱ أس واحد. وعليه، فإن مشتقة اثنين ﺱ تساوي اثنين. والثوابت مثل سالب خمسة اشتقاقها يساوي صفرًا. والآن نشتق مرة أخرى لنحصل على المشتقة الثانية. وهذا يعطينا ﺩ شرطتين ﺱ يساوي اثنين.

تذكر أننا قلنا إنه لإيجاد نقاط الانقلاب، نبحث عن نقاط تتغير عندها إشارة المشتقة الثانية. لكننا حصلنا على ثابت موجب، فماذا يعني هذا؟ حسنًا، ﺩﺱ تكون مقعرة لأعلى عندما تكون المشتقة الثانية موجبة. وبما أن المشتقة الثانية عدد ثابت، فلا يمكن أن تغيير إشارتها. إذن، يجب أن يظل منحنى ﺹ مقعرًا لأعلى دائمًا. وبما أن التقعر لا يتغير، نستنتج أن المنحنى ليس له نقاط انقلاب. في الحقيقة، إذا رسمنا هذه الدالة، فسنلاحظ أن المنحنى يكون دائمًا مقعرًا لأعلى. إذن، لا توجد نقاط انقلاب على هذا المنحنى.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.